Math Master

প্রশ্ন: a - b = 8 এবং ab = 42 হলে, a² + b² =?

সমাধান
দেওয়া আছে,
a - b = 1 এবং ab = 42

আমরা জানি,
a² + b²
= (a - b)² + 2ab
= (1)² + 2 × 42
= 1 + 84
= 85

প্রশ্ন: x² - y² + 2y - 1 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1)(x - y + 1)

প্রশ্ন: যদি x - 6y = - 28 এবং x = 2y হলে x =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 6y = - 28 এবং x = 2y

প্রথম সমীকরণে x = 2y বসিয়ে
⇒ 2y - 6y=−28
⇒ 2y - 6y = -28
⇒ - 4y =−28
⇒ y = −28/−4
∴ y = 7

∴ x = 2 × 7 = 14

প্রশ্ন: (a/b)^{x - 4} = (b/a)^{x - 6} হলে x =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ (a/b)^{x - 4} = (b/a)^{x - 6}
⇒ (a/b)^{x - 4} = (a/b)^{- (x - 6)}
⇒ x - 4 = - x + 6
⇒ x + x = 6 + 4
⇒ 2x = 10
⇒ x = 10/2
∴ x = 5

প্রশ্ন: (1 + √3) এবং (1 - √3) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(1 + √3) এবং (1 - √3)

ধরি,
α = 1 + √3 এবং β = 1 - √3
মূলদ্বয়ের যোগফল, α + β = 1 + √3 + 1 - √3 = 2
মূলদ্বয়ের গুণফল, αβ = (1 + √3)(1 - √3)
= 1 - ( √3)²
= 1 - 3
 = - 2

∴ নির্ণেয় সমীকরন,
⇒ x² - (α + β)x + αβ = 0
⇒ x² - 2x - 2 = 0

প্রশ্ন: x² + 1 + 5x = 0 হলে, (x² + 1)³/x³ এর মান কত?

সমাধান
x² + 1 + 5x = 0
x² + 1 = - 5x

প্রদত্ত রাশি,
 (x² + 1)³/x³
= (- 5x)³/x³
= - 125x³/x³
= - 125

প্রশ্ন: (a - 3)(5a + 4) একটি সমীকরণের উৎপাদক হলে সমীকরণটি-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= (a - 3)(5a + 4)
= 5a² + 4a - 15a - 12
= 5a² - 11a - 12

প্রশ্ন: (3x - 7, 4) = (5, 2y - 8) হলে (x,y) এর মান কত?

সমাধান:
 সমীকরণ গঠন করি,
3x − 7 = 5
2y − 8 = 4 

এখন সমীকরণদ্বয় সমাধান করে পাই,
3x−7 = 5
⟹ 3x = 5 + 7 = 12
⟹ x =12/3 = 4
∴ x = 4
এবং
2y − 8 = 4 
2y = 4 + 8 = 12
⟹ y = 12/2 = 6
∴ y = 6
অতএব, (x,y) = (4,6)

প্রশ্ন: log₃(1/81) =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= log₃(1/81)
= log₃(1/3⁴)
= log₃3^-4
= - 4 log₃3
= - 4

প্রশ্ন: 4x² - 8x + 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
দেয়া আছে,
4x² − 8x + 6 = 0

এখানে,
a = 4, b = −8 এবং c = 6

∴ নিশ্চায়ক,Δ = b² − 4ac
= (−8)² − 4(4)(6)
= 64 - 96
= - 32
∴ যদি Δ < 0 তাহলে সমীকরণের কোনো বাস্তব মূল থাকে না, বরং দুটি জটিল মূল থাকে।
এখানে, Δ=−32, যা 0 এর চেয়ে কম। তাই, এই সমীকরণের কোনো বাস্তব মূল নেই, এবং মূলদ্বয় জটিল ।

প্রশ্ন: 3a³ + 2a² - 21a - 20 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3a³ + 2a² - 21a - 20
= 3a³ + 3a² - a² - a - 20a - 20
= 3a²(a + 1) - a(a + 1) - 20(a + 1)
= (a + 1)(3a² - a - 20)

প্রশ্ন: a + 4b - 10 = 0 এবং 5a - 2b - 6 = 0 এর সমাধান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 4b = 10 ........(1)
এবং 5a - 2b = 6 ...........(2)

সমীকরণ (2) কে 2 দিয়ে গুণ করে পাই,
10a − 4b = 12 .......(3)
এখন,
(1) + (3) 
⇒ a + 4b + 10a − 4b = 10 + 12
⇒ 11a = 22
⇒ a = 22/11
⇒ a = 2
এবং,
(1) নং এ a এর মান বসিয়ে পাই,
⇒ (2) + 4b = 10
⇒ 4b = 10 - 2
⇒ 4b = 8
⇒ b = 8/4
⇒ b = 2
∴ (a, b) = (2, 2)

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + .......... ধারাটির প্রথম ৮ তম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log3 + log9 + log27 + ..........
= log3 + log3² + log3³ + .........
= log3 + 2log3 + 3log3 +......
= (1 + 2 + 3 +.......)log3

এখন,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
৮ তম পদের সমষ্টি = 8(8 + 1)/2
= 36

সুতরাং, প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি প্রায় 36log3

প্রশ্ন: x² - 9x + 20 < 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ x² - 9x + 20 <0
⇒ x² - 5x - 4x + 20 <0
⇒ x(x - 5) - 4(x - 5)<0
⇒ (x - 4)(x - 5) <0

∴ x = 4 এবং x = 5 হলে সমীকরণটি শূন্য হয়।
x এর মান 4 এবং 5 এর মধ্যে হলে অসমতা সত্য।
∴ 4 < x < 5

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে 16 - 24x + ax² একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= 16 - 24x + ax²
= 4² - 2 × 4 × 3x + (√a  × x)²

এখন,
⇒ √a = 3
∴ a = 9

প্রশ্ন: 7x + 4y = 8 এবং 2y - 7x = 4 সরলরেখাদ্বয় কোন বিন্দুতে ছেদ করবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
7x + 4y = 8 ........(1)
এবং 2y - 7x = 4 ...........(2)
এখন,
(1) + (2) 
7x + 4y + 2y − 7x = 8 + 4
⟹ 6y = 12
⟹ y = 12/6
∴ y = 2

(1) নং এ y এর মান বসিয়ে পাই,
7x + 4(2) = 8
⟹ 7x + 8 = 8
⟹ 7x = 8 - 8
⟹ 7x = 0
∴ x = 0
সুতরাং, সরলরেখাদ্বয় (0, 2) বিন্দুতে ছেদ করবে।

প্রশ্ন: log_x(5/4) = - (1/2) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ log_x(5/4) = - (1/2)
⇒ x^{- (1/2)}= 5/4
⇒ (1/x) ^(1/2) = 5/4
⇒ x^(1/2) = 4/5
⇒ {x^(1/2)}² = (4/5)²
∴ x = 16/25

প্রশ্ন: x - 4 < 3 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - 4 < 3
x - 4 + 4< 3 + 4
x < 7
∴ সমাধান সেট (- ∞, 7)