১৯তম জুডিসিয়াল সার্ভিস (BJS) প্রস্তুতি

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কয়টি? 

সমাধান: 
রেখাংশ: 
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে। 
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। 
- আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত। 
অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ, তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে। 

অন্যদিকে, 
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই। 
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে। 

প্রশ্ন: XYZ ত্রিভুজটির X কোণের মান 50° এবং Y কোণের মান 60° হলে, ত্রিভুজটি কী ধরনের ত্রিভুজ হবে?

সমাধান: 

দেওয়া আছে, 
X কোণ = 50°
এবং Y কোণ = 60° 
∴ Z কোণের মান = 180° - (50 + 60)° 
= 180° - 110°
= 70° 

এখানে,
X ও Y কোণ সমান নয়, আবার Z কোণও ভিন্ন। 
অর্থাৎ, তিনটি কোণই আলাদা।
অতএব, ত্রিভুজটি বিষমবাহু ত্রিভুজ হবে।

প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের একটি আরেকটির ৪/৫ অংশ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
যখন দুটি কোণের সমষ্টি ৯০˚ বা এক সমকোণ হয় তখন একটি কোণকে অপর কোণের পূরক কোণ বলা হয়। 
অর্থাৎ, পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = ৯০°

দেওয়া আছে, 
কোণদ্বয়ের অনুপাত = ৪ : ৫
∴ কোণদ্বয়ের যোগফল = ৪ + ৫ = ৯ 
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ৪ × (৯০/৯)
= ৪০°  । 

প্রশ্ন: ৫০√৫ মিটার দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখায় ৫ বর্গ মিটার ক্ষেত্রফলের কয়টি বর্গক্ষেত্র পাশাপাশি বসানো যাবে? 

সমাধান: 
বর্গের ক্ষেত্রফল = ৫ বর্গ মিটার 
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = √৫ মিটার 

∴ মোট বর্গ বসানো যাবে = ৫০√৫/√৫ টি 
= ৫০ টি ।

প্রশ্ন: যদি 2∠a = 186° হয় তাহলে ∠a এর মান কোন ধরনের কোণ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2∠a = 186°
বা, ∠a = 186°/2
∴ ∠a = 93°

আমরা জানি, 
- এক সমকোণ (90°) অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ (180°) অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে। 
যেহেতু, ∠a এর মান 93°, তাই এটি একটি স্থূলকোণ। 

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 18 সেন্টিমিটার হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত? 

সমাধান: 

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে। 
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 18 : EF = 2 : 1
⇒ 18/EF = 2/1
⇒ 2EF = 18 
⇒ EF = 9 

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা, XF = XE + EF 
= (18 + 9) সেন্টিমিটার 
= 27 সেন্টিমিটার ।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজে কয়টি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়? 

সমাধান: 
- বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত: 
• একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়। 
• বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না। 
• বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়। 
• স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়। 
• বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে। 
• বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়। 
• একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে।

প্রশ্ন: ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে, CE, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। AB ।। CE এবং ∠ECD = 60° হলে ∠BAC এর মান কত?

সমাধান: 

যেহেতু CE, ∠ACD কে সমদ্বিখণ্ডিত, তাই ∠ECD = ∠ECA = 60° 
∴ একান্তর ∠ECA = একান্তর ∠BAC = 60° ।

প্রশ্ন: সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন হবে? 

সমাধান: 
ত্রিভুজ সংক্রান্ত অনুসিদ্ধান্তসমূহ হলো- 
- ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান। 
- সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয় বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয় স্থুলকোণ হবে। 
- সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে।

প্রশ্ন: সরলরেখার উপর লম্ব অংকন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যায়? 

সমাধান: 

চিত্রে, 
CD সরলরেখার উপর AB লম্ব অংকন করলে- 
∠ABC ও ∠ABD দুইটি সমকোণ উৎপন্ন হয়।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ? 

সমাধান: 
• ৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে বলা হয় সূক্ষ্মকোণ। 
• ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে বলা হয় স্থূলকোণ। 
• ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে বলা হয় প্রবৃদ্ধ কোণ। 
• একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে। 

সুতরাং, ২৭০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 64√3 বর্গ সেন্টিমিটার হলে ত্রিভুজের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × (বাহু)²

প্রশ্নমতে, 
(√3/4) × (বাহু)² = 64√3 
⇒ (1/4) × (বাহু)² = 64 
⇒ (বাহু)² = 64 × 4 
⇒ (বাহু)² = 256
⇒ (বাহু)² = (16)²
∴ বাহু = 16

∴ ত্রিভুজের পরিসীমা = (16 + 16 + 16) সেন্টিমিটার 
= 48 সেন্টিমিটার ।

প্রশ্ন: P হলো AB রেখার ওপর একটি বিন্দু এবং PQ হলো একটি রশ্মি, যেখানে ∠QPA = 7x এবং ∠QPB = 5x । এখন (8x - 10°) এর মান কত? 

