৫০ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [সমন্বিত] - Archived

• শব্দজোড়:
- বাংলা ভাষায় এমন কিছু শব্দ আছে, যেগুলোর উচ্চারণ এক অথবা প্রায় এক, কিন্তু অর্থ ভিন্ন; এমন যুগল শব্দকে শব্দজোড় বলে।
- অধিকাংশ ক্ষেত্রে এদের বানান ভিন্ন হয়, তবে উচ্চারণ এক হওয়ায় কানে শুনে এদের পার্থক্য করা যায় না।
- বাক্যে ব্যবহৃত হলে প্রসঙ্গ বিবেচনায় এসব শব্দের পার্থক্য বোঝা যায়।

• কিছু শব্দজোড়ের উদাহরণ:
→ অর্ঘ - দাম।
→ অর্ঘ্য - পূজার উপকরণ।
→ অর্হণ - পূজা।
→ অর্হন - জৈন সন্ন্যাসী।
→ আত্ম - স্বীয়।
→ আত্ত - প্রাপ্ত।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২ সংস্করণ), বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর।

• 'পাদচ্ছেদ' এর ক্ষেত্রে বিরতিকালের পরিমাণ - ১ বলতে যে সময় লাগে।

• বাক্যে যতিচিহ্ন অনুসারে থামার পরিমাণ:
• কমা বা পাদচ্ছেদ থাকলে -
- 'এক' বলতে যে সময় লাগে সেই পরিমাণ সময় থামতে হয়।

• সেমিকোলন বা অর্ধচ্ছেদ থাকলে -
- 'এক' বলার দ্বিগুণ সময় থামতে হয়।

• হাইফেন, ইলেক বা লোপ চিহ্ন ও ব্র্যাকেট থাকলে -
- থামার প্রয়োজন হয় না।

• দাঁড়ি বা পূর্ণচ্ছেদ, প্রশ্নবোধক চিহ্ন, বিস্ময় চিহ্ন, কোলন, কোলন ড্যাস, ড্যাস ইত্যাদি চিহ্ন থাকলে -
- 'এক' সেকেন্ড থামতে হয়।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ, নবম-দশম শ্রেণি (২০১৯ সংস্করণ) ও ভাষা-শিক্ষা, ড. হায়াৎ মামুদ।

• তূষ্ণী - শব্দটির প্রয়োগ শুদ্ধ। 
- 'তূষ্ণী' শব্দের অর্থ - মৌন অবলম্বনকারী, মৌনী, নীরব। 

অন্যদিকে,
• 'আয়ত্তাধীন', সমার্থ শব্দের বাহুল্যজনিত অপপ্রয়োগ।
এর শুদ্ধরূপ: আয়ত্ত / অধীন। 

• 'দুরাবস্থা', সন্ধি বিষয়ক অপপ্রয়োগ।
এর শুদ্ধরূপ: দুরবস্থা।

• 'নিরহঙ্কারী', সমাস-ঘটিত অপপ্রয়োগ। 
এর শুদ্ধরূপ: নিরহঙ্কার। 

উৎস: ভাষা-শিক্ষা, ড. হায়াৎ মামুদ ও বাংলা একাডেমি, আধুনিক বাংলা অভিধান।

• 'অভূতপূর্ব'র সম্প্রসারিত প্রকাশ - যা পূর্বে কখনো হয় নি।

অন্যদিকে,
• 'ভূতপূর্ব'র সম্প্রসারিত প্রকাশ - যা পূর্বে ছিল এখন নেই।
• 'অচিন্তিতপূর্ব'র সম্প্রসারিত প্রকাশ - যা পূর্বে চিন্তা করা যায় নি।
• 'অদৃষ্টপূর্ব'র সম্প্রসারিত প্রকাশ - যা পূর্বে দেখা যায় নি।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর।

• শব্দজোড়:
- বাংলা ভাষায় এমন কিছু শব্দ আছে, যেগুলোর উচ্চারণ এক অথবা প্রায় এক, কিন্তু অর্থ ভিন্ন; এমন যুগল শব্দকে শব্দজোড় বলে।
- অধিকাংশ ক্ষেত্রে এদের বানান ভিন্ন হয়, তবে উচ্চারণ এক হওয়ায় কানে শুনে এদের পার্থক্য করা যায় না। 
- বাক্যে ব্যবহৃত হলে প্রসঙ্গ বিবেচনায় এসব শব্দের পার্থক্য বোঝা যায়।

