শিক্ষক নিবন্ধন (NTRCA) প্রস্তুতি [১৯তম]

প্রশ্ন: একটি দোকানের গত বছরের মাসিক বিক্রয় ও এ বছরের মাসিক বিক্রয়ের অনুপাত ৮ : ৬। গত বছরের তুলনায় এ বছরের মাসিক বিক্রয় শতকরা কত হ্রাস পেয়েছে?

সমাধান:
গত বছরের বিক্রয় ও এ বছরের বিক্রয়ের অনুপাত ৮ : ৬
ধরি, গত বছরের বিক্রয় = ৮ক টাকা এবং এই বছরের বিক্রয় = ৬ক টাকা
বিক্রয় হ্রাস পেয়েছে = (৮ক - ৬ক) টাকা = ২ক টাকা

∴ বিক্রয় শতকরা হ্রাস পেয়েছে = {(২ক/৮ক) × 100}%
= ২৫%

প্রশ্ন: a + b = 17 এবং a - b = 11 হলে, a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a² + b² = (1/2){(a + b)² + (a - b)²}
= (1/2)(17² + 11²)
= (1/2) × (289 + 121)
= 205

প্রশ্ন: ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড়ের অর্ধেকের মান কত?

সমাধান:
৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ৬১ এবং বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা ৭৯।
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = (৬১ + ৭৯)/২ = ৭০
∴ অর্ধেকের মান = ৭০/২ = ৩৫

প্রশ্ন: (3^{3x - 4} · a^{2x - 5})/3^{x + 1} = a^{2x - 5} এবং a > 0 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(3^{3x - 4} · a^{2x - 5})/3^{x + 1} = a^{2x - 5}
⇒ 3^{3x - 4}/3^{x + 1} = a^{2x - 5}/a^{2x - 5}
⇒ 3^{3x - 4} = 3^{x + 1}
⇒ 3x - 4 = x + 1
⇒ 3x - x = 1 + 4
⇒ 2x = 5
∴ x = 5/2

প্রশ্ন: জুয়েল ৬ টাকায় ৩ টি কমলা কিনে ৪ টাকায় ৫ টি কমলা বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে?

সমাধান:
৩ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ৬ টাকা
১ টি কমলার ক্রয়মূল্য = ৬/৩ = ২ টাকা

আবার, ৫ টি কমলার বিক্রয়মূল্য = ৪ টাকা
১ টি কমলার বিক্রয়মূল্য = ৪/৫ টাকা
∴ ক্ষতি = ২ - (৪/৫)
= (১০ - ৪)/৫
= ৬/৫ টাকা

২ টাকায় ক্ষতি হয় = ৬/৫ টাকা
∴ ১ টাকায় ক্ষতি হয় = (৬/৫) × (১/২) টাকা
∴ ১০০ টাকায় ক্ষতি হয় = (৬/৫) × (১/২) × ১০০ টাকা
= ৬০ টাকা বা ৬০%

প্রশ্ন: 3cotA = 4 হলে, cosecA এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
3 cotA = 4
⇒ cot = 4/3
⇒ cot²A = 16/9
⇒ cosec²A - 1 = 16/9
⇒ cosec²A = (16/9) + 1
⇒ cosec²A = (16 + 9)/9
⇒ cosec²A = 25/9
∴ cosecA = 5/3

প্রশ্ন: কতগুলো ঘণ্টা একসাথে বাজার পর ৮ সেকেন্ড, ১৫ সেকেন্ড, ২৪ সেকেন্ড এবং ৩০ সেকেন্ড পর পর বাজতে থাকলো। ঘণ্টাগুলো কতক্ষণ পর আবার একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৮, ১৫, ২৪, ৩০ এর ল.সা.গু যত ঘণ্টাগুলো ততক্ষণ পরে আবার একত্রে বাজবে।
৮, ১৫, ২৪, ৩০ এর ল.সা.গু = ১২০
ঘণ্টাগুলো আবার একত্রে বাজবে = ১২০ সেকেন্ড পর
= ১২০/৬০ মিনিট
= ২ মিনিট

প্রশ্ন: (5x - 3y, 7) = (2, 4x - y) হলে, 3x + 2y = কত?

