সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: ৪৫, ৬০ ও ৭৫ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
৪৫ = ৩ × ৩ × ৫
৬০ = ২ × ২ × ৩ × ৫
৭৫ =  ৩ × ৫

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৩ × ৫ = ১৫

প্রশ্ন: ৪টি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৬, ১২, ১৮ ও ২৪ সেকেন্ড অন্তর অন্তর আবার বাজতে লাগলো। কতক্ষণ পর তারা আবার একসাথে বাজবে?

সমাধান: 
৬, ১২, ১৮ ও ২৪ এর লসাগু হবে ঘণ্টা চারটি পরবর্তীতে একত্রে বাজার সময়।

৬ = ২ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৭২

অর্থাৎ, ৭২ সেকেন্ড = ৭২/৬০ মিনিট
= ১.২ মিনিট বা ১ মিনিট ১২ সেকেন্ড পর আবার একত্রে বাজবে।

প্রশ্ন: ৩/৪, ৬/৮, ৯/১২ এর গ.সা.গু কত?

আমরা জানি,
ভগ্নাংশের গ.সা.গু =  লবগুলোর গ.সা.গু/হরের ল.সা.গু

এখানে, 
ভগ্নাংশের লব = ৩, ৬, ৯
ভগ্নাংশের হর = ৪, ৮, ১২

লব ৩, ৬, ৯ এর গসাগু = ৩
হর ৪, ৮, ১২ এর লসাগু = ২৪

∴ ভগ্নাংশের গ.সা.গু = ৩/২৪
= ১/৮

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি বাস্তব সংখ্যা নয়?

সমাধান:
• বাস্তব সংখ্যা: শূণ্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যেমনঃ ০, ১, ২, - ১, - ২, - √২, √৫ ইত্যাদি।

অপশন ক, গ, ঘ তিনটিই বাস্তব সংখ্যা।

কিন্তু,
অপশন (খ) এর ৩ + √-৫ একটি কাল্পনিক সংখ্যা। কারণ √-৫ বাস্তব সংখ্যার মধ্যে পড়ে না। এটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৪২০। একটি সংখ্যা ৬০ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু

ধরি, 
অপর সংখ্যা = ক

প্রশ্নমতে,
ক × ৬০ = ১৫ × ৪২০
⇒ ক = (১৫ × ৪২০)/৬০
∴ ক = ১০৫

∴ অপর সংখ্যাটি = ১০৫

প্রশ্ন: কোন বইয়ের ৮৪ পৃষ্ঠা পড়ার পরেও তার ৩/১০ অংশ পড়তে বাকি থাকলে বইটির মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা কত?

সমাধান:
পড়া হয়েছে = ১ - (৩/১০) = ৭/১০ অংশ

প্রশ্নমতে,
৭/১০ অংশ = ৮৪ পৃষ্ঠা
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ বইটি = (৮৪ × ১০)/৭ = ১২০ পৃষ্ঠা

প্রশ্ন: a ও b দুটি বিজোড় সংখ্যা। নিচের কোন সংখ্যাটি জোড়?

সমাধান:
a ও b দুইটি বিজোড় সংখ্যা।

ধরি,
দুটি বিজোড় সংখ্যা, a = 1 , b = 3

অপশন:
ক) a + 2b = 1 + (2 × 3) = 7 ; বিজোড় সংখ্যা
খ) 3a + b = (3 × 1) + 3 = 6 ; জোড় সংখ্যা
গ) ab = 1 × 3 = 3 ; বিজোড় সংখ্যা
ঘ) a + b + 1 = 1 + 3 + 1 = 5 ; বিজোড় সংখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ২১০। প্রথম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম সংখ্যাটি = ৫ক
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৭ক
∴ ৫ক ও ৭ক এর ল.সা.গু = ৩৫ক

প্রশ্নমতে,
৩৫ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৩৫
∴ ক = ৬

∴ প্রথম সংখ্যা = ৫ক = ৫ × ৬ = ৩০

প্রশ্ন: রহিম তার সঞ্চয়ের দুই-পঞ্চমাংশ দিয়ে একটি দোকান কিনে এবং দোকানের মূল্যের দুই-তৃতীয়াংশ দিয়ে একটি গাড়ি কিনে। দোকান ও গাড়ি কেনার পর তার মোট সঞ্চয়ের কত অংশ অবশিষ্ট রইল?

সমাধান:
মনে করি,
রহিমের মোট সঞ্চয় = ১ অংশ।

দোকান ক্রয়ের জন্য ব্যয় = ২/৫ অংশ।
এবং গাড়ি কিনেন = (২/৫) × (২/৩) = ৪/১৫ অংশ টাকা দিয়ে।

∴ মোট ব্যয় = (২/৫) + (৪/১৫) অংশ
= (৬ + ৪)/১৫ অংশ
= ১০/১৫ অংশ 
= ২/৩ অংশ

∴ অবশিষ্ট রইল = ১ - (২/৩) অংশ
= (৩ - ২)/৩ অংশ
= ১/৩ অংশ

∴ রহিমের মোট সঞ্চয়ের ১/৩ অংশ অবশিষ্ট রইল।

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ৬০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা দুটির গড় কত?

