প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে ৩ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ৮, ১২ ও ১৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
এখানে,
৮, ১২ ও ১৬ এর ল.সা.গু = ৪৮

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ল.সা.গু + ৩
= ৪৮ + ৩
= ৫১

প্রশ্ন: একটি স্কুলে যদি আরও ৭জন শিক্ষার্থী থাকতো, তবে তাদেরকে ১২, ১৮, ২৪ ও ৩০ সারিতে দাঁড় করানো যেত। ঐ স্কুলের শিক্ষার্থী সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
শিক্ষার্থী সংখ্যা = (১২, ১৮, ২৪ ও ৩০ এর ল. সা. গু) - ৭
১২, ১৮, ২৪ ও ৩০ এর ল. সা. গু = ৩৬০

∴ শিক্ষার্থী সংখ্যা = ৩৬০ - ৭ জন
= ৩৫৩ জন

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
৭/১৩ = ০.৫৪
৩/৭ = ০.৪৩
৫/৯ = ০.৫৬
৩/৪ = ০.৭৫

এখানে,
০.৪৩ < ০.৫৪ < ০.৫৬ < ০.৭৫
∴ বৃহত্তম ভগ্নাংশটি = ৩/৪

প্রশ্ন: তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজার পর তারা ২ ঘণ্টা, ৩ ঘণ্টা ও ৪ ঘণ্টা পরপর বাজতে থাকল। ১ দিনে তারা কতবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২
অতএব, তিনটি ঘণ্টা একত্রে বাজবে ১২ ঘণ্টা পর।

∴ ১ দিনে বা ২৪ ঘণ্টায় মোট বাজবে = (২৪/১২) বার
= ২ বার

[১ দিন বলতে যেহেতু ২৪ ঘণ্টাকে (০০:০০:০০-২৩:৫৯:৫৯) বুঝায়, তাই এই সময়ের মধ্যে ঘণ্টাটি সর্বোচ্চ ২ বার বাজবে।]

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৪২১ থেকে যত বড় ৫৬১ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৪২১ = ৫৬১ - ক
⇒ ক + ক = ৫৬১ + ৪২১
⇒ ২ক = ৯৮২
∴ ক = ৪৯১
অতএব, সংখ্যাটি হলো ৪৯১

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্যতার নীতি: কোন সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে , প্রদত্ত সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

এখানে,
৩৫৮৪ = ৩ + ৫ + ৮ + ৪ = ২০ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়
৫৪২ = ৫ + ৪ + ২ = ১১ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়
৩৮০৩= ১ + ২ + ৩ + ৪ = ১০ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়
২৬২২ = ২ + ৬ + ২ + ২ = ১২ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য

∴ ২৬২২/৩ = ৮৭৪ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য

প্রশ্ন: কোনো ব্যক্তি তার সম্পত্তির ১/৮ অংশ স্ত্রীকে, ১/২ অংশ পুত্রকে, ও ১/৪ অংশ মেয়েকে দান করলেন। তাঁর অবশিষ্ট সম্পত্তির মূল্য ২০,০০০ টাকা। মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
মোট দান করলেন = (১/৮) + (১/২) + (১/৪) অংশ
= (১ + ৪ + ২)/৮ অংশ
= ৭/৮ অংশ

অবশিষ্ট রইলো = ১ - (৭/৮)অংশ
= (৮ - ৭)/৮ অংশ
= ১/৮ অংশ

১/৮ অংশ সম্পত্তির মূল্য = ২০,০০০ টাকা
∴১ বা সম্পূর্ণ অংশ সম্পত্তির মূল্য = (২০,০০০ × ৮) টাকা = ১৬০,০০০ টাকা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ৬০ এবং ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে বড় সংখ্যাটির বর্গের মান কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৩ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ২ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ ৩ক × ২ক = ৬০ × ১০
⇒ ৬ক^২ = ৬০০
⇒ ক^২ = ১০০
∴ ক = ১০

অতএব,
বড় সংখ্যাটি = ৩ × ১০ = ৩০
বড় সংখ্যাটির বর্গের মান = ৩০^২ = ৯০০

প্রশ্ন: a একটি জোড় সংখ্যা এবং b একটি বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা হতে পারবে না?

