গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ................ + 7³ = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
1³ + 2³ + 3³ + ................ + n³ = {n(n + 1)/2}²
∴ 1³ + 2³ + 3³ + ................ + 7³ = {7(7 + 1)/2}²
=  784

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: a + b + c = 15 এবং a² + b² + c² = 83 হলে, ab + bc + ac এর মান কত?

সমাধান: 
(a + b + c)² = (a² + b² + c²) + 2(ab + bc + ac)
⇒ 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
⇒ 2(ab + bc + ac) = (15)² - 83
⇒ (ab + bc + ac) = 142/2 = 71

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a³ + 3a + 36 এর উৎপাদক?

সমাধান:
মনে করি, f(a) =  a³ + 3a + 36
f(-3) = (-3)³ + 3(-3) + 36
f(-3) = 0

∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে ( a + 3) উক্ত রাশির একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ...... ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 128
সাধারন অনুপাত r = 64/128 = 1/2
পদসংখ্যা n = 9 

∴ নবম পদ = ar^n-1
= 128 × (1/2)^9-1
= 128 × (1/2)⁸
= 128 × (1/256)
= 1/2

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন:

প্রশ্ন: 10x² + 7x - 12 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান: 
10x² + 7x - 12
= 10x² + 15x - 8x - 12
= 5x(2x + 3) - 4(2x + 3)
= (2x + 3)(5x - 4)

প্রশ্ন: 5.2^{n - 1}  -  4.2^{n - 2} = কত?

সমাধান: 
 5.2^{n - 1} - 4.2^{n - 2}
= 5.2ⁿ.(1/2) - 2².2^{n - 2}
= (5/2)2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ(5/2 - 1)
= (3/2)2ⁿ

প্রশ্ন: 5 + x + y + 135  গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে y এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5 
ধরি, সাধারণ অনুপাত, r 
চতুর্থ পদ = 135
ar^4-1 = 135
r³ = 135/5 = 27
r = 3

এখানে, y হলো তৃতীয় পদ 
∴ y = ar^n-1
= 5 × 3^3-1
= 45

প্রশ্ন: p - q = r হলে, p³ - q³ - r³ = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
p - q = r

p³ - q³ -r³ 
= (p -q)³ + 3pq(p - q) - r³
= r³ + 3pqr - r³
= 3pqr

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম ও ৩য় পদ যথাক্রমে ১১ ও ২৭ হলে, ১১তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 11
৩য় পদ = 27
২য় পদ = (11 + 27)/2 = 38/2 = 19

∴ সাধারণ অন্তর d = 19 - 11 = 8 
১১ তম পদ = a + (n - 1)d
= 11 + (11 - 1) × 8
= 11 + 80 
= 91

প্রশ্ন: (x + a)(x² - ax + a²)(x - a)(x² + ax + a²) = ?

সমাধান: 
(x + a)(x² - ax + a²)(x - a)(x² + ax + a²)
={(x + a)(x² - ax + a²)} {(x - a)(x² + ax + a²)}
= (x³ + a³)(x³ - a³)
= (x³)² - (x³)²
= x⁶ - a⁶

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + ......... ধারাটির কততম পদ 302?

সমাধান: 
এখানে, ধারার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 8 = 8 - 5 = 3
ধরি, 
nতম পদ = 302
বা, a + (n - 1)d = 302
বা, 5 + (n - 1)3 = 302
বা, 3n + 2 = 302
বা, 3n = 300
বা, n = 300/3
∴ n = 100

প্রশ্ন:

সমাধান: 

- সংবিধানের ১১৮নং অনুচ্ছেদে, 'নির্বাচন কমিশন প্রতিষ্ঠা' সম্পর্কে বলা হয়েছে।

• সংবিধানের ১১৮ (১) নং অনুচ্ছেদ অনুসারে,
- প্রধান নির্বাচন কমিশনার এবং অনধিক চার জন নির্বাচন কমিশনারকে লইয়া বাংলাদেশের একটি নির্বাচন কমিশন থাকিবে এবং উক্ত বিষয়ে প্রণীত কোন আইনের বিধানাবলী-সাপেক্ষে রাষ্ট্রপতি প্রধান নির্বাচন কমিশনারকে ও অন্যান্য নির্বাচন কমিশনারকে নিয়োগদান করিবেন।