• কিছু শব্দজোড়ের উদাহরণ:
→ চির - দীর্ঘ।
→ চীর - ছিন্নবস্ত্র।
→ চুর - নেশাগ্রস্ত।
→ চূর - চূর্ণ।
→ চারা - ছোট গাছ।
→ চাড়া - জেগে আছি।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২ সংস্করণ)।

• ‘বাতাস’ শব্দের প্রতিশব্দ নয় - জীবন।
- এটি 'পানি' শব্দের প্রতিশব্দ।

• ‘বাতাস’ শব্দের আরো কিছু প্রতিশব্দ:
- বায়ু, হাওয়া, সমীর, অনিল, মরুৎ।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২ সংস্করণ)।

• ভিন্নার্থক বাগ্‌ধারা - কলুর বলদ (একটানা খাটুনি)।
অন্যদিকে, অপর সমার্থক বাগ্‌ধারাগুলোর অর্থ 'অপদার্থ'।

• কিছু গুরুত্বপূর্ণ বাগ্‌ধারা:
• 'আকাশের চাঁদ' বাগ্‌ধারাটির অর্থ - দুর্লভ বস্তু।
• 'উড়নপেকে' বাগ্‌ধারাটির অর্থ - অপব্যয়ী।
• 'দফা নিকেশ' বাগ্‌ধারাটির অর্থ - সমূহ সর্বনাশ।
• ‘নয় ছয়’ বাগ্‌ধারাটির অর্থ - অপব্যয়।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর।

• ভুল বানান - অভ্যন্তরীন।
- শুদ্ধ বানান - অভ্যন্তরীণ। 
- শব্দটি বিশেষণ। 
- এটি সংস্কৃত শব্দ।
- অর্থ: মধ্যবর্তী, অভ্যন্তরে আছে এমন। 

উৎস: বাংলা একাডেমি, আধুনিক বাংলা অভিধান।

• 'দিবারাত্রি', সমাস-ঘটিত অপপ্রয়োগ।
- এর শুদ্ধরূপ: দিবারাত্র। 

অন্যদিকে,
বাকি শব্দগুলো শুদ্ধ।

উৎস: ভাষা-শিক্ষা, ড. হায়াৎ মামুদ।

• শব্দজোড়:
- বাংলা ভাষায় এমন কিছু শব্দ আছে, যেগুলোর উচ্চারণ এক অথবা প্রায় এক, কিন্তু অর্থ ভিন্ন; এমন যুগল শব্দকে শব্দজোড় বলে।
- অধিকাংশ ক্ষেত্রে এদের বানান ভিন্ন হয়, তবে উচ্চারণ এক হওয়ায় কানে শুনে এদের পার্থক্য করা যায় না। 
- বাক্যে ব্যবহৃত হলে প্রসঙ্গ বিবেচনায় এসব শব্দের পার্থক্য বোঝা যায়।

• কিছু শব্দজোড়ের উদাহরণ:
→ জমক - সমারোহ।
→ যমক - জোড়া।
→ জাম - ফলবিশেষ।
→ যাম - প্রহর।
→ ধুম - প্রাচুর্য।
→ ধূম - ধোঁয়া।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২ সংস্করণ)।

• 'কাণ্ডজ্ঞানহীন' 'গোঁয়ার গোবিন্দ' বাগ্‌ধারা দ্বারা বোঝানো হয়।

অন্যদিকে,
• 'উলুখাগড়া' বাগ্‌ধারাটির অর্থ - গুরুত্বহীন লোক।
• 'কুমড়ো কাটা বটঠাকুর' বাগ্‌ধারাটির অর্থ - অকর্মণ্য লোক।
• 'ঘণ্টাগরুড়' বাগ্‌ধারাটির অর্থ - অকর্মণ্য লোক।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর।

• 'Circular' এর বাংলা পরিভাষা - পরিপত্র।

অন্যদিকে, 
• 'Certificate' এর বাংলা পরিভাষা - প্রত্যয়নপত্র।
• 'Covenant' এর বাংলা পরিভাষা - চুক্তি।
• 'Codicil' এর বাংলা পরিভাষা - ইচ্ছাপত্রের ক্রোড়পত্র।

উৎস: বাংলা একাডেমি, প্রশাসনিক পরিভাষা।

• শুদ্ধ বানান - বাল্মীকি।
- শব্দটি বিশেষ্য।
- এটি সংস্কৃত শব্দ।
- অর্থ: রামায়ণের প্রণেতা কবি ও মুনি, আদিকবি।

• শুদ্ধ বানান - সমীচীন।
- শব্দটি বিশেষণ।
- এটি সংস্কৃত শব্দ।
- অর্থ: সংগত; উপযুক্ত; উত্তম।