সমাধান:
এখানে,
5x - 3y = 2 ...... (1)
4x - y = 7 ....... (7)

(1) - {(2) × 3)} ⇒ 
5x - 3y - 12x + 3y = 2 - 21
⇒ - 7x = - 19
∴ x = 19/7

(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
4(19/7) - y = 7
⇒ (76/7) - y = 7
⇒ y = (76/7) - 7
⇒ y = (76 - 49)/7
∴ y = 27/7

∴ 3x + 2y = 3(19/7) + 2(27/7)
= (57/7) + (54/7)
= 111/7

প্রশ্ন: একটি সামন্তরিকের ভূমির পরিমাণ ২৩ সে.মি. এবং উচ্চতা ৮ সে.মি.। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= ২৩ × ৮
= ১৮৪ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ২০% চক্রবৃদ্ধি সুদে ২০০০০ টাকার ২ বছরের সুদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
হার, r = ২০% = ২০/১০০ = ০.২
আসল, P = ২০০০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর
∴ চক্রবৃদ্ধি মূলধন, C = P(১ + r)n টাকা
= ২০০০০ × (১ + ০.২)২ টাকা
= ২০০০০ × ১.২ × ১.২ টাকা
= ২০০০০ × ১.৪৪ টাকা
= ২৮৮০০ টাকা
চক্রবৃদ্ধি সুদ = (২৮৮০০ - ২০০০০) টাকা
= ৮৮০০ টাকা

প্রশ্ন: দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৮১ : ১২১। তাদের পরিসীমার অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি বর্গের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ৮১ : ১২১

∴ পরিসীমার অনুপাত = √৮১ : √১২১
= ৯ : ১১

প্রশ্ন: 3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + ......... ধারার অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
3 + 1.5 + 0.75 + 0.375 + .........
এখানে,
1.5/3 = 0.5
0.75/1.5 = 0.5
সুতরাং ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, যার সাধারণ অনুপাত r = 0.5 < 1 [অসীমতক সমষ্টি আছে]
প্রথম পদ a = 3
অসীমতক সমষ্টি S∞ = a/(1 - r)
= 3/(1 - 0.5)
= 3/0.5
= 6

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২৫% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত শতাংশ কমবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২৫% কমলে ২ বার ২৫% করে কমবে।
প্রথম বার কমে হবে = ১০০ - ২৫ = ৭৫%

দ্বিতীয় বার কমবে = ৭৫ এর ২৫%
= ৭৫ × (২৫/১০০)
= ১৮.৭৫%

∴ ক্ষেত্রফল মোট কমবে = (২৫ + ১৮.৭৫) = ৪৩.৭৫%

প্রশ্ন: log_xy = 100 এবং log₃x = 10 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
log₃x = 10
⇒ x = 3¹⁰

এবং log_xy = 100 
⇒ y = x¹⁰⁰
⇒ y = (3¹⁰)¹⁰⁰
∴ y = 3¹⁰⁰⁰

প্রশ্ন: একটি ট্রেন ১৮০ মিটার লম্বা একটি ব্রিজ পার হতে ২৫ সেকেন্ড সময় নেয়। ট্রেনের গতিবেগ ঘণ্টায় ৫৪ কি.মি হলে, ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ট্রেনের গতিবেগ = ৫৪ কি.মি./ঘণ্টা
= ৫৪/৩.৬
= ১৫ মি./সে.

ট্রেনের মোট অতিক্রান্ত = বেগ × সময়
= ১৫ × ২৫
= ৩৭৫ মিটার

ট্রেনের দৈর্ঘ্য = মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব - প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য
= ৩৭৫ - ১৮০
= ১৯৫ মিটার

প্রশ্ন: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কয়টি বৃত্ত আঁকা যায়?

সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

প্রশ্ন: নিচের কোন পরিমাপটি সঠিক?

