Math Master

ধরি,
ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে, x, x ও 2x।
প্রশ্নমতে, x + x + 2x = 180°
বা, 2x = 90°
অর্থ্যাৎ, ত্রিভুজটির একটি কোণ একসমকোণ।
∴ ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

একটি ত্রিভুজ এবং একটি বৃত্ত ন্যুনতম ২টি ও সর্বোচ্চ ৬টি বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে।

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(তৃতীয় বাহু)^২ = (বড় বাহু)^২ + (ছোট বাহু)^২ অথবা (বড় বাহু - অতিভুজ)^২ - (ছোট বাহু)^২
সূত্রানুসারে,
(তৃতীয় বাহু)^২ = ১৭^২ - ১৫^২
                  = ৮^২
∴ তৃতীয় বাহু = ৮ সে.মি

কোণগুলো যথাক্রমে x, 2x, 2x ও 3x ধরে পাই,
x + 2x + 2x + 3x = 360°
x = 45°
∴ ক্ষুদ্রতম কোন = 45°।
∴ এর সম্পূরক কোণ = 180° - 45° = 135°।

সমকোণী ত্রিভুজ পীথাগোরিয়ান টাপুল সমর্থন করে।
অর্থ্যাৎ,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
এখানে, ১৩^২ = ১২^২ + ৫^২
সুতরাং, খ) সঠিক উত্তর।

যেহেতু, বিন্দুটির কোটি শূন্য (0),
সুতরাং, এর অবস্থান x অক্ষের উপর হবে।

কোণ তিনটি যথাক্রমে, ∠A, ∠B ও ∠C হলে,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + B = 180° - ∠C

দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
অর্থ্যাৎ, প্রতিটি কোণ সুক্ষ্মকোণ।

ত্রিভুজটির তিনটি কোণ বিষম আকৃতির হওয়ায় এর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যও বিষম আকৃতির হবে।
অর্থ্যাৎ, ত্রিভুজটি বিষমবাহু হবে।

সমকোণ ব্যতীত অপর কোণ দুটির সমষ্টি = (১৮০° - ৯০°) = ৯০°।
∴ কোণদ্বয় পরস্পর পূরক কোণ।

(0, 0) হতে (-5, 5)  এর দূরত্ব = √{(০+5)²+(0-5)²}
                                       = √50
আবার, (0, 0) হতে (5, k)  এর দূরত্ব = √{(0-5)²+(0-k)²}
                                               = √(k² + 25)

∴√(k² + 25) = √50
বা, k² = 25
বা, k = 5

বৃহত্তম কোণ = 180° - (সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি)
                = 180° - (2 × 50)°
                = 80°

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে,
∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°
∴ ∠A + ∠C = 180°
∴ ∠C = 180° - ∠A
বা, ∠C = 180° - 105°
বা, ∠C = 75°

180° = π রেডিয়ান
1° = π/180 রেডিয়ান

পরিসীমা = ৪৮ মি. ∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ১৬ মি.
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √৩/৪ (বাহু)২ বর্গমি.
                                 = √৩/৪ (১৬)২ বর্গমি.
                                 = ৬৪√৩ বর্গমি.

প্রশ্নমতে আয়তক্ষেত্রের,
প্রথম ক্ষেত্রফল = নতুন ক্ষেত্রফল
১৮ × ১০ = ২৫ × নতুন প্রস্থ
নতুন প্রস্থ = ১৮০/২৫ = ৭.২ সে.মি

ধরি,
রেখার দৈর্ঘ্য = x
∴ রেখার অর্ধেক = x/2
∴ রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল/অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = x²/(x²/4)
= x² × 4/x²
= 4