• সংবিধানের ১১৮ (২) নং অনুচ্ছেদ অনুসারে,
- একাধিক নির্বাচন কমিশনারকে লইয়া নির্বাচন কমিশন গঠিত হইলে প্রধান নির্বাচন কমিশনার তাহার সভাপতিরূপে কার্য করিবেন।

• সংবিধানের ১১৮ (৩) নং অনুচ্ছেদ অনুসারে,
- এই সংবিধানের বিধানাবলী-সাপেক্ষে কোন নির্বাচন কমিশনারের পদের মেয়াদ তাঁহার কার্যভার গ্রহণের তারিখ হইতে পাঁচ বৎসরকাল হইবে এবং 
 (ক) প্রধান নির্বাচন কমিশনার-পদে অধিষ্ঠিত ছিলেন, এমন কোন ব্যক্তি প্রজাতন্ত্রের কর্মে নিয়োগলাভের যোগ্য হইবেন না; 
 (খ) অন্য কোন নির্বাচন কমিশনার অনুরূপ পদে কর্মাবসানের পর প্রধান নির্বাচন কমিশনাররূপে নিয়োগলাভের যোগ্য হইবেন, তবে অন্য কোনভাবে প্রজাতন্ত্রের কর্মে নিয়োগলাভের যোগ্য হইবেন না। 
 
• সংবিধানের ১১৮ (৪) নং অনুচ্ছেদ অনুসারে, 
- নির্বাচন কমিশন দায়িত্ব পালনের ক্ষেত্রে স্বাধীন থাকিবেন এবং কেবল এই সংবিধান ও আইনের অধীন হইবেন। 

• সংবিধানের ১১৮ (৫) নং অনুচ্ছেদ অনুসারে,
- সংসদ কর্তৃক প্রণীত যে কোন আইনের বিধানাবলী-সাপেক্ষে নির্বাচন কমিশনারদের কর্মের শর্তাবলী রাষ্ট্রপতি আদেশের দ্বারা যেরূপ নির্ধারণ করিবেন, সেইরূপ হইবে।

• সংবিধানের ১১৮ (৬) নং অনুচ্ছেদ অনুসারে, 
- কোন নির্বাচন কমিশনার রাষ্ট্রপতিকে উদ্দেশ করিয়া স্বাক্ষরযুক্ত পত্রযোগে স্বীয় পদ ত্যাগ করিতে পারিবেন।

উৎস: বাংলাদেশের সংবিধান।

• সংবিধানের ৪৪নং অনুচ্ছেদে 'মৌলিক অধিকার বলবৎকরণ' এর কথা বলা হয়েছে'।

সংবিধানের ৪৪নং অনুচ্ছেদ অনুসারে,
• ৪৪ (১) নং অনুচ্ছেদে বলা আছে,
- এই ভাগে প্রদত্ত অধিকারসমূহ বলবৎ করিবার জন্য এই সংবিধানের ১০২ অনুচ্ছেদের (১) দফা অনুযায়ী হাইকোর্ট বিভাগের নিকট মামলা রুজু করিবার অধিকারের নিশ্চয়তা দান করা হইল। 
 
• ৪৪ (২) নং অনুচ্ছেদে বলা আছে,
- এই সংবিধানের ১০২ অনুচ্ছেদের অধীন হাইকোর্ট বিভাগের ক্ষমতার হানি না ঘটাইয়া সংসদ আইনের দ্বারা অন্য কোন আদালতকে তাহার এখতিয়ারের স্থানীয় সীমার মধ্যে ঐ সকল বা উহার যে কোন ক্ষমতা প্রয়োগের ক্ষমতা দান করিতে পারিবেন।

