Math Master

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব ৮ সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে। 
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 8 : EF = 2 : 1
⇒  8/EF = 2/1
⇒ 2EF = 8
⇒ EF = 4

∴  ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 8 + 4 = 12 সেমি।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ৪ ডিগ্রী হলে বৃহত্তম কোণটি কত ডিগ্রী হবে?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক
বৃহত্তম কোণ = ক + ৪°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ৪° = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৪°
⇒ ক = ৮৬°/২
⇒ ক = ৪৩°

∴ বৃহত্তম কোণ = ৪৩° + ৪° = ৪৭°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহু 8√3 সে.মি. হলে, ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের মধ্যমা = (√3/2) × বাহু
= (√3/2) × 8√3
= 12 সেমি

প্রশ্ন: ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ত্রিভুজটি AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের উৎপন্ন প্রত্যেকটি অন্তঃস্থকোণের মান = ৬০°
এবং, প্রতিটি বহিঃস্থকোণের মান = ১২০°
দুটি বাহু বর্ধিত করায় দুটি বহিঃস্থকোণ উৎপন্ন হবে।

∴ উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল = ১২০° + ১২০°
= ২৪০°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 104 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 16 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
= (1/2) × ভূমি × 16
= 8 × ভূমি 

প্রশ্নমতে,
8 × ভূমি = 104
⇒ ভূমি = 104/8
∴ ভূমি = 13 গজ

প্রশ্নে ভাষাগত কিছুটা ত্রুটি আছে। প্রশ্নটি হওয়া উচিত ছিল, 'অপর দুটি বাহুর মধ্যে বৃহত্তর বাহু কোনটি?'
তবে, প্রশ্নে যেহেতু অতিভুজ নির্দিষ্ট করে দেয়া আছে, তাই আমরা প্রশ্নটি বাতিল করছি না।
তাই, অধিকতর গ্রহণযোগ্য উত্তর হিসেবে বৃহত্তর বাহুর দৈর্ঘ্য 20 মিটার নেয়া হয়েছে। 
================================== 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। ত্রিভুজটির একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপরটির তিন-চতুর্থাংশ হলে, ত্রিভুজটির বৃহত্তম বাহুর দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:


ধরি, একিটি বাহু, BC = y মিটার
অপর বাহু, AB = 3y/4 মিটার 

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AB² + BC² = AC²
বা, (3y/4)² + y² = 25²
বা, (9y²/16) + y² = 625
বা, (9y² + 16y²)/16 = 625 
বা, 25y² = 625 × 16
বা, y² = (625 × 16)/25
বা, y² = 400
∴ y = 20 মিটার

∴ একটি বাহু = 20 মিটার এবং, অপর বাহু = (3 × 20)/4 = 15 মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণের পরিমাণ ৫০° হলে, সমান কোণ দুইটির প্রত্যেকটির পরিমাণ হবে-

সমাধান:
আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ একটি কোণ ৫০° হলে অপর কোণদ্বয় = ১৮০° - ৫০°
= ১৩০°

যেহেতু ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু, অপর কোণ দুটি সমান হবে।
∴ প্রত্যেকটি কোণ = ১৩০°/২ = ৬৫°

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও ভূমি যথাক্রমে 10 সে.মি. এবং 8 সে.মি. হলে, অতিভুজ ও উচ্চতার পার্থক্য কত?

সমাধান;
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
অতিভুজ² = ভুমি² + লম্ব²
⇒ 10² = 8² + লম্ব²
 ⇒  লম্ব² = 100 - 64
⇒ লম্ব² = 36
∴ লম্ব = 6 সে.মি.

∴ অতিভুজ ও উচ্চতার পার্থক্য = 10 - 6 = 4 সে.মি.

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৬√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ২)^২

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(a + ২)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ৬√৩
বা, a^২ + ৪a + ৪ - a^২ = ৬√৩ × (৪/√৩)
বা, a^২ + ৪a + ৪ - a^২ = ২৪
বা, ৪a = ২৪ - ৪
∴ a = ৫

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৫ মিটার।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 120 বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য 24 একক হলে অপরটি কত?   

সমাধান: 
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
⇒  120 = (1/2) × (24 × নির্ণেয় বাহু)
⇒  নির্ণেয় বাহু = (120 × 2)/24
= 10 একক

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মিটার এবং অতিভুজ ২০ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভূজের,
লম্ব = √(অতিভূজ^২ - ভূমি^২) = √(২০^২ - ১৬^২)
= √(৪০০ - ২৫৬) মিটার
= √(১৪৪)
= ১২ মিটার

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) x ১২ x ১৬
= ৯৬ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে A কোণের মান 50° এবং B কোণের মান 80° হলে, ত্রিভুজটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান: 
C কোণের মান = 180° - 50° - 80°
= 180° - 130°
= 50°

এখানে A ও C কোণ সমান।
কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান হলে ত্রিভুজটির দুইটি বাহুও সমান হবে।
তাই ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ সে.মি. হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমকোণী সমদ্বিবাহু সমান সমান ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × ৪ × ৪
= ৮ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।

এখানে,
প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৩ + ৪ = ৭ > ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব
২ + ৩ = ৫ = ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়
৫ + ৬ = ১১ > ৮ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব