৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

সিলেবাস

বীজগাণিতিক সূত্রাবলি, বহুপদী উৎপাদক, সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ, সরল ও দ্বিপদী অসমতা, সরল সহসমীকরণ।

প্রশ্ন দেখুন অনুশীলন

৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি · তারিখ অনির্ধারিত · ২৭ প্রশ্ন

১.

a+b = c হলে c³ - a³ - b³ এর মান কত?

ক
ক) 3abc
খ
খ) -3abc
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 3c

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
(a+b)³ = a³+b³+3abc(a+b)
বা, c³ = a³+b³+3abc [∵ a+b = c]
∴ c³ - a³ - b³ = 3abc

২.

a - (6/a) = 1 হলে 5/(a² - a - 1) এর মান-

ক
ক) 6
খ
খ) 6/5
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 5/6

ব্যাখ্যা

a - (6/a) = 1
বা, a² - 6 = a
∴ a² - a = 6
∴ 5/(a² - a - 1) = 5/(6-1)
= 5/5
= 1

৩.

a² + b² = 45 এবং ab = 18 হলে 1/a - 1/b = ?

ক
ক) 18
খ
খ) 45
গ
গ) 1/18
ঘ
ঘ) 1/6

ব্যাখ্যা

1/a - 1/b
= (b-a)/ab
= √(b-a)² / ab
= √(b² + a² - 2ab) / ab
= √(45 - 2 × 18) / 18
= √(45 - 36) / 18
= 3/18
= 1/6

৪.

x + 1/x = √5 এবং x - 1/x = √3 হলে x² + 1/x² = ?

ক
ক) 5
খ
খ) 8
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

এখানে, x + 1/x = √5 ও x - 1/x = √3

∴ 2(x² + 1/x²)
= (x + 1/x)² + (x - 1/x)²[যেহেতু 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²]
= (√5)² + (√3)²
= 5 + 3
= 8
অর্থাৎ, (x² + 1/x²) = 4

৫.

x² - 3x + 1 = 0 হলে x² - 1/x² = ?

ক
ক) √5
খ
খ) 2√5
গ
গ) 3√5
ঘ
ঘ) 4√5

ব্যাখ্যা

x² - 3x + 1 = 0
বা, x - 3 + 1/x = 0
∴ x + 1/x = 3
এখন,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4.x.1/x
= 3² - 4
= 5
∴ x - 1/x = √5
∴ x² - 1/x² = (x + 1/x) (x - 1/x) = 3√5

৬.

x² - y² + 2y - 1 এর একটি উৎপাদক x - y + 1 হলে অপর উৎপাদকটি -

ক
ক) x + y + 1
খ
খ) x + y - 1
গ
গ) x - y - 1
ঘ
ঘ) - x - y - 1

ব্যাখ্যা

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

৭.

x⁴ - 3x² + 1 এর একটি উৎপাদক-

ক
ক) x² + x + 1
খ
খ) x² - x + 1
গ
গ) - x² + x² - 1
ঘ
ঘ) x² + x - 1

ব্যাখ্যা

x⁴ - 3x² + 1
= (x²)² - 2.(x²).1 + (1²) - x²
= (x² - 1)² - x²
= (x² + x - 1) (x² - x - 1)

৮.

a² + b² - c² + 2ab এর উৎপাদকসমূহ-

ক
ক) (a+b+c), (a-b+c)
খ
খ) (a+b+c), (a+b-c)
গ
গ) (a-b+c), (a+b-c)
ঘ
ঘ) (a+b-c), (a-b+c)

ব্যাখ্যা

a² + b² - c² + 2ab
= (a² + b² + 2ab) - c²
= (a+b)2 - c²
= (a+b+c), (a+b-c)

৯.

ax² - ax + 4 এর একটি উৎপাদক 3x + 1 হলে a এর মান কত?