সমাধান:
• a + b : জোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা [যেমন ২ + ৩ = ৫]
• a - b : জোড় সংখ্যা - বিজোড় সংখ্যা = বিজোড় সংখ্যা [যেমন ২ - ১ = ১]
• ab : জোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা [যেমন ২ × ৩ = ৬]
• ab + 3 : (জোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা) + 3 = জোড় সংখ্যা + 3 = বিজোড় সংখ্যা [যেমন (২ × ৩) + ৩ = ৯]

অতএব, a একটি জোড় সংখ্যা এবং b একটি বিজোড় সংখ্যা হলে ab বিজোড় সংখ্যা হতে পারবে না।

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে গণিতে ৮ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৭৫, ১২ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৬০, এবং ২০ জন ছাত্রের গড় নম্বর ৪৫। ঐ ক্লাসের ছাত্রদের গণিতে গড় নম্বর কত?

সমাধান:
৮ জনের মোট নম্বর = ৭৫ × ৮ = ৬০০
১২ জনের মোট নম্বর = ৬০ × ১২ = ৭২০
২০ জনের মোট নম্বর = ৪৫ × ২০ = ৯০০

মোট ছাত্র সংখ্যা = ৮ + ১২ + ২০ = ৪০ জন
সবার মোট নম্বর = ৬০০ + ৭২০ + ৯০০ = ২,২২০

∴ ঐ ক্লাসের ছাত্রদের গণিতে গড় নম্বর = ২২২০/৪০ = ৫৫.৫

প্রশ্ন: একটি লোহার পাত ও একটি তামার পাতের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৮০ সে.মি. ও ২৭০ সে.মি. । পাত দুইটি থেকে কেটে নেওয়া একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
একই মাপের সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে ১৮০ সে.মি. ও ২৭০ সে.মি. এর গ.সা.গু।
১৮০ ও ২৭০  এর গ.সা.গু = ৯০

∴ সবচেয়ে বড় টুকরার দৈর্ঘ্য হবে = ৯০ সে.মি.

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ২৫% এর সাথে ৬০ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ২৫% + ৬০ = ক
⇒ ০.২৫ক + ৬০ = ক
⇒ ক - ০.২৫ক = ৬০
⇒ ০.৭৫ক = ৬০
⇒ ক = ৬০/০.৭৫
∴ ক = ৮০

সংখ্যাটির দ্বিগুণ = (৮০ × ২) = ১৬০

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ২ এবং তাদের গ.সা.গু ১৪ হলে সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
ল.সা.গু = অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু
= ২ × ৩ × ১৪
= ৮৪

প্রশ্ন: ২১ থেকে ৬৩ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর কত?

সমাধান:
২১ থেকে ৬৩ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যাসমূহ = ২৩, ২৯ ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ ও ৬১

এদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ২৩
এদের মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৬১

∴ এদের অন্তর = ৬১ - ২৩
= ৩৮

প্রশ্ন: 0, 8, 4 এর গড় কত?

সমাধান:
0, 8, 4 এর গড় = (0 + 8 + 4)/3
= 12/3
= 4

প্রশ্ন: একজন ব্যবসায়ী তার মোট মুনাফার ১/৩ অংশ ব্যাংকে জমা রাখেন, ১/৪ অংশ ব্যবসায়ে পুনঃবিনিয়োগ করেন, ১/৬ অংশ দান করেন এবং বাকি অংশ নিজের কাছে রাখেন। তিনি তার মুনাফার কত অংশ নিজের কাছে রাখেন?

সমাধান:
ব্যাংক, পুনঃবিনিয়োগ এবং দানে ব্যয় = (১/৩) + (১/৪) + (১/৬) অংশ
= (৪ + ৩ + ২)/১২ অংশ
= ৯/১২ অংশ

∴ নিজের কাছে রাখেন = ১ - (৯/১২) অংশ
= (১২ - ৯)/১২ অংশ
= ৩/১২ অংশ
= ১/৪ অংশ

তাহলে ব্যবসায়ী তার মোট মুনাফার ১/৪ অংশ নিজের কাছে রাখেন।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৭/৩০, ৯/৪০ এবং ১১/৬০ কে ভাগ করলে, প্রত্যেক ক্ষেত্রে ভাগফল পূর্ণসংখ্যা হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৭/৩০, ৯/৪০ এবং ১১/৬০ এর গ.সা.গু.।
ভগ্নাংশগুলোর লব ৭, ৯, ১১ এর গ.সা.গু. = ১
এবং হর ৩০, ৪০, ৬০ এর ল.সা.গু. = ১২০

∴ ভগ্নাংশগুলোর গ.সা.গু. = লবগুলোর গ.সা.গু./হরগুলোর ল.সা.গু.
= ১/১২০
অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো ১/১২০।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দিয়ে ৫০০৫, ৫০২৯ এবং ৫০৫৩ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে একই ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৫০২৯ - ৫০০৫ = ২৪
৫০৫৩ - ৫০২৯ = ২৪
৫০৫৩ - ৫০০৫ = ৪৮