সমাধান:
১ মিলিয়ন = ১০ লক্ষ
১০ মিলিয়ন = ১ কোটি
১০০ মিলিয়ন = ১০ কোটি
১০০০ মিলিয়ন = ১০০ কোটি

প্রশ্ন: রিয়ার বর্তমান বয়স ১৫ বছর। রিয়ার বয়স সিয়ামের বয়সের তিনগুণ। কত বছর পরে রিয়ার বয়স সিয়ামের বয়সের দ্বিগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
রিয়ার বর্তমান বয়স = ১৫ বছর
সিয়ামের বর্তমান বয়স = ১৫/৩ = ৫ বছর
এবং ক বছর পর রিয়ার বয়স সিয়ামের বয়সের দ্বিগুণ হবে।

প্রশ্নমতে,
১৫ + ক = ২(৫ + ক)
⇒ ১৫ + ক = ১০ + ২ক
⇒ ২ক - ক = ১৫ - ১০
∴ ক = ৫

৫ বছর পর রিয়ার বয়স হবে = ১৫ + ৫ = ২০ বছর
৫ বছর পর সিয়ামের বর্তমান বয়স = ৫ + ৫ = ১০ বছর 

প্রশ্ন: জুলাই মাসে চালের দাম ২০% বৃদ্ধি পাওয়ায় একটি পরিবার চাল কেনা এমনভাবে কমালো যাতে চাল কেনার খরচ আগের মতোই থাকে। পরিবারটি চাল কেনার পরিমাণ শতকরা কত কমিয়েছে?

সমাধান:
২০% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা

বর্তমান মূল্য ১২০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১ টাকা হলে পূর্বমূল্য = ১০০/১২০ টাকা
বর্তমান মূল্য ১০০ টাকা হলে পূর্বমূল্য = (১০০ × ১০০)/১২০
= ৮৩.৩৩ টাকা

∴ পরিবারটি চাল কেনা কমিয়েছে = (১০০ - ৮৩.৩৩) = ১৬.৬৭%

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 2 হয়, তবে x³ + (1/x³) এর মান কত?

সমাধান:
x³ + (1/x³)
= {x + (1/x)}³ - 3 × x × (1/x) {x + (1/x)}
= (2)³ - 3 × 1 × 2
= 8 - 6
= 2

প্রশ্ন: a একটি জোড় সংখ্যা এবং b একটি বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
ধরি,
a = 4 এবং b = 3
• a + 2b = 4 + (2 × 3) = 10 = জোড় সংখ্যা
• a - b : 4 - 3 = 1 = বিজোড় সংখ্যা
• ab + 1 = (4 × 3) + 1 = 13 = বিজোড় সংখ্যা
• 2a + b = (2 × 4) + 3 = 11 = বিজোড় সংখ্যা

প্রশ্ন: x√0.09 = 3 হলে x³ = কত?

সমাধান:
x√0.09 = 3
⇒ (x√0.09)² = (3)²
⇒ x²(√0.09)² = 9
⇒ x² × 0.09 = 9
⇒ x² × 9/100 = 9
⇒ x² = 100
⇒ x = 10
∴ x³ = 1000

প্রশ্ন: একটি পণ্যের মূল্য ২৫% কমে যাওয়ায় ৬,০০০ টাকায় পূর্বাপেক্ষা ৩ কুইন্টাল পণ্য বেশি পাওয়া যায়। ১০ কেজি পণ্যের বর্তমান মূল্য কত?

সমাধান:
১০০ টাকায় কমে = ২৫ টাকা
∴ ১ টাকায় কমে = ২৫/১০০ টাকা
∴ ৬,০০০ টাকায় কমে = (২৫ × ৬,০০০)/১০০ টাকা
= ১,৫০০ টাকা

আমরা জানি
১ কুইন্টাল = ১০০ কেজি
∴ ৩ কুইন্টাল = ৩০০ কেজি

৩০০ কেজি পণ্যের দাম = ১,৫০০ টাকা
∴ ১ কেজি পণ্যের দাম = ১,৫০০/৩০০ টাকা
∴ ১০ কেজি পণ্যের দাম = (১,৫০০ × ১০)/৩০০ টাকা
= ৫০ টাকা

প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠ABC + ∠BAC = 135° হলে, ∠ACD এর মান কত?