ক
ক) -9
খ
খ) 9
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) -1/3

ব্যাখ্যা

x = -1/3 হলে,
ax² - ax + 4 = 0
বা, a(-1/3)² - a(-1/3) + 4 = 0
বা, a/9 + a/3 + 4 = 0
বা, (a + 3a + 36) / 9 = 0
বা, 4a + 36 = 0
বা, a = -9

১০.

4x² - 7x + 2 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি -

ক
ক) বাস্তব ও সমান
খ
খ) মূলদ ও অসমান
গ
গ) অমূলদ ও অসমান
ঘ
ঘ) জটিল ও সমান

ব্যাখ্যা

সমীকরণের নিশ্চায়ক D = (-7)² - (4 × 4 × 2)
= 49-32
= 17
যা পূর্ণবর্গ নয়। ∴ সমীকরণের মূলদ্বয় অমূলদ ও অসমান।

১১.

৪০ সংখ্যাটি x অপেক্ষা ১১ বেশি। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে পাই,

ক
ক) x-১১ = ৪০
খ
খ) x+১১ = ৪০
গ
গ) x-৪০ = ১১
ঘ
ঘ) x+৪০ = ১১

ব্যাখ্যা

শর্তানুসারে,
x এর সহিত ১১ যোগ করলে ৪০ এর সমান হয়।
অর্থাৎ, x+১১ = ৪০

১২.

4x² - 7x + 2 = 0 সমীকরণের একটি মূল (7 - √17)/8 হলে অপর মূলটি-

ক
ক) (7 + √17)/8
খ
খ) (7 - √17)/8
গ
গ) (- 7 + √17)/8
ঘ
ঘ) (- 7 - √17)/8

ব্যাখ্যা

সমীকরণের অমূলদ মূল যুগলরূপে আসে।
∴ একটি মূল (7 - √17)/8 হলে এর অনুবন্ধী অমূলদ সংখ্যা (7 + √17)/8 হবে সমীকরণের অপর মূল।

১৩.

x³ + ax + 10 = 0 এর একটি মূল 2 হলে a এর মান-

ক
ক) -9
খ
খ) -2
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

যেহেতু, সমীকরণের মূল 2
∴ 2³ + a.2 + 10 = 0
বা, 2a + 18 = 0
∴ a = -9

১৪.

√(x+2) = √x + √2 হলে x = ?

ক
ক) -3
খ
খ) 0
গ
গ) √3
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

এখানে, x=0 এর জন্য সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

১৫.

x³ - 1 = 0 সমীকরণের মোট মূলের সংখ্যা-

ক
ক) ১টি
খ
খ) ২টি
গ
গ) ৩টি
ঘ
ঘ) ৪টি

ব্যাখ্যা

x³ - 1 = 0 সমীকরণটি ত্রিঘাত সমীকরণ। সুতরাং, এর মূল ৩টি।

১৬.

p এর কোন মানের জন্য x² + px + 4 = 0 এর মূলদ্বয় সমান?

ক
ক) 0
খ
খ) ± 16
গ
গ) ± 4
ঘ
ঘ) ± 2

ব্যাখ্যা

যেহেতু, মূলদ্বয় সমান
∴ নিশ্চায়ক = 0
বা, p² - 4.1.4 = 0
p² = 16
p = ± 4

১৭.

x² + y² = 185, x - y = 3 এর একটি সমাধান হলো-

ক
ক) (7, 4)
খ
খ) (9, 6)
গ
গ) (10, 7)
ঘ
ঘ) (11, 8)

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
2 (x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²
⇒ 2 × 185 = (x + y)² + (3)²
⇒ (x + y)² = 370 - 9
⇒ (x + y)² = 361
∴ x + y = 19 ------- (i)
আবার, x - y = 3 ------- (ii)
(i) + (ii) ⇒ 2x = 22
∴ x = 11
∴ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

১৮.

দুইটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 12 এবং 35 হলে সংখ্যা দুটির ব্যস্তানুপাতিক (Reciprocal) এর সমষ্টি কত?