উৎস: বাংলাদেশের সংবিধান।

- ত্রয়োদশ সংশোধনীর মাধ্যমে 'তত্ত্বাবধায়ক সরকার' ব্যবস্থা প্রবর্তন করা হয়।

 • ত্রয়োদশ সংশোধনীর মাধ্যমে বাংলাদেশের সংবিধানে ২৭ মার্চ, ১৯৯৬ সালে তত্ত্বাবধায়ক সরকার ব্যবস্থা প্রণয়ন করা হয়েছিল।
- এর অধীনে ৩০ মার্চ বিচারপতি হাবিবুর রহমান তত্ত্বাবধায়ক সরকারের প্রধান উপদেষ্টা হিসেবে নিয়োগ পান।
- ৩ এপ্রিল তত্ত্বাবধায়ক সরকার শপথ গ্রহণ করে।
- এর আগে ১৯৯০ সালে বিচারপতি শাহাবুদ্দিন আহমেদ নেতৃত্বে অন্তর্বর্তীকালীন তত্ত্বাবধায়ক সরকার গঠিত হলেও এর সাংবিধানিক ভিত্তি ছিলো না।
- ফখরুদ্দিন আহমেদ সর্বশেষ তত্ত্বাবধায়ক সরকারের প্রধান উপদেষ্টা ছিলেন।
- তবে ১৫তম সংশোধনীর মাধ্যমে বাংলাদেশের সংবিধান থেকে ৩০ জুন, ২০১১ সালে 'তত্ত্বাবধায়ক সরকার ব্যবস্থা' বাতিল করা হয়।

উৎস: বাংলাদেশের সংবিধান, আরিফ খান।

-  জনগণের মৌলিক অধিকারের উৎস হলো সংবিধান।
- এটি জনগণের মৌলিক অধিকারের রক্ষাকবচ।

- সংবিধানে নাগরিকদের মৌলিক অধিকার এবং অধিকারের নিশ্চয়তার বিধান সন্নিবেশিত থাকে।
- বাংলাদেশের সংবিধানের তৃতীয় ভাগে মৌলিক অধিকার সম্পর্কে বলা হয়েছে।
- এর মধ্যে তৃতীয় ভাগে ২৬ থেকে ৪৭ নং অনুচ্ছেদে মৌলিক অধিকার সংক্রান্ত বিষয়ে বর্ণনা করা হয়েছে।
- এতে মোট ২২টি অনুচ্ছেদ রয়েছে।
 
উৎস: বাংলাদেশের সংবিধান, আরিফ খান।

- 'রাষ্ট্রপতি-পদের মেয়াদ' সংবিধানের ৫০ নং অনুচ্ছেদে রয়েছে।

• সংবিধানের ৫০ (১) অনুচ্ছেদ অনুসারে:
- এই সংবিধানের বিধানাবলী সাপেক্ষে রাষ্ট্রপতি কার্যভার গ্রহণের তারিখ হইতে পাঁচ বৎসরের মেয়াদে তাঁহার পদে অধিষ্ঠিত থাকিবেন।
 - তবে শর্ত থাকে যে, রাষ্ট্রপতির পদের মেয়াদ শেষ হওয়া সত্ত্বেও তাঁহার উত্তরাধিকারী-কার্যভার গ্রহণ না করা পর্যন্ত তিনি স্বীয় পদে বহাল থাকিবেন। 

• সংবিধানের ৫০ (২) অনুচ্ছেদ অনুসারে:
 - একাদিক্রমে হউক বা না হউক-দুই মেয়াদের অধিক রাষ্ট্রপতির পদে কোন ব্যক্তি অধিষ্ঠিত থাকিবেন না। 

• সংবিধানের ৫০ (৩) অনুচ্ছেদ অনুসারে:
- স্পীকারের উদ্দেশ্যে স্বাক্ষরযুক্ত পত্রযোগে রাষ্ট্রপতি স্বীয় পদ ত্যাগ করিতে পারিবেন।

• সংবিধানের ৫০ (৪) অনুচ্ছেদ অনুসারে:
- রাষ্ট্রপতি তাঁহার কার্যভারকালে সংসদ-সদস্য নির্বাচিত হইবার যোগ্য হইবেন না, এবং কোন সংসদ-সদস্য রাষ্ট্রপতি নির্বাচিত হইলে রাষ্ট্রপতিরূপে তাঁহার কার্যভার গ্রহণের দিনে সংসদে তাঁহার আসন শূন্য হইবে।

উৎস: বাংলাদেশের সংবিধান।