• শুদ্ধ বানান - হরীতকী।
- শব্দটি বিশেষ্য।
- এটি সংস্কৃত শব্দ।
- অর্থ: গ্রীষ্মমণ্ডলীয় অঞ্চলে জাত এবং বসন্তকালে ফোটে এমন সাদাটে উভলিঙ্গ ফুল ও ভেষজগুণসম্পন্ন জলপাইসদৃশ হলুদাভ কষায় ফল বা তার ডিম্বাকৃতি পাতাবিশিষ্ট মাঝারি উচ্চতার পত্রমোচী বৃক্ষ (আদিনিবাস: মধ্য এশিয়া)।

উৎস: বাংলা একাডেমি, আধুনিক বাংলা অভিধান।

• সংবিধান:
- বাংলাদেশ সংবিধানের ২২নং অনুচ্ছেদে নির্বাহী বিভাগ থেকে বিচার বিভাগ পৃথকীকরণের কথা বলা হয়েছে।
- এই অনুচ্ছেদটি বাহাত্তরের মূল সংবিধানের অংশ হলেও তা কার্যকর হয় ২০০৭ সালে। 

অন্যদিকে,
- ২৩নং অনুচ্ছেদ : জাতীয় সংস্কৃতি। 
- ২১নং অনুচ্ছেদ : নাগরিক ও সরকারি কর্মচারীদের কর্তব্য।
- ২৪নং অনুচ্ছেদ : জাতীয় স্মৃতি নিদর্শন।

উৎস:- বাংলাদেশের সংবিধান।

• সংবিধান:
- 'ক্রান্তিকালীন ও অস্থায়ী বিধানাবলী' বিষয়টি বাংলাদেশের সংবিধানের অনুচ্ছেদ-১৫০ তে উল্লেখ করা হয়েছে। 

এছাড়াও-
• বাংলাদেশের সংবিধানের কয়েকটি অনুচ্ছেদ:
- অনুচ্ছেদ-১৪২: সংবিধানের বিধান সংশোধনের ক্ষমতা। 
- অনুচ্ছেদ-১৪৩: প্রজাতন্ত্রের সম্পত্তি। 
- অনুচ্ছেদ-১৪৫: চুক্তি ও দলিল। 
- অনুচ্ছেদ-১৪৫ক: আন্তর্জাতিক চুক্তি। 
- অনুচ্ছেদ-১৪৬: বাংলাদেশের নামে মামলা। 
- অনুচ্ছেদ-১৪৮: পদের শপথ। 
- অনুচ্ছেদ-১৪৯: প্রচলিত আইনের হেফাজত। 
- অনুচ্ছেদ-১৫০: ক্রান্তিকালীন ও অস্থায়ী বিধানাবলী। 

সূত্র: বাংলাদেশের সংবিধান।

• বাংলাদেশের কোনো নাগরিক কোনো বিদেশি রাষ্ট্রের নিকট থেকে কোন খেতাব, সম্মান, পুরস্কার বা ভূষণ গ্রহণ করার পূর্বে রাষ্ট্রপতির  অনুমোদন লাগবে। 

• সংবিধানের ৩০ নং অনুচ্ছেদে বলা হয়েছে: 
- রাষ্ট্রপতির পূর্বানুমোদন ব্যতীত কোন নাগরিক কোন বিদেশী রাষ্ট্রের নিকট হইতে কোন উপাধি, খেতাব, সম্মান, পুরস্কার বা ভূষণ গ্রহণ করিবেন না। 

সূত্র: বাংলাদেশের সংবিধান। 

• বাংলাদেশের সংবিধানের ২০(২) ধারায় বলা আছে, 
- রাষ্ট্র এমন অবস্থাসৃষ্টির চেষ্টা করবে, যেখানে সাধারণ নীতি হিসাবে কোন ব্যক্তি অনুপার্জিত আয় ভোগ করতে সমর্থ হবে না এবং যেখানে বুদ্ধিবৃত্তিমূলক ও কায়িক-সকল প্রকার শ্র্রম সৃষ্টিধর্মী প্রয়াসের ও মানবিক ব্যক্তিত্বের পূর্ণতর অভিব্যক্তিতে পরিণত হবে। 

অন্যদিকে: 
- ৮৩নং অনুচ্ছেদে "সংসদের আইন ব্যতীত করারোপে বাধা" এর কথা বলা আছে। 
- ২৮নং অনুচ্ছেদে "ধর্ম, প্রভৃতি কারণে বৈষম্য" এর কথা বলা আছে।  
- ৮১নং অনুচ্ছেদে "অর্থবিল" এর কথা বলা আছে।   