ক
ক) 35/12
খ
খ) 12/35
গ
গ) 13/35
ঘ
ঘ) 13/37

ব্যাখ্যা

সংখ্যা দুইটি a ও b হলে,
a+b = 12
এবং ab = 35
∴1/a + 1/b = a+b / ab = 12/35

১৯.

a² + b² = 2, ab = 1 হলে a এবং b এর মান যথাক্রমে-

ক
ক) 0, -1
খ
খ) -1, 0
গ
গ) -1, -1
ঘ
ঘ) 0, 1

ব্যাখ্যা

a = -1, b = -1 হলে উভয় সমীকরণ সিদ্ধ হয়।

২০.

একটি সংখ্যার তিনগুণ থেকে y বিয়োগ করলে বিয়োগফল 90 হয়। সংখ্যাটি x হলে নিচের কোনটি x, y এর সম্পর্ক?

ক
ক) y = 3x + 90
খ
খ) y = 3x - 90
গ
গ) y + 3x = 90
ঘ
ঘ) 3x - y + 90 = 0

ব্যাখ্যা

শর্তমতে,
3x - y = 90
∴ y = 3x - 90

২১.

a ও b দুইটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং ab/x = √b হলে x/√a = কত?

ক
ক) √a
খ
খ) √b
গ
গ) √(ab)
ঘ
ঘ) √(a/b)

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
ab/x = √b
∴ x = a√b
এখন,
x/√a
= a√b / √a
= √a √b
= √(ab)

২২.

a>b হলে নিচের কোনটি সত্য?

ক
ক) -a < -b
খ
খ) 1/a > 1/b
গ
গ) -a > -b
ঘ
ঘ) a-b < 0

ব্যাখ্যা

7 > 5 হলে -7 < -5, 1/7 < 1/5 এবং 7-5 > 0

২৩.

4x - 5 < 3x - 4 এর সমাধান সেট কোনটি?

ক
ক) (∞, 1)
খ
খ) (-∞, 1)
গ
গ) (1, ∞)
ঘ
ঘ) (-1, ∞)

ব্যাখ্যা

4x - 5 < 3x - 4
বা, 4x - 3x < 5-4
বা, x < 1
∴ x = (-∞, 1)

২৪.

x² - 3x + 2 < 0 হলে সমাধান সেট-

ক
ক) 1 ≤ x ≤ 2
খ
খ) 1< x < 2
গ
গ) 1 > x > 2
ঘ
ঘ) 1 ≥ x ≥ 2

ব্যাখ্যা

x² - 3x + 2 < 0
বা, x² - 2x - x + 2 < 0
বা, x(x-2) -1(x-2) < 0
বা, (x-2) (x-1) < 0
লেখচিত্র হতে পাই,
1< x < 2 হলে (x-2) (x-1) < 0 হয়
∴ সমাধান সেট 1< x < 2

২৫.

x > y এবং z > 0 হলে নিচের কোনটি সত্য?

ক
ক) xz > yz
খ
খ) xz < yz
গ
গ) z/x > z/y
ঘ
ঘ) x/z < y/z

ব্যাখ্যা

5 > 3 এবং 2 > 0
∴ 5 × 2 > 3 × 2, 2/5 < 2/3 এবং 5/2 > 3/2

২৬.

x > y এবং xy < 0 হলে নিচের কোনটি সত্য?

ক
ক) x > 0, y > 0
খ
খ) x > 0, y < 0
গ
গ) x < 0, y > 0
ঘ
ঘ) x < 0, y < 0

ব্যাখ্যা

xy < 0 হলে x, y পরস্পর বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হবে
আবার, x > y হলে x ধনাত্মক এবং y ঋণাত্মক হবে
∴ x > 0, y < 0

২৭.

a > b > 1 হলে কোনটি সত্য?

ক
ক) a² > b²
খ
খ) a² < b²
গ
গ) a+b < 2
ঘ
ঘ) a-b < 0

ব্যাখ্যা

যেহেতু a > b
∴ a² > b² হবে।
যেমনঃ 3 > 2
∴ 9 > 4