Math Master

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৩ : ৪ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি 
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°

দেওয়া আছে,
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত = ২ : ৩ : ৩ : ৪
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ২ + ৩ + ৩ + ৪ = ১২

∴ প্রতিটি অনুপাতের মান = ৩৬০°/১২ = ৩০°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ২ × ৩০° = ৬০°

প্রশ্ন:  একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 13 মি. এবং প্রস্থ 5 মিটার হলে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:

চিত্র অনুসারে,
আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য BD = 13 মি.
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থের দৈর্ঘ্য AD = 5 মি.

ΔABD এ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
AB² = BD² - AD²
⇒ AB² = 13² - 5²
⇒ AB² =169 - 25
⇒ AB = √144
∴ AB = 12

ABCD আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল  = (AD × AB) বর্গমিটার 
= (5 × 12) বর্গমিটার 
= 60 বর্গমিটার

প্রশ্ন: কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের একটি ১০৫° হলে অপর কোণটি কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০°

দেওয়া আছে,
একটি কোণ = ১০৫°

∴ অপর কোণটি = ১৮০° - ১০৫°
= ৭৫°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮ বর্গমিটার হলে এর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 8 বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
(বাহু)^২ = ৮
⇒ বাহু = √৮
∴ বাহু = ২√২

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √২ × বাহু
= √২ × ২√২
= ৪ মিটার

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের 3 গুণ অপেক্ষায় 8° বেশি হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণটির মান = x°
তাহলে তার সম্পূরক কোণ = 180 - x°

প্রশ্নমতে,
x = {3 × (180° - x)} + 8°
⇒ x = 540° - 3x + 8°
⇒ 4x = 548°
⇒ x = 548/4
∴ x = 137°

অতএব, কোণটির মান 137°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পার্কের দৈর্ঘ্য 80 মিটার এবং প্রস্থ 50 মিটার। পার্কটিকে পরিচর্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে 4 মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
আয়তাকার পার্কের দৈর্ঘ্য = 80 মিটার
এবং প্রস্থ = 50 মিটার

∴ দৈর্ঘ্য বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = 80 × 4 = 320 বর্গমিটার
∴ প্রস্থ বরাবর রাস্তার ক্ষেত্রফল = (50 - 4) × 4 = 184 বর্গমিটার

∴ রাস্তার মোট ক্ষেত্রফল = (320 + 184) বর্গমিটার
= 504 বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্র ও একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১৮ মিটার ও ৯ মিটার হলে, বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে ১৮ মিটার ও ৯ মিটার

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল 
=  (১/২) × ১৮ × ৯ 
= ৮১ বর্গমিটার 

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৮১ বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৮১ মিটার 
= ৯ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা = ৪ × ৯ মিটার 
= ৩৬ মিটার 

প্রশ্ন: 6y - 9x + 12 = 0, রেখার ঢাল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায়। যার ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c

এখন,
6y - 9x + 12 = 0
⇒ 6y = 9x - 12
⇒ y = (9x - 12)/6
∴ y = (3/2)x - 2

সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 3/2
∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = 3/2

প্রশ্ন: দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 36 : 81। তাদের পরিসীমার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বর্গের বাহু = a
এবং দ্বিতীয় বর্গের বাহু = b

প্রশ্নমতে,
a² : b² = 36 : 81
⇒ a : b = √36 ​: √81​ [উভয় দিকের বর্গমূল নিলে পাই]
⇒ a : b = 6 : 9
∴ a : b = 2 : 3...........(1)

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহু

∴ পরিসীমার অনুপাত = 4a : 4b
= a : b
= 2 : 3 [(1) নং হতে]

অতএব, দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত 36 : 81 হলে, তাদের পরিসীমার অনুপাত = 2 : 3 হবে।

প্রশ্ন: চিত্রে ∠CAD এর মান কত?

সমাধান:
 
চিত্রানুসারে,
 △ABC এ ∠ABC=30° এবং ∠ACB=80°
BA- কে D পর্যন্ত বাড়ানো হয়েছে।
তাহলে, ∠CAD হলো ত্রিভুজটির একটি বহিঃকোণ।

আমরা জানি,
যে কোনো ত্রিভুজের একটি বহিঃকোণ তার বিপরীত দুটি অন্তঃকোণের যোগফলের সমান।
∴ ∠CAD = ∠ABC + ∠ACB
= 30° + 80°
= 110°

প্রশ্ন: ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

সমাধান:

আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

যেহেতু, ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD এবং ∠A = 90° সুতরাং চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রানুসারে b এর মান কত?

সমাধান:
চিত্রানুসারে,
4a° + 5a° = 180° [এক সরল কোণ বলে]
⇒ 9a° = 180°
⇒ a° = 180°/9
∴ a = 20°

আবার,
b° + 55° = 5 × 20° [বিপ্রতীপ কোণ বলে]
⇒ b° = 100° - 55°
∴ b° = 45°

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য ৪০ মিটার এবং প্রস্থ ২৫ মিটার। পুকুরের চারদিকে প্রতি মিটার বেড়া দিতে ৩.৫ টাকা খরচ হলে, পুকুরের চারদিকে বেড়া দিতে মোট কত টাকা খরচ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার
এবং প্রস্থ = ২৫ মিটার

এখানে,
পুকুরটির পরিসীমাই হবে সম্পূর্ণ বেড়ার দৈর্ঘ্য।
∴ পুকুরটির পরিসীমা = চার দিকের বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য
= ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২(৪০ + ২৫) মিটার
= (২ × ৬৫) মিটার
= ১৩০ মিটার

তাহলে, মোট খরচ = ১৩০ × ৩.৫ = ৪৫৫ টাকা

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার এবং প্রস্থ ১৬ মিটার। প্রস্থ কমিয়ে ১২ মিটার করা হলো। দৈর্ঘ্য কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২৪ মিটার
এবং প্রস্থ = ১৬ মিটার

আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = ২৪ × ১৬ = ৩৮৪ বর্গ মি.

ধরি
নতুন আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ক মি.
∴ ক্ষেত্রফল = ১২ক বর্গ মি.

প্রশ্নমতে,
১২ক = ৩৮৪
⇒ ক = ৩৮৪/১২
∴ ক =৩২

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ৩২ মি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে।

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ৪ হেক্টর। মাঠটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
∴ ৪ হেক্টর = ৪০০০০ বর্গমিটার

∴ মাঠটির এক পাশের দৈর্ঘ্য = √(৪০০০০) মিটার
= ২০০ মিটার

∴ মাঠটির পরিসীমা = ৪ × এক পাশের দৈর্ঘ্য
= (৪ × ২০০) মিটার
= ৮০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের দুটি বিপরীত কোণ যথাক্রমে ৯৫° এবং x° হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০°

প্রশ্নমতে,
৯৫° + x° = ১৮০°
⇒ x° = ১৮০° - ৯৫°
∴ x° = ৮৫°