শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: a² - √3a + 1 = 0 হলে, a³ + 1/a³ এর মান কত?

সমাধান: 
 a² - √3a + 1 = 0
a² + 1 =  √3a 
a²/a + 1/a = √3a/a
a + 1/a = √3

a³ + 1/a³ = (a)³ + (1/a)³
                =(a + 1/a)³ - 3.a. 1/a(a + 1/a)
                = (√3)³ - 3√3
                = 3√3 -  3√3
                = 0

প্রশ্ন: x + y = 3 হলে x³ + y³ + 9xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে 
x + y = 3

x³ + y³ + 9xy = x³ + y³ + 9xy 
                       = (x + y)³ - 3xy(x + y) + 9xy 
                      = 3³ - 3xy × 3 +  9xy 
                      = 27 - 9xy + 9xy 
                       = 27

প্রশ্ন: x² - 3x, x² - 9, x² - 4x + 3 এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান:
১ম রাশি = x² - 3x
              = x(x - 3)
২য় রাশি = x² - 9
              = x² - 3²
              = (x + 3)(x - 3)
               
৩য় রাশি = x² - 4x + 3
              =x² - 3x - x + 3
              = x(x - 3) - 1(x - 3)
              = (x - 3) (x - 1)

নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 3)

প্রশ্ন: m = 1 + √5 এবং n = 1 - √5 হলে, m² + n² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
m = 1 + √5
n = 1 - √5

m + n = 1 + √5 + 1 - √5
            = 2

mn = (1 + √5) (1 - √5)
       = 1² - (√5)²
        =1 - 5 
        = - 4
m² + n² = (m + n)² - 2mn
              = 2² - 2(- 4)
              = 4 + 8
              = 12

প্রশ্ন: যদি a + b = m, a² + b² = n এবং a³ + b³ = p³ হয়, তাহলে m³ + 2p³ এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = m,
a² + b² = n
a³ + b³ = p³

m³ + 2p³ = (a + b)³ + 2(a³ + b³)
                 = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ + 2a³ + 2b³
                = 3a³ + 3a²b + 3ab² + 3b³
                = 3(a³ + a²b + ab² + b³)
               = 3 {a²(a + b) + b²(a + b)}
                 = 3(a + b)(a² + b²)
                 = 3mn

প্রশ্ন: a + b, a - b, a² - b² এর গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = a + b
২য় রাশি = a - b
৩য় রাশি = a² - b²
               = (a + b)(a - b)

নির্ণেয় গ.সা.গু = 1

প্রশ্ন: 2a + b = 7 এবং a - b = 2, হলে a + b এর মান কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
2a + b = 7............(1)
a - b = 2............(2)

(1) + (2) ⇒
2a + b + a - b = 7 + 2
3a = 9
a = 3

(2) ⇒
3 - b = 2
- b = 2 - 3
- b = - 1
b = 1

a + b = 3 + 1 = 4

প্রশ্ন: x = 1 + √2 হলে x³ এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
x = 1 + √2

x³ = (1 + √2)³
    = 1³ + 3.1².√2 + 3.1(√2)² + (√2)³
    =1 + 3√2 + 6 + 2√2
    = 7 + 5√2

প্রশ্ন: x² - 4x + 3 এবং x²  - 5x + 6 এর ল.সা.গু = কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = x² - 4x + 3
             = x² - 3x - x + 3
            = x(x - 3) - 1(x - 3)
            = (x - 3)(x - 1)
২য় রশি = x²  - 5x + 6
             = x² - 2x - 3x + 6
              = x(x - 2) - 3(x - 2)
             = (x - 2)(x - 3)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

প্রশ্ন: x² - 2x + 1 = 0 হলে (x⁶ + 2x³ + 1)/x² এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x² - 2x + 1 = 0
x² - 2.x. 1 + 1² = 0
(x - 1)² = 0
x - 1 = 0
x = 1

প্রদত্ত রাশি = (x⁶ + 2x³ + 1)/x² 
                 = ((x³)² + 2.x³.1 + 1²)/x²
                 = (x³ + 1)²/x²
                 = (1³ + 1)²/1²
                 = (1 + 1)2/1
                 = 2²
                 = 4

প্রশ্ন: x + y = 5, xy = 6 হলে 2(x² + y²) এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + y = 5
xy = 6 

2(x² + y²) = 2{(x + y)² - 2xy}
                = 2{5²- 2 × 6}
                = 2 (25 - 12)
                = 2 × 13
                = 26

প্রশ্ন: x + y = 3, x - y = 1 হলে, 4xy = কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে
x + y = 3
x - y = 1

