শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৩৫ সে.মি. এবং এর পরিসীমা ১.২ মিটার। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ক সে.মি. 

আমরা জানি, 
১.২ মিটার = ১২০ সে.মি.
∴ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২(ক + ৩৫) সে.মি.

প্রশ্নমতে, 
২(ক + ৩৫) = ১২০ 
⇒ ২ক + ৭০ = ১২০ 
⇒ ২ক = ১২০ - ৭০ 
⇒ ২ক = ৫০ 
∴ ক = ২৫ 

∴ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (৩৫ × ২৫) = ৮৭৫ বর্গ সে.মি. । 

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে, 
অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180° 
∴ সুষম ষড়ভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি = (6 - 2) × 180°
= 4 × 180°

∴ অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টির দ্বিগুণ = 2(4 × 180°) 
= 8 × 180° 
= 8 × 2 সমকোণ 
= 16 সমকোণ ।

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।

এখানে, 
প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই, 
অপশন ক) তে, ২ + ৪ = ৬ < ৭ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
অপশন খ) তে, ৫ + ৬ = ১১ > ৮ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
অপশন গ) তে, ২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
অপশন ঘ) তে, ৩ + ৪ = ৭ > ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য 6√2 একক হলে ঐ বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
বর্গের বাহু a হলে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে = a√2 

প্রশ্নমতে, 
a√2 = 6√2
⇒ a = 6

∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = (a)²
= (6)²
= 36 বর্গ একক । 

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ ১৬২°। বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বহুভুজের প্রত্যেকটি অন্ত:স্থ কোণ = ১৬২° 
∴ বহুভুজটির বহিঃস্থ কোণ = (১৮০ - ১৬২)° 
= ১৮° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = (৩৬০/১৮) 
=২০টি

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পার্থক্য 8° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
একটি সূক্ষ্মকোণ = x
অপর সূক্ষ্মকোণ = x + 8

প্রশ্নমতে, 
x + x + 8 = 90°
⇒ 2x + 8 = 90°
⇒ 2x = (90 - 8)°
⇒ 2x = 82°
⇒ x = (82/2)°
∴ x = 41°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 41°  ।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণের মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক কোণ। 
তাহলে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৮০° হলে তার বিপরীত কোণের মান ১০০° হবে।

প্রশ্ন: সুষম ষড়ভুজের একটি বহিঃস্থ কোণ কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
বাহু সংখ্যা, n = 6

∴ বহিঃস্থ কোণ = 360°/6 
= 60°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৮ মি., ১৫ মি. এবং ১৭ মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
পরিসীমা, ২S = (৮ + ১৫ + ১৭)
বা, S = (৮ + ১৫ + ১৭)/২ 
= ৪০/২
= ২০ মি. 

আমরা জানি, 
ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = √{S(S - a)(S - b)(S - c)}
= √{২০(২০ - ৮)(২০ - ১৫)(২০ - ১৭)}
= √(২০ × ১২ × ৫ × ৩)
= √৩৬০০
= ৬০ বর্গমিটার

∴ ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬০ বর্গমিটার ।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির 3/4 অংশ হলে, ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য = 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য = 4x × (3/4)
= 3x মিটার 

এখন, 
(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 9x² + 16x² = 625
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 625/25
⇒ x² = 25
∴ x = 5

∴ ভূমির দৈর্ঘ্য = (4 × 5) = 20 মিটার
এবং লম্বের দৈর্ঘ্য = {4x × (3/4)} = (3 × 5) = 15 মিটার 

∴ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 20 : 15 
= 4 : 3  ।

প্রশ্ন: যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় সেই চতুর্ভুজকে বলা হয় - 

সমাধান: 
আয়তক্ষেত্র: 
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে। 

রম্বস: 
- যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান ও বিপরীত কোণদ্বয় সমান, কিন্তু কোনো কোণই সমকোন নয়, তাকে রম্বস বলে। রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। 

সামান্তরিক: 
- যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামান্তরিক বলে।

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৭ : ২ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
অন্তঃস্থ কোণ = ৭ক
∴ বহিঃস্থ কোণ = ২ক

প্রশ্নমতে, 
৭ক + ২ক = ১৮০° 
⇒ ৯ক = ১৮০° 
∴ ক = ২০° 
∴ বহিঃস্থ কোণ = ২ × ২০° = ৪০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৪০°
= ৯ টি  ।

প্রশ্ন: একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম কোণের মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাত = 9 : 10 : 12 : 14 : 15
∴ পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর অনুপাতের যোগফল = (9 + 10 + 12 + 14 + 15) 
= 60

একটি পঞ্চভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলোর সমষ্টি = (n - 2) × 180°
= (5 - 2) × 180°
= 540° 

∴  বৃহত্তম কোণের মান = 540° × (15/60) 
= 135°  ।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কী কোণ? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ = ৯০°
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = (১৮০ - ৯০)°
= ৯০°

∴ প্রতিটি কোণ ভিন্ন ভিন্ন ভাবে অবশ্যই ৯০° এর চেয়ে ছোট হবে, অর্থাৎ কোণগুলো সূক্ষ্মকোণ হবে।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8, 10, 12 মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার? 

সমাধান: 

ধরি, 
বৃহত্তম বাহু, AC = 12 মিটার
ক্ষুদ্রতম বাহু, AB = 8 মিটার
∴ মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব, DE = ? 

অতএব, AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির সংযোগ সরলরেখা DE হবে তৃতীয় বাহু BC এর অর্ধেক।
∴ DE = 1/2 × BC
বা, DE = 1/2 × 10
বা, DE = 10/2
∴ DE = 5 মিটার ।