সমাধান:
৪০ থেকে ৬০ এর মধ্যে সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে যথাক্রমে ৪১  ও ৫৯।

∴ সংখ্যা দুটির গড় = (৪১ + ৫৯)/২ = ১০০/২ = ৫০ ।

প্রশ্ন: একটি স্কুলের ছাত্রদেরকে ৬, ৮, ১২, ও ১৫ জন করে সারিতে দাঁড় করালে প্রতিবারই ১০ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে। স্কুলের মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
৬ = ২ × ৩
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৫ = ৩ × ৫

৬, ৮, ১২, ও ১৫ এর লসাগু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ১২০

∴ ছাত্রসংখ্যা = ১২০ + ১০ = ১৩০

প্রশ্ন: একটি বালতির ১/৪ অংশ পানি ভর্তি আছে। যদি ৬ লিটার পানি সরানো হয় তবে ১/৮ অংশ ভর্তি থাকে। বালতিটি কত লিটার পানি ধারন করতে পারে?

সমাধান:
ধরি, বালতিটি 'ক' লিটার পানি ধারন করতে পারে

প্রশ্নমতে,
(ক/৪) - ৬ = ক/৮
⇒ (ক/৪) - (ক/৮) = ৬
⇒ (২ক - ক)/৮ = ৬
⇒ ক = ৬ × ৮
∴ ক = ৪৮

∴ বালতিটি ৪৮ লিটার ধারণ করতে পারে।

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১ 

এখানে,
২ এর সূচক ৩, ৩ এর সূচক ৩, এবং ৫ এর সূচক ১

এখন,
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখায় = (৩ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ৪ × ২
= ৩২

∴ ১০৮০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক ৩২ টি।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ২৫ ও ৩৫ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৫ ও ১৫ অবশিষ্ট থাকবে?

সমাধান: 
২৫ - ৫ = ২০
৩৫ - ১৫ = ২০

২৫ = ৫ × ৫
৩৫ = ৫ × ৭ 
∴ ২৫ ও ৩৫ এর লসাগু = ৫ × ৫ × ৭ = ১৭৫

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১৭৫ - ২০ = ১৫৫

প্রশ্ন: ১/২, ৫/৬, ৩/৪, ৫/১২ ভগ্নাংশগুলোর গড় কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোর সমষ্টি = ১/২ + ৫/৬+ ৩/৪ + ৫/১২
= (৬ + ১০ + ৯ + ৫)/১২
= ৩০/১২
= ৫/২

∴ ভগ্নাংশগুলোর গড় = (৫/২)/৪
= (৫/২) × (১/৪)
= ৫/৮

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৯, ১২, ১৮ এবং ৩০ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৯, ১২, ১৮ এবং ৩০ এর ল.সা.গু নির্ণয় করি,
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫

যেহেতু ছাত্রদেরকে বর্গের আকারে সাজানো যায় তাই ল.সা.গু এর সাথে ৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ২ × ২ × ৩ × ৩ x ৫ × ৫ = ৯০০ জন

প্রশ্ন: ১৫ এর ০.২ ÷ ০.৩ = কত?

সমাধান:
১৫ এর ০.২ ÷ ০.৩
= ১৫ এর (২/১০) ÷ ৩/১০
= ৩ ÷ ৩/১০
= ৩ × (১০/৩)
= ১০

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার যোগফল ১৮০। প্রথম সংখ্যাটি দ্বিতীয় সংখ্যার তিনগুণ, এবং তৃতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যা থেকে ৩০ কম। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দ্বিতীয় সংখ্যা = ক
∴ প্রথম সংখ্যা = ৩ক
∴ তৃতীয় সংখ্যা = ৩ক - ৩০

প্রশ্নমতে,
ক + ৩ক + (৩ক - ৩০) = ১৮০
⇒  ক + ৩ক + ৩ক - ৩০ = ১৮০
⇒ ৭ক - ৩০ = ১৮০
⇒ ৭ক = ১৮০ + ৩০
⇒ ৭ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৭
∴ ক = ৩০

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৩০

প্রশ্ন: একটি ১২০ ফুট দৈর্ঘ্য ও ৭০ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট আয়তাকার ঘরের মেঝেকে বর্গাকার টাইলস দিয়ে সম্পূর্ণ ঢেকে দিতে হবে। সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান: 
১২০ ও ৭০ এর গ.সা.গু ই হবে সর্বোচ্চ বর্গাকৃতির টাইলসের সংখ্যা কারণ টাইলসের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ এমন সংখ্যা হতে হবে যাতে তা দিয়ে ১২০ এবং ৭০ উভয় সংখ্যাকে ভাগ করা যায়। তাহলে কোন টাইলস কাটতে হবে না।

৭০ = ২ × ৫ × ৭
১২০ =২ × ২× ২ × ৩ × ৫

∴ গসাগু = ২ × ৫ = ১০

∴ সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ১০ ফুট ।