সমাধান: 

∠QPA এবং ∠QPB একটি সরলরেখা AB এর উপর অবস্থিত। অতএব, তাদের যোগফল অবশ্যই 180° সমান হতে হবে। 
∠QPA + ∠QPB = 180° 
⇒ 7x + 5x = 180° 
⇒ 12x = 180° 
⇒ x = 180°/12 
∴ x = 15° 

এখন প্রদত্ত রাশি (8x - 10°)-তে x = 15° এর মান বসিয়ে পাই- 
= {(8 × 15°) - 10°}
= 120° - 10°
= 110°

সুতরাং, (8x - 10°) এর মান = 110°  ।

প্রশ্ন: দুইটি সম্পূরক কোণের অনুপাত ২২ : ১৪ হলে, কোণ দুটির পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
সম্পূরক কোণ দুটির অনুপাত = ২২ : ১৪ 
∴ অনুপাত দুটির যোগফল = (২২ + ১৪) = ৩৬ 

আমরা জানি, 
দুইটি সম্পূরক কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
∴ ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাপ = {১৮০ × (১৪/৩৬)}°
= ৭০° 

আবার,
বৃহত্তম কোণের পরিমাপ = {১৮০ × (২২/৩৬)}°
= ১১০°

∴ কোণ দুটির পার্থক্য = (১১০ - ৭০)°
= ৪০°  ।

প্রশ্ন: ১২ সে.মি. দৈর্ঘ্যের একটি সরলরেখা দিয়ে একটি সমবাহু ত্রিভুজ গঠন করা হলে, উক্ত ত্রিভুজটির উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
ধরি,
উক্ত ত্রিভুজের উচ্চতা = h

ত্রিভুজের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ১২/৩ = ৪ সে.মি. 

প্রশ্নমতে, 
(১/২) × ৪ × h = (√৩/৪) × ৪^২ 
⇒ ২h = ৪√৩ 
⇒ h = (৪√৩)/২
∴ h = ২√৩

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা = ২√৩ সে.মি. ।

প্রশ্ন: ৯০ মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত ৫ : ৬ : ৭ হলে, বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম বাহুর সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
মনে করি,
ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৫ক, ৬ক ও ৭ক
∴ পরিসীমা = (৫ক + ৬ক + ৭ক) 
= ১৮ক 

প্রশ্নমতে, 
১৮ক = ৯০ 
বা, ক = ৯০/১৮ 
∴ ক = ৫ 

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর সমষ্টি = ৫ক + ৭ক 
= (৫ × ৫) + (৭ × ৫) 
= (২৫ + ৩৫) মিটার 
= ৬০ মিটার ।

প্রশ্ন: 69° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান: 
- যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে। 
যেহেতু, বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান। 
∴ 69° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = 69°  ।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে এর অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গ মিটার হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য = a 
∴ অতিভুজ = √২a 

বর্গের ক্ষেত্রফল = ৭২ বর্গ মিটার 
∴ বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৭২ মিটার
= ৬√২ মিটার

প্রশ্নমতে, 
√২a = ৬√২ 
∴ a = ৬ মিটার 

∴ সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে এর অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গ মিটার হবে।

প্রশ্ন: ইউক্লিড প্রদত্ত স্বীকার্যের ভুল তথ্য কোনটি? 

সমাধান: 
- ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো- 
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 15 মিটার, BC = 18 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 135 বর্গমিটার। তাহলে ∠B = কত? 

সমাধান: 

আমরা জানি,
ΔABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sin∠B
বা, 135 = (1/2) × 15 × 18 × sin∠B 
বা, 135 = 135 × sin∠B 
বা, sin∠B = 135/135
বা, sin∠B = 1 
বা, sin∠B = ‍sin90°
∴ ∠B = 90°

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ? 

সমাধান: 
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য = ক
∴ একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ  = ক^২

আবার, 
সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশ = ক/৩ 
∴ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (ক/৩)^২
= ক^২/৯

∴ একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের = ক^২/(ক^২/৯) 
= ক^২ × (৯/ক^২)
= ৯ গুণ । 

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে কী কোণ উৎপন্ন করে? 

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয় একান্তর কোণ। 

এখানে,
AB, CD সমান্তরাল রেখাদ্বয়কে EF তির্যক রেখাটি ছেদ করার ফলে EF রেখার বিপরীত পাশে অবস্থিত ∠APQ ও ∠PQD কোণদ্বয় পরস্পর একান্তর কোণ। 
আবার, ∠BPQ ও∠CQP কোণদ্বয়ও একান্তর কোণ। 

অপরদিকে, 
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

প্রশ্ন: কোনো সমতল সীমাবদ্ধ করতে কমপক্ষে কতটি সরলরেখা প্রয়োজন পড়ে?

সমাধান: 
- কোনো সমতল সীমাবদ্ধ করতে কমপক্ষে তিনটি সরলরেখা (ত্রিভুজ) প্রয়োজন পড়ে এবং একটি বক্ররেখা (বৃত্ত) প্রয়োজন পড়ে। 
অর্থাৎ, ৩টি সরলরেখা যদি পরস্পর ছেদ করে এবং একটি ত্রিভুজ তৈরি করে, তখন তারা একটি সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র তৈরি করে।

প্রশ্ন:  চিত্রে a° এর মান কত? 

সমাধান: 
এখানে, 
b° = 3c° [∴ একান্তর কোণ]
এবং, a° = 2b° [∴ একান্তর কোণ]
∴ a° = 2 × 3c° = 6c°

∴ 3c° = a°/2
∴ a° + 6c° + 3c° = 180° [সরলকোণ বলে]
বা, a° + a° + (a°/2) = 180°
বা, (2a° + 2a° + a°)/2 = 180°
বা, 5a°/2 = 180°
বা, 5a° = 360°
∴ a° = 72°