ডেইলি কুইজ [২০০ দিন]

প্রশ্ন: ৩০টি আম ও ৩৬টি লিচু সর্বোচ্চ কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যেতে পারে?

সমাধান: 
বালকের সংখ্যা হবে ৩০ ও ৩৬ এর গ.সা.গু।
∴ ৩০ ও ৩৬ এর গ.সা.গু = ৬

∴ নির্ণেয় বালকের সংখ্যা = ৬ জন।

প্রশ্ন: কোনো সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে,
(x/২) + ৬ = ২x/৩
বা, (২x/৩) - (x/২) = ৬
বা, (৪x - ৩x)/৬ = ৬
বা, x/৬ = ৬ 
∴ x = ৩৬

∴ সংখ্যাটি = ৩৬ ।

প্রশ্ন: একজন ছাত্র ২০ টি প্রশ্নের উত্তর সঠিক দিয়ে ৫০% নম্বর পেল। ৮০% নম্বর পেতে হলে তাকে কতটি প্রশ্নের উত্তর সঠিক করতে হবে? 

সমাধান: 
৫০% নম্বর পায় সঠিক উত্তর দিয়ে = ২০ টি প্রশ্নের  
∴ ১% নম্বর পায় সঠিক উত্তর দিয়ে = ২০/৫০ টি প্রশ্নের 
∴ ৮০% নম্বর পায় সঠিক উত্তর দিয়ে = (২০ × ৮০)/ ৫০ টি প্রশ্নের 
= ৩২ টি প্রশ্নের 

∴ ছাত্রটির প্রশ্নের উত্তর শুদ্ধ করতে হবে = ৩২ টি।

পূর্ণ সংখ্যা (Integers): 
শূন্য সহ সকল ধনাত্বক ও ঋণাত্বক অখণ্ড সংখ্যা সমূহকে পূর্ণ সংখ্যা বলা হয়। 
যেমন: .............., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 .......... ইত্যাদি। সাধারণত পূর্ণ সংখ্যার সেটকে Z দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
অর্থাৎ, Z = {.........., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 .......... ইত্যাদি} । 

ভগ্নাংশ সংখ্যা (Fractional Number): 
দুইটি পূর্ণ সংখ্যা p ও q যদি সহমৌলিক হয় এবং q ≠ 0, q ≠ 1 হয় তবে p/q আকারের সংখ্যাকে ভগ্নাংশ সংখ্যা বলা হয়। 
যেমন: 1/2, 2/3, 5/6,- 5/2 ইত্যাদি। 
p < q হলে ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং p > q হলে ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলা হয়। 
যেমন: 1/3, 2/3, 2/7, ......... ইত্যাদি প্রকৃত ভগ্নাংশ এবং 3/2, 5/3, 7/2, 9/4, ............ ইত্যাদি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। 

মূলদ সংখ্যা (Rational Number): 
দুইটি পূর্ণ সংখ্যা p ও q এবং q ≠ 0 হলে, আকারের সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। মূলদ সংখ্যার সেটকে সাধারণত Q দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
অর্থাৎ, Q =  {p/q | p,q ∈ Z এবং q ≠ 0, p ও q সহমৌলিক} । 

অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): 
যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না তাদেরকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। অমূলদ সংখ্যার সেটকে সাধারণত Q' দ্বারা প্রকাশ করা হয়। 
যেমন: π, √2, √3, √(5/2) ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১২৩। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি, 
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে x - ১, x এবং x + ১ 

প্রশ্নমতে, 
x - ১ + x + x + ১ = ১২৩
বা, ৩x = ১২৩ 
বা, x = ১২৩/৩ 
∴ x = ৪১
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ৪০, ৪১ এবং ৪২ 

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গুণফল = (৪০ × ৪১) 
= ১৬৪০ ।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার  ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = x
ছোট সংখ্যাটি = ২x/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটি গ.সা.গু 
⇒ x. (২x/৩) = ৬০ × ১০
⇒ ২x^২ = ৬০০ × ৩
⇒ x^২ = ১৮০০/২
⇒ x^২ = √৯০০ 
∴ x = ৩০ 
বড় সংখ্যাটি = ৩০ 

∴ ছোট সংখ্যাটি = (৩০ × ২)/৩ 
= ২০  ।

প্রশ্ন: ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: n (n + 1)/2 
∴ ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল = {১০০ × (১০০ + ১)}/২ 
= (১০০ × ১০১)/২ 
= ৫০৫০ । 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ? 