4xy = (x + y)² - (x + y)²
       = 3² - 1²
       = 9 - 1
        = 8

প্রশ্ন: x⁴ + 2x² + 1 = 3x² হলে, x + 1/x = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে
x⁴ + 2x² + 1 = 3x² 
বা, x⁴ + 1 = x²
বা, x⁴/x² + 1/x² = x²/x²
বা, x² + 1/x² = 1
বা, (x + 1/x)² - 2.x.1/x = 1
বা, (x + 1/x)² -  2 = 1
বা, (x + 1/x)² = 1 + 2
বা, (x + 1/x)² = 3
      x + 1/x = √3

প্রশ্ন: a + b = 3 এবং ab = 2 হলে, a² - ab + b² এর মান কত?
সমাধান: 
a + b = 3
ab = 2

a² - ab + b² = a² + b² - ab
                    = (a + b)² - 2ab - ab
                    = (a + b)² - 3ab
                    = 3² - 3 × 2
                   = 9  - 6
                   = 3

প্রশ্ন: x² + y² + z² = 9 এবং xy + yz + zx  = 8 হলে, (x + y + z)² এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে
x² + y² + z² = 9 
xy + yz + zx  = 8

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)
                    = 9 + 2(8)
                     = 9 + 16 
                     = 25

প্রশ্ন: x² - 1 = 4x হলে x² + 1/x² = কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে 
x² - 1 = 4x
x²/x - 1/x = 4x/x
x - 1/x = 4
 
x² + 1/x² = (x - 1/x)² + 2.x.1/x
                 = 4² + 2
                 = 16 + 2
                    = 18
 

প্রশ্ন: 20x³ya³b⁴, 15x⁴y³a⁴b³ এবং 5x²y⁴a³b² এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = 20x³ya³b⁴
২য় রাশি = 15x⁴y³a⁴b³
৩য় রাশি = 5x²y⁴a³b²

এখানে,
 20, 15, 5 এর গ.সা.গু = 5 
x³, x⁴, x² এর গ.সা.গু = x²
y, y³, y⁴ এর গ.সা.গু = y
a³, a⁴, a³এর গ.সা.গু =a³
b⁴,b³, b² এর গ.সা.গু = b²

নির্ণেয় গ.সা.গু = 5x²ya³b²

প্রশ্ন : x² = 15 + 2√56 হলে, 1/x এর মান কত?
দেওয়া আছে, 
বা, x² = 15 + 2√56
বা, x² = 8 + 2√56  + 7
বা, x² = (√8)² + 2.√8.√7 + (√7)²
বা, x² = (√8 + √7)²
বা, x = √8 + √7
বা, 1/x = 1/√8 + √7
বা, 1/x = (√8 - √7)/(√8 + √7)(√8 - √7)
 বা, 1/x =  (√8 - √7)/(√8)² - (√7)²
বা, 1/x = (√8 - √7)/(8 - 7)
    1/x = (√8 - √7)

প্রশ্ন: (a + b)² + (2a + 2b)(a - b) + (a - b)² = কত? 

সমাধান: 
(a + b)² + (2a + 2b)(a - b) +(a - b)² 
(a + b)² + 2(a + b)(a - b) +(a - b)²
ধরি,
a + b = x
a - b = y

প্রদত্ত রাশি =x² + 2xy + y²
                 = (x + y)²
                 = (a + b + a - b)²
                 = (2a)² 
                  = 4a²

প্রশ্ন: a²bc, ab²c, abc² এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
১ম রাশি = a²bc
২য় রাশি = ab²c
৩য় রাশি = abc²

নির্ণেয়  ল.সা.গু = a²b²c²

প্রশ্ন: x = 2 - 1/x হলে, x/(x² + x + 1) এর মান কত? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
x = 2 - 1/x
x + 1/x = 2
(x² + 1)/x = 2
x² + 1 = 2x

x/(x² + x +1) = x/(x² + 1 + x)
                      = x/(2x + x)
                      = x/3x
                       = 1/3

প্রশ্ন: x² + 5x, x² - 25, x² + 7x + 10 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = x² + 5x
             = x(x + 5)
২য় রাশি = x² - 25
              = x² - 5²
              = (x + 5)(x - 5)
৩য় রাশি = x² + 7x + 10
              = x² + 5x + 2x + 10
               = x(x + 5) + 2(x + 5)
                = (x + 5)(x + 2)

নির্ণেয় ল.সা.গু = x(x + 5)(x - 5)(x + 2)
                      = x(x² - 25)(x + 2)

প্রশ্ন: x² - (1/x)² = 2 হলে, x⁶ - (1/x)⁶ = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 x² - (1/x)² = 2

এখন
x⁶ - (1/x)⁶ 
= (x²)³ - (1/x²)³
= (x² - (1/x)²)³ + 3 x² (1/x²) (x² - 1/x²)
= 2³ + 3.2
= 8 + 6
= 14