সমাধান:
১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।

ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করলে ∠ABC + ∠BAC = ∠ACD
∠ABC + ∠BAC = 135°
∠ACD = 135°

প্রশ্ন: tanθ + secθ = 2 হলে, tanθ = কত?

সমাধান:
tan θ + sec θ = 2  ...... (1)

আমরা জানি,
sec²θ - tan²θ = 1
⇒ (secθ - tanθ)(secθ + tanθ) = 1
⇒ secθ - tanθ = 1/2 ...... (2)

(1) - (2) নং থেকে
⇒ 2tanθ = 2 - (1/2)
⇒ 2tanθ = 3/2
∴ tanθ = 3/4

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৪৮০০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ১২০ হলে, গ.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৪৮০০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ১২০

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৪৮০০ = ১২০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৪৮০০/১২০
∴ গ.সা.গু = ৪০

প্রশ্ন: আয়তাকার একটি বাগানের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার এবং প্রস্থ ১৫০ মিটার। বাগানটিকে পরিচির্যা করার জন্য ঠিক মাঝ দিয়ে ৪ মিটার চওড়া দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বরাবর পথ আছে। পথের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার এবং প্রস্থ ১৫০ মিটার।
দৈর্ঘ্য বরাবর পথের ক্ষেত্রফল = ২০০ × ৪ = ৮০০ বর্গমিটার
প্রস্থ বরাবর পথের ক্ষেত্রফল = (১৫০ - ৪) × ৪ = ৫৮৪ বর্গমিটার
পথের মোট ক্ষেত্রফল = (৮০০ + ৫৮৪) বর্গমিটার
= ১৩৮৪ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ২০০০০ টাকা সরল মুনাফায় ৫ বছরে মুনাফা-আসলে ২৫০০০ টাকা হয়। মুনাফার হার কত?

সমাধান:
আসল, P = ২০০০০ টাকা
সময়, n = ৫ বছর
মুনাফা, I = ২৫০০০ - ২০০০০ = ৫০০০ টাকা
মুনাফার হার = r
আমরা জানি,
মুনাফার হার, r = I/(Pn)
= (৫০০০ × ১০০)/(২০০০০ × ৫) %
= ৫%

প্রশ্ন: ৩০ লিটার দুধ ও পানির মিশ্রণের অনুপাত ৩ : ২। ওই মিশ্রণে আর কত লিটার পানি মেশালে অনুপাত ২ : ৫ হবে?

সমাধান:
মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত = ৩ : ২
অনুপাত দ্বয়ের সমষ্টি = ৩ + ২ = ৫
মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = ৩০ এর ৩/৫ = ১৮ লিটার
মিশ্রণে পানির পরিমাণ = ৩০ এর ২/৫ = ১২ লিটার
ধরি,
পানি মিশাতে হবে = ক লিটার
প্রশ্নমতে,
১৮/(১২ + ক) = ২/৫
বা, ১৮ × ৫ = (১২ + ক) × ২
বা, ৯০ = ২৪ + ২ক
বা, ৯০ - ২৪ = ২ক
বা, ৬৬ = ২ক
বা, ক = ৩৩
∴ ক = ৩৩ লিটার

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে ৬ষ্ঠ পদটি ২৮ এবং প্রথম ৬টি পদের যোগফল ১৩৮ হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
প্রথম পদ = a
দেওয়া আছে,
৬ষ্ঠ পদ = ২৮
∴ a + (৬ - ১)d = ২৮
⇒ a + ৫d = ২৮

এখন,
৬টি পদের যোগফল = ১৩৮
⇒ (৬/২){২a + (৬ - ১)d} = ১৩৮
⇒ ২a + ৫d = ৪৬
⇒ a + (a + ৫d) = ৪৬
⇒ a + ২৮ = ৪৬
⇒ a = ১৮

প্রশ্ন: একটি নৌকার বেগ ঘণ্টায় ১২ কি.মি. এবং স্রোতের বেগ ঘণ্টায় ৩ কি.মি.। নৌকাটি ৪৫ কি.মি. দূরে যাবে এবং একই পথে ফিরে আসবে। যাতায়াতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে কার্যকরী বেগ ঘণ্টায় (১২ + ৩) = ১৫ কি.মি.
স্রোতের প্রতিকূলে কার্যকরী বেগ ঘণ্টায় (১২ - ৩) = ৯ কি.মি.