সূত্র: বাংলাদেশ সংবিধান।

- "বাংলাদেশের সংবিধানের ৬নং অনুচ্ছেদে জাতীয় সঙ্গীত, পতাকা ও প্রতীকের কথা উল্লেখ আছে।"- বিবৃতিটি সঠিক নয়। 
- সঠিক বিবৃতিটি হবে- ৬ নং অনুচ্ছেদে নাগরিকত্বের কথা উল্লেখ আছে। 

• গণপ্রজাতন্ত্রী বাংলাদেশের সংবিধানের,
- ২ নং অনুচ্ছেদে প্রজাতন্ত্রের রাষ্ট্রীয় সীমানা,
- ২ক অনুচ্ছেদে রাষ্ট্রধর্ম,
- ৩ নং অনুচ্ছেদে প্রজাতন্ত্রের রাষ্ট্রভাষা,
- ৪ নং অনুচ্ছেদে জাতীয় সঙ্গীত, পতাকা ও প্রতীক,
- ৫ নং অনুচ্ছেদে প্রজাতন্ত্রের রাজধানীর কথা উল্লেখ আছে।
- ৬ নং অনুচ্ছেদে নাগরিকত্বের কথা উল্লেখ আছে। 
- ৭ নং অনুচ্ছেদে সংবিধানের প্রাধান্যের কথা উল্লেখ আছে।  

উৎস: বাংলাদেশের সংবিধান।

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় ৫ সে.মি. ও ১২ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির অতিভুজের মান কত? 

সমাধান: 
অতিভুজ = √(৫^২ + ১২^২) সে.মি.
= √(২৫ + ১৪৪) সে.মি.
= √১৬৯ সে.মি. 
= ১৩ সে.মি.

প্রশ্ন: সুষম পঞ্চভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বাহুর সংখ্যা = ক  হলে
সুষম বহুভুজের প্রতিটি উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণ = {(ক - ২)১৮০}/ক

সুষম পঞ্চভুজের প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপ
= {(৫ - ২) × ১৮০°}/৫
= ১০৮°

প্রশ্ন: যদি secθ + tanθ = y হয়, তাহলে tanθ =?

সমাধান:
secθ + tanθ = y

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (secθ + tanθ)(secθ - tanθ) = 1
⇒ y(secθ - tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/y

এখন,
(secθ + tanθ) - (secθ - tanθ)
= y - (1/y)
= (y² - 1)/y

(secθ + tanθ) - (secθ - tanθ)
= 2tanθ

∴ 2tanθ = (y² - 1)/y
∴ tanθ = (y² - 1)/2y

প্রশ্ন: একটি সোনার বারের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ৫ সে.মি., ৪ সে.মি. এবং ১.৫ সে.মি.। একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা যথাক্রমে ৫৫ সে.মি., ৪৮ সে.মি. এবং ৩০ সে.মি. হলে, বাক্সটিতে কয়টি সোনার বার রাখা যাবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সোনার বারের দৈর্ঘ্য = ৫ সে.মি.
সোনার বারের প্রস্থ = ৪ সে.মি.
সোনার বারের উচ্চতা = ১.৫ সে.মি.

সোনার বারের আয়তন = ৫ × ৪ × ১.৫ ঘন সে.মি.
                                   = ৩০ ঘন সে.মি.

আবার,
বাক্সের দৈর্ঘ্য = ৫৫ সে.মি.
বাক্সের প্রস্থ = ৪৮ সে.মি.
বাক্সের উচ্চতা = ৩০ সে.মি.

বাক্সের আয়তন = ৫৫ × ৪৮ × ৩০ ঘন সে.মি.
= ৭৯২০০ ঘন সে.মি.

সোনার বারের সংখ্যা = ৭৯২০০/ ৩০টি
= ২৬৪০টি
 

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ২০ সে.মি. ও সমকোণ সংলগ্ন একটি বাহু ১৬ সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির পরিসীমা কত?

সমাধান: 
সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহু যথাক্রমে ২০ সে.মি. ও ১৬ সে.মি.

সমকোণী ত্রিভুজের অপর বাহু = ক 

আমরা জানি 
ক^২ + ১৬^২ = ২০^২
বা, ক^২ + ২৫৬ = ৪০০
বা, ক^২ = ৪০০ - ২৫৬
বা, ক^২ = ১৪৪
বা, ক^২ = ১২^২
∴ ক = ১২

ত্রিভুজটির পরিসীমা = (১২ + ১৬ + ২০) সে.মি.
= ৪৮ সে.মি.

প্রশ্ন: tanA + sinA = m এবং tanA - sinA = n তাহলে m² - n² = ?

