ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: (7y)⁰ + 7y⁰ + (7y)⁰ + 7y⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(7y)⁰ + 7y⁰ + (7y)⁰ + 7y⁰
= 1 + (7 × 1) + 1 + (7 × 1)
= 1 + 7 + 1 + 7
= 16

প্রশ্ন: ৯ + ১৩ + ১৭ + ২১ + ............. ধারাটির কোন পদ ১৬৫?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ, a = ৯
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৯ = ৪
n তম পদ = ১৬৫

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n - ১) × ৪ = ১৬৫
⇒ ৯ + ৪n - ৪ = ১৬৫
⇒ ৪n + ৫ = ১৬৫
⇒ ৪n = ১৬০
⇒ n = ৪০

∴ ১৬৫ হলো ধারাটির ৪০ তম পদ।

প্রশ্ন: log₃(9/81) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(9/81)
= log₃(1/9)
= log₃(1/3²)
= log₃(3^{- 2})
= - 2 × log₃3   [log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= - 2 × 1   [log_aa = 1]
= - 2

প্রশ্ন: 5 + 15 + 45 + …............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 3645 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3
ধরি, n তম পদ = 3645

ধরি,
n তম পদ = 3645
⇒ ar^{n - 1} = 3645
⇒ 5 × 3^{n - 1} = 3645
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^{n - 1} = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
⇒ n = 7

∴ ধারাটির 7 তম পদ 3645 হবে।

প্রশ্ন: যদি (p/q)^{3x - 7} = (q/p)^{x - 3} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(p/q)^{3x - 7} = (q/p)^{x - 3}
⇒ (p/q)^{3x - 7} = (p/q)^{-(x - 3)}
⇒ 3x - 7 = -(x - 3)
⇒ 3x - 7 = -x + 3
⇒ 3x + x = 3 + 7
⇒ 4x = 10
∴ x = 10/4 = 2.5

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি ১০ এবং পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে ৮ বেশি হলে ধারাটির ৬০তম পদ কত?

সমাধান: প্রথম পদ, a = ১০
সাধারণ অন্তর, d = ৮

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) × d

∴ ৬০তম পদ = ১০ + (৬০ - ১) × ৮
= ১০ + (৫৯ × ৮)
= ১০ + ৪৭২
= ৪৮২

∴ ৬০তম পদটি হলো ৪৮২

প্রশ্ন: 2log₅25 + 3log₂8 + 4log₄64 এর মান কত?

সমাধান:
2log₅25 + 3log₂8 + 4log₄64
= 2log₅(5²) + 3log₂(2³) + 4log₄(4³)
= 2 × 2log₅5 + 3 × 3log₂2 + 4 × 3log₄4 [log_a(Mⁿ) = n·log_aM]
= (2 × 2 × 1) + (3 × 3 × 1) + (4 × 3 × 1) [log_aa = 1]
= 4 + 9 + 12
= 25

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 24 এবং ষষ্ঠ পদটি 192 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r

তৃতীয় পদ = 24
∴ ar^{3 - 1} = 24
⇒ ar² = 24 ......(1)

ষষ্ঠ পদ = 192
∴ ar^{6 - 1} = 192
⇒ ar⁵ = 192 ......(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) দ্বারা ভাগ করলে,
ar⁵/ar² = 192 / 24
⇒ r^{5 - 2} = 8
⇒ r³ = 8
⇒ r = 2

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই,
a × 2² = 24
⇒ a × 4 = 24
⇒ a = 6

∴ প্রথম পদ হলো 6

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 5 + 10 + 20 + ...... + 640 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 10 ÷ 5 = 2 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 640
⇒ ar^{n - 1} = 640
⇒ 5 × 2^{n - 1} = 640
⇒ 2^{n - 1} = 640/5 
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^n-1 = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 5 × (2⁸ - 1)/(2 - 1)
= 5 × (256 - 1)/1
= 5 × 255
= 1275

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 1275

প্রশ্ন: log_xy⁴ = 4a এবং log_yx³ = 3b হলে, ab = কত?

সমাধান:
log_xy⁴ = 4a
⇒ 4log_xy = 4a
⇒ log_xy = a ......(1)

আবার,
log_yx³ = 3b
⇒ 3log_yx = 3b
⇒ log_yx = b .......(2)

আমরা জানি,
log_xy × log_yx = 1

∴ ab = a × b
= log_xy × log_yx
= 1

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a√216 = 3/2
⇒ a^3/2 = √216  [কারণ log_aX = k ⇔ a^k = X]
⇒ (a^3/2)² = (√216)²  
⇒ a³ = 216
⇒ a³ = 6³
∴ a = 6

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৮ম পদ ৪২ হলে, তার প্রথম ১৫ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
∴ ৮ম পদ = a + (৮ - ১)d
= a + ৭d

প্রশ্নমতে,
a + ৭d = ৪২

আমরা জানি,
প্রথম nটি পদের সমষ্টি, S_n = (n/২){২a + (n - ১)d}

∴ প্রথম ১৫টি পদের সমষ্টি, S_১৫ = (১৫/২){২a + (১৫ - ১)d}
= (১৫/২)(২a + ১৪d)
= (১৫/২) × ২(a + ৭d)
= ১৫ × (a + ৭d)
= ১৫ × ৪২
= ৬৩০

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদ 6 এবং ষষ্ঠ পদ 486 হলে, সাধারণ অনুপাত এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গুণোত্তর অনুক্রমের n তম পদ = ar^{n - 1}

দ্বিতীয় পদ = ar^{2 - 1} = ar¹ = 6 ......(1)

ষষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = ar⁵ = 486 ......(2)

(2) ÷ (1) দ্বারা পাই,
ar⁵/ar¹ = 486/6
⇒ r⁴ = 81
⇒ r⁴ = 3⁴
⇒ r = 3

∴ সাধারণ অনুপাত = 3

প্রশ্ন: 9^x + 9^x + 9^x এর মান কোনটি?

সমাধান:
9^x + 9^x + 9^x
= 9^x(1 + 1 + 1)
= 9^x × 3
= (3²)^x × 3¹
= 3^2x × 3¹
= 3^{2x + 1}