স্রোতের অনুকূলে ২০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ৪৫/১৫ ঘণ্টা = ৩ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে ২০ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ৪৫/৯ ঘণ্টা = ৫ ঘণ্টা
মোট সময় লাগে = (৩ + ৫) ঘণ্টা = ৮ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ হলে, বহুভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি-

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে মোট উৎপন্ন অন্তঃকোণের পরিমাণ = (n - 2) × 180⁰
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা ৯ টি
∴ বহুভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = (৯ - ২) × ১৮০⁰
= ৭ × ১৮০⁰
= ১২৬০⁰
= ১২৬০⁰/১৮০⁰ সমকোণ
= ৭ সরলকোণ

প্রশ্ন: একটি দালানের উচ্চতা ১৫ মিটার। একটি সিঁড়ির তলদেশ দালান থেকে √৪০০ মিটার দূরে রাখা আছে। দালানের ছাদে সিঁড়িটি ছুঁয়ে আছে। সিঁড়িটি কত মিটার লম্বা?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি = √৪০০ মিটার
লম্ব বা উচ্চতা = ১৫ মিটার
সিঁড়ির দৈর্ঘ্য বা অতিভুজ = ?

∴ সিঁড়ির দৈর্ঘ্য বা অতিভুজ = √{১৫^২ + (√৪০০)^২}
= √(২২৫ + ৪০০)
= √৬২৫
= ২৫ মিটার

প্রশ্ন: B = {x : x, 28 এর গুণনীয়ক} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ হবে-

সমাধান:
এখানে, 28 = 1 × 28 = 2 × 14 = 4 × 7
∴ 28 এর গুণনীয়কসমূহ 1, 2, 4, 7, 14, 28
নির্ণেয় সেট B = {1, 2, 4, 7, 14, 28}

প্রশ্ন: একটি সংগঠনের ৮০% সদস্য পুরুষ। পুরুষ সদস্যদের মধ্যে ৫০% পেশায় ডাক্তার, ৩০% পেশায় ইঞ্জিনিয়ার এবং অবশিষ্ট ৪০ জন ব্যবসায়ী। সংগঠনের মোট কতজন সদস্য ইঞ্জিনিয়ার?

সমাধান:
ধরি, মোট সদস্য সংখ্যা = ক জন
তাহলে পুরুষ সদস্য সংখ্যা = ক এর ৮০% = ০.৮ক

প্রশ্নানুসারে,
০.৮ক এর (১০০% - ৫০% - ৩০%) = ৪০
বা, ০.৮ক এর ২০% = ৪০
বা, ০.১৬ক = ৪০
বা, ক = ২৫০

এখন
সংগঠনের পুরুষ সদস্য = ২৫০ × (৮০/১০০) = ২০০ জন
∴ ইঞ্জিনিয়ারের সংখ্যা = ২০০ × (৩০/১০০) = ৬০ জন

প্রশ্ন: 5√5 × 5³ ÷5^-3/2 = 5^{a + 2} হলে, a = কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 4a² + 5a - 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
4a² + 5a - 9
=4a² - 4a + 9a - 9
= 4a(a - 1) + 9(a - 1)
= (a - 1)(4a + 9)

প্রশ্ন: secx/(cotx + tanx) = কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: xy + yz + zx = 6 এবং x² + y² + z² = 14 হলে, x + y + z = কত?

সমাধান:
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)
= x² + y² + z² + 2(6)
= 14 + (2 × 6)
= 14 + 12
= 26
∴ x + y + z = √26

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৯২৬ থেকে যত কম, ৭২৪ থেকে তত বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
৯২৬ - ক = ক - ৭২৪
⇒ ২ক = ৯২৬ + ৭২৪
⇒ ২ক = ১৬৫০
⇒ ক = ১৬৫০/২
∴ ক = ৮২৫

∴ সংখ্যাটি = ৮২৫