সমাধান:
m² - n²
= (tanA + sinA)² - (tanA - sinA)²
= 4tanA.sinA
= 4√(tan²A.sin²A)
= 4√{tan²A(1- cos²A)}
= 4√(tan²A- tan²A .cos²A)
= 4√(tan²A - sin²A)
= 4√(tanA + sinA)(tanA - sinA)
= 4√mn

প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ৩৭ মিটার এবং সমকোণ ধারক বাহুর একটির দৈর্ঘ্য ৩৫ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
 
ধরি,
ABC সমকোণী ত্রিভুজের AB = 35 মিটার
অতিভুজ AC = 37 মিটার

∴ সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
AB² + BC² = AC²
বা, BC² = AC² - AB²
বা, BC² = (37² - 35²) বর্গ মিটার
বা, BC² = (37 + 35) (37 - 35) বর্গ মিটার
বা, BC2 = 72 × 2 বর্গ মিটার
বা, BC² = 144 বর্গ মিটার 
∴ BC = 12 মিটার

∴ ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × BC × AB বর্গ মিটার
= (1/2) × 12 × 35 বর্গ মিটার
= 210 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: আট বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে-

সমাধান:
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণ সমান।

আমরা জানি,
বহুভুজের বহিঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = ৩৬০°
∴ একটি বহিঃস্থ কোণ = ৩৬০°/৮ = ৪৫°

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের পাদদেশ হতে 90 মিটার দূরে ভূমিস্থ একটি বিন্দুতে গাছটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান:
 
চিত্রে
গাছটির উচ্চতা AB,
ভূমিস্থ নির্দিষ্ট বিন্দু O এবং গাছটির শীর্ষবিন্দু B।
∠AOB = 30° এবং OA = 90 মিটার

ΔAOB এ 
tan30° = AB/OA
⇒ 1/√3 = AB/90
⇒ AB√3 = 90
⇒ AB = 90/√3
⇒ AB = 90√3/(√3.√3)
⇒ AB = 90√3/3
∴ AB = 30√3

গাছটির উচ্চতা AB = 30√3 মিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 4 সে. মি. ও 3 সে. মি. । অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটির দৈর্ঘ্য 4 সে. মি.  ও 3 সে. মি. 
ধরি 
ভূমি = 4 সে. মি.
লম্ব = 3 সে. মি. 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে 
(অতিভুজ)² = ভূমি² + লম্ব²
বা, (অতিভুজ)² = 4² + 3²
বা, (অতিভুজ)² = 16 + 9 
বা, (অতিভুজ)² = 25
বা, (অতিভুজ)² = 5²
∴ অতিভুজ = 5

 ∴ অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 5² = 25 বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির-

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। (পিথাগোরাসের উপপাদ্য)

প্রশ্ন: θ = 30° হলে, (2sinθ/tanθ) এর মান কত? 

সমাধান: 
2sinθ/tanθ
= 2sinθ/(sinθ/cosθ)
= 2sinθ × (cosθ/sinθ)
= 2cosθ
= 2cos30°
= 2 × (√3/2)
= √3

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে, এর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
মনে করি,
সমবৃত্তভূমিক বেলনের উচ্চতা h = 10 সে.মি. এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সে.মি.

সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 2πr(r +  h)
= 2 × (22/7) × 7 (7 + 10) বর্গমিটার
= 44 × 17 বর্গমিটার
= 748 বর্গমিটার

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অতিভূজের উপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের সমষ্টির সমান।
∴  ৬^২ + ৮^২
= ৩৬ + ৬৪
= ১০০
= ১০^২

∴ ৬, ৮, ১০ বাহুগুলো দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকা যাবে।

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৮ হলে বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180⁰

বহুভুজের বাহুর সংখ্যা 8 টি
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (8 - 2) × 180⁰ 
= 6 × 180⁰
= 1080⁰/ 90⁰ সমকোণ
= 12 সমকোণ

প্রশ্ন: কোন সমবৃত্ত ভূমিক কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ 1/3 মিটার, উচ্চতা 1 মিটার হলে, কোণটির আয়তন কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে 
 কোণকের উচ্চতা h = 1 মিটার
কোণকটির ভূমির ব্যাসার্ধ r = 1/3  মিটার
 
কোণকের আয়তন =(1/3)πr²h 
= (1/3)π(1/3)² × 1 ঘন মিটার
=  π/27 ঘন মিটার

প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি a, উচ্চতা b এবং অতিভুজ c হলে কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য:
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২
বা, GE² = EF² + FG²
∴ c² = a² + b²