তাহলে বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ২৪, ২৪ ও ৪৮ এর গ.সা.গু.
২৪, ২৪ ও ৪৮ এর গ.সা.গু = ২৪

[২৪ দ্বারা উল্লিখিত সংখ্যাগুলোকে ভাগ করলে প্রতিবার একই (১৩) ভাগশেষ থাকবে]

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় তাই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, সে সকল সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেখানে p এবং q উভয়ই পূর্ণসংখ্যা এবং q শূন্য নয় এমন সংখ্যা। সকল পূর্ণ সংখ্যা মূলদ সংখ্যা।

এখানে,
√11/2 ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√11 পূর্ণ সংখ্যা নয়]
√7/3 ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√7 পূর্ণ সংখ্যা নয়]
√5/8 ; একটি অমূলদ সংখ্যা। [√5 পূর্ণ সংখ্যা নয়]

√16/4 = 4/4 = 1 ; একটি মূলদ সংখ্যা। [সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, এবং 1 একটি পূর্ণ সংখ্যা]

প্রশ্ন: কতজন বালককে ১৪০ টি মার্বেল ও ১৬৫ টি লজেন্স সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে?

সমাধান:
এখানে,
১৪০ ও ১৬৫ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় বালকের সংখ্যা।

১৪০ ও ১৬৫ এর গ.সা.গু = ৫

∴ ৫ জন বালককে ১৪০ টি মার্বেল ও ১৬৫ টি লজেন্স সমানভাবে ভাগ করে দেয়া যাবে।

প্রশ্ন: একটি খুঁটির 1/3 অংশ মাটির নিচে পুঁতে রাখা আছে। মাটির নিচে যতটুকু আছে তার 1/2 অংশ পানিতে আছে এবং বাকি অংশ পানির উপরে আছে। যদি পানির উপরে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য 12 ফুট হয়, পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
খুঁটির দৈর্ঘ্য = r মিটার
মাটির নিচে আছে খুঁটিটির = r × (1/3) = r/3 অংশ
পানিতে আছে খুঁটিটির = (r/3) × (1/2) = r/6 অংশ
বাকি অংশ বা পানির উপরে আছে = r - (r/3) - (r/6)
= (6r - 2r - r)/6
= 3r/6
= r/2

প্রশ্নমতে,
r/2 = 12
∴ r = 24 ফুট
অতএব, খুঁটিটির পানিতে থাকা অংশটির দৈর্ঘ্য = 24/6 = 4 ফুট

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৯' সংখ্যাটি কতবার আসে?

সমাধান:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে অথবা গুণতে:
- ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯ সংখাগুলো আছে ২০ বার করে।
- ১ সংখ্যাটি আছে ২১ বার।
- ০ সংখ্যাটি আছে ১১ বার।
------------------
১ থেকে ১০০ পযন্ত লিখতে ৯ সংখ্যাটি ব্যবহৃত হয় ৯, ১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, ৫৯, ৬৯, ৭৯, ৮৯, ৯০, ৯১, ৯২, ৯৩, ৯৪, ৯৫, ৯৬, ৯৭, ৯৮, ৯৯;
৯ সংখ্যাটি ৯৯ এ দুইবারসহ মোট ২০ বার ব্যবহৃত হয়।

প্রশ্ন: কত টাকার ৪/৭ অংশ ৩৬ টাকার ৮/৯ অংশের সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৪/৭= ৩৬ এর ৮/৯
⇒ ৪ক/৭ = (৩৬ × ৮)/৯
⇒ ৪ক/৭ = ৩২
⇒ ৪ক = ২২৪
⇒ ক = ২২৪/৪
∴ ক = ৫৬

অতএব, ৫৬ টাকার ৪/৭ অংশ ৩৬ টাকার ৮/৯ অংশের সমান।

প্রশ্ন: ৪টি ঘড়ির ঘণ্টার কাঁটা যথাক্রমে প্রতি ঘণ্টায় ৪, ৬, ৮ ও ১২ বার আবর্তন করে। সকাল ৯টায় কাঁটাগুলো একই অবস্থানে ছিল। কত ঘণ্টা পর কাঁটাগুলো আবার একই অবস্থানে আসবে?

সমাধান:
কাঁটাগুলো একসাথে একই অবস্থানে আসার জন্য, ৪, ৬, ৮, এবং ১২-এর ল.সা.গু বের করতে হবে।
৪, ৬, ৮ ও ১২ এর ল.সা.গু = ২৪

অর্থাৎ, কাঁটাগুলো ২৪ ঘণ্টা পর আবার একই অবস্থানে আসবে।