সমাধান: 
২/৯ = ০.২২২ (বৃহত্তম)
৭/৩৬ = ০.১৯৪ (বৃহত্তম) 
৫/২৭ = ০.১৮৫ (ক্ষুদ্রতম) 
১১/৪৫ = ০.২৪৪ (বৃহত্তম) 

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫/২৭ । 

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের ল.সা.গু ১৮০ । সংখ্যা দুটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যা দুটি ৩ক ও ৪ক 
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১২ক 

শর্তমতে, 
১২ক = ১৮০ 
বা, ক = ১৮০/১২ 
∴ ক = ১৫ 
সুতরাং ৩ক = ৩ × ১৫ = ৪৫ এবং ৪ক = ৪ × ১৫ = ৬০ 

∴ সংখ্যা দুটি ৪৫ ও ৬০ ।

প্রশ্ন: x ও y উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান: 
দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদাই জোড় সংখ্যা হয়।

ধরি, 
বিজোড় সংখ্যা দুইটি x = 3 এবং y = 5,  
ক) x + y + 1 = (3 + 5 + 1) = 9 (বিজোড় সংখ্যা)। 
খ) xy = (3 × 5) = 15 (বিজোড় সংখ্যা)।
গ) xy + 2 = (3 × 5) + 2 = 15 + 2 = 17 (বিজোড় সংখ্যা)।
ঘ) x + y = (3 + 5) = 8 (জোড় সংখ্যা)।

প্রশ্ন: ৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লব এর ল.সা.গু/হর এর গ.সা.গু 

∴ লব ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২
হর ৪ ও ৭ এর গ.সা.গু = ১

∴ ৩/৪ এবং ৪/৭ এর ল.সা.গু = ১২/১
= ১২ ।

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৪ অংশ কাঁদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং ৩ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
বাঁশটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = x মিটার 

প্রশ্নমতে, 
x - (x/৪ + ৩x/৫) = ৩ 
বা, x - (৫x + ১২x)/২০ = ৩
বা (২০x - ১৭x)/২০ = ৩
বা, ৩x/২০ = ৩ 
বা, ৩x = ৬০ 
বা, x = ৬০/৩
∴ x = ২০

∴ বাঁশটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ২০ মিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
একক ও দশক স্থানের অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। 

এখানে, 
৫১০০৫৬ সংখ্যাটির শেষ দুইটি অঙ্ক অর্থাৎ ৫৬ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
(৫৬ ÷ ৪) = ১৪ 
(৫১০০৫৬ ÷ ৪) = ১২৭৫১৪ যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য একটি সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ৭। লবের সাথে ১ যোগ করলে হরের সমান হবে। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
ভগ্নাংশটির লব x হলে হর হবে (৭ - x) 
∴ ভগ্নাংশটি = x/(৭ - x)

শর্তমতে, 
x + ১ = ৭ - x 
বা, x + x = ৭ - ১
বা, ২x = ৬
বা, x = ৬/২ 
∴ x = ৩

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = ৩/(৭ - ৩) 
= ৩/৪

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতে ১ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৯, ১২ ও ১৫ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
 ৯, ১২ ও ১৫ এর ল. সা. গু. এর সঙ্গে ১ যোগ করলে নির্ণেয় সংখ্যা পাওয়া যায়। 
∴  ৯, ১২ ও ১৫ এর ল. সা. গু. = ১৮০ 

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = (১৮০ + ১) 
= ১৮১  ।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু তাদের গ.সা.গু এর ২৫ গুণ। দুটি সংখ্যার গুণফল ২০২৫ হলে তাদের  ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
ধরি,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু = x
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু  = ২৫x 

আমরা জানি, 
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ও গ.সা.গুর গুণফল = দুটি সংখ্যার গুণফল 
∴ ২৫x × x = ২০২৫ 
⇒  ২৫x^২ = ২০২৫ 
⇒  x^২ = ৮১  
⇒ x^২ = ৯^২ 
∴ x = ৯ 

∴ ল.সা.গু = ২৫ × ৯ 
= ২২৫ । 

প্রশ্ন: একটি জলাধারের ১/৫ অংশ পূর্ণ আছে। জলাধারটির ৩/৫ অংশ পূর্ণ করতে আরও ২০ লিটার পানির প্রয়োজন। জলাধারটির ধারণক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান: 
২০ লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হয় জলাধারের {(৩/৫) - (১/৫)} অংশ = ২/৫ অংশ 

জলাধারের ২/৫ অংশের ধারণক্ষমতা = ২০ লিটার 
∴ জলাধারের ১ বা সম্পূর্ণ অংশের ধারণক্ষমতা = (২০ × ৫)/২ লিটার 
= ৫০ লিটার। 

∴ জলাধারটির ধারণক্ষমতা = ৫০ লিটার।

প্রশ্ন: ১০০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান: 
১০০৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^৪ × ৩^২ × ৭^১
এখানে,
২ এর সূচক ৪, ৩ এর সূচক ২ এবং ৭ এর সূচক হলো ১ । 

এখন, 
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) (২ + ১) (১ + ১) 
= ৫ × ৩ × ২ 
= ৩০

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩০ ।