প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭৪২ থেকে যত বড়, ৮৩০ এর দ্বিগুণ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান;
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৭৪২ = (৮৩০ × ২) - ক
⇒ ক - ৭৪২ = ১৬৬০ - ক
⇒ ২ক = ১৬৬০ + ৭৪২
⇒ ২ক = ২৪০২
∴ ক = ১২০১

প্রশ্ন: ৫ টাকায় ১ টি করে কমলা কিনে ২৪ টাকায় কয়টি কমলা বিক্রয় করলে ২০% লাভ হবে?

সমাধান:
২০% লাভে, ১ টি কমলার বিক্রয়মূল্য = ৫ + ৫ এর ২০%
= ৫ + ১ টাকা
= ৬ টাকা

অর্থাৎ, ৬ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ১ টি 
১ টাকায় বিক্রয় করতে হবে ১/৬ টি 
∴ ২৪ টাকায় বিক্রয় করতে হবে  ২৪/৬ টি 
= ৪ টি 

প্রশ্ন: x - y = √12 এবং xy = 1 হলে, x² + y² =?

সমাধান:
x - y = √12 
⇒ (x - y)² = (√12)²
∴  (x - y)² = 12

xy = 1

(x - y)² = x² - 2xy + y²
⇒ 12 = x² + y² - 2 × 1
⇒ 12 = x² + y² - 2
∴ x² + y² = 12 + 2
= 14

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

সমাধান:
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬ : ৮ : ১০
কোণগুলি হল ৬ক, ৮ক, ১০ক

প্রশ্নমতে,
৬ক + ৮ক + ১০ক = ১৮০
⇒ ২৪ক = ১৮০
∴ ক = ৭.৫

ক্ষুদ্রতম কোণ = ৬ক
= ৬ × ৭.৫
= ৪৫°

প্রশ্ন: (০.০৩/১০)^২ =?

সমাধান:
(০.০৩/১০)^২ 
= (০.০০৩)^২
= ০.০০০০০৯

প্রশ্ন: F(x) = x³ - 1 হলে, F(-1) =?

সমাধান:
F(x) = x³ - 1

∴ F(-1) = (-1)³ - 1
= - 1 - 1
= - 2

প্রশ্ন: একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। প্রতি বর্গমিটার ৯.৫০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১৮২৪ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
প্রতি বর্গমিটার ৯.৫০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১৮২৪ টাকা ব্যয় হয়।
ঘরটির ক্ষেত্রফল = ১৮২৪/৯.৫০ বর্গমি.
= ১৯২ বর্গমিটার

ধরি, ঘরের প্রস্থ ক মিটার 
দৈর্ঘ্য = ৩ক মিটার

৩ক × ক = ১৯২
⇒ ৩ক^২ = ১৯২
⇒ ক^২ = ৬৪
∴ ক = ৮ 

প্রস্থ ৮ মিটার
দৈর্ঘ্য = (৩ × ৮) মিটার
= ২৪ মিটার

∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২ (৮ + ২৪) মিটার
= ২ × ৩২ মিটার
= ৬৪ মিটার

প্রশ্ন: (x - 2)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট কত হবে?

সমাধান:
(x - 2)(x - 5) < 0 হবে, যখন একটি ধনাত্মক  একটি ঋণাত্মক হবে।
অতএব, x - 2 ধনাত্মক ও x - 5 ঋণাত্মক হবে।

x - 2 > 0
∴ x > 2

x - 5 < 0
∴ x < 5

(x - 2)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট = 2 < x < 5

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭ এবং তাদের ল.সা.গু ২১০ হলে, তাদের গ. সা. গু কত?

সমাধান:
দেয়া আছে 
দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৭

মনে করি,
একটি সংখ্যা ৫ক  এবং
অপর সংখ্যাটি ৭ক

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ক এবং ল.সা.গু = ৩৫ক

শর্তমতে, 
৩৫ক = ২১০
ক = ২১০/৩৫ 
ক = ৬

সংখ্যা দুটির গ.সা.গু = ৬

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৬ টি সাদা ও ৪ টি কালো বল রয়েছে। ব্যাগটি হতে একটি বল বাছাই করলে বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ব্যাগে ৬ টি সাদা ও ৪ টি কালো বল রয়েছে।
মোট বল = ৬ + ৪ টি = ১০ টি 
বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/১০ 
= ২/৫

∴বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ২/৫
= (৫ - ২)/৫
= ৩/৫

প্রশ্ন: একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের অতিভুজের মান ৩√২ মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি, সমান বাহু ক ।
ক^২ + ক^২ =  (৩√২)^২
⇒ ২ক^২ = ১৮
⇒ ক^২  = ৯ 
∴ ক = ৩

ক্ষেত্রফল = ১/২ × ৩ × ৩ 
= ৪.৫ বর্গমিটার

প্রশ্ন: (1/a) = √3 - √2 হলে, a³ + 3a + 3a^-1 + a^-3 এর মান কত?

সমাধান:
(1/a) = √3 - √2
⇒ a = 1/(√3 - √2)
⇒ a = (√3 + √2)/(√3 - √2)(√3 + √2)
= (√3 + √2)/ (√3)² - (√2)²
= (√3 + √2)/(3 - 2)
= (√3 + √2)/1
= (√3 + √2)

∴ a + (1/a) = √3 + √2 + √3 - √2
= 2√3

a³ + 3a + 3a^-1 + a^-3
= a³ + 3a + 3(1/a) + (1/a³)
= a³ + (1/a³) + 3a + 3(1/a) 
= (a + 1/a)³ - 3.a.(1/a)(a + 1/a) + 3(a + 1/a)
= (2√3)³ - 3.2√3 + 3.2√3
= (2√3)³
= 24√3

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
৫, ১৫, ২০, ২৫ এর ল. সা. গু = ৩০০

(৩/৫) = (৩ × ৬০)/ (৫ × ৬০) = ১৮০/৩০০
(৪/১৫) = (৪ × ২০)/(১৫ × ২০) = ৮০/৩০০
(৩/২০) = (৩ × ১৫)/(২০ × ১৫) = ৪৫/৩০০
(৭/২৫) = (৭ × ১২)/(২৫ × ১২) = ৮৪/৩০০

∴ সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি ৩/২০ 

প্রশ্ন: x³ + 1 এবং x² - 1 এর গ. সা. গু 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x³ + 1 = (x + 1) (x² - x + 1)
x² - 1 = (x + 1) (x - 1)

x³ + 1 এবং x² - 1 এর গ. সা. গু x + 1

x + 1 = 2
⇒ x = 2 - 1
∴ x = 1

প্রশ্ন: নিম্নের O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে, ∠BAC = ৫০° হলে ∠ABC =?

সমাধান: 
আমরা জানি, অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ৯০°
∴ ∠ACB = ৯০°

ABC ত্রিভুজে,
∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = ১৮০° 
⇒ ৯০° + ৫০° +  ∠ABC = ১৮০° 
⇒ ১৪০° +  ∠ABC = ১৮০° 
∴  ∠ABC = ১৮০° - ১৪০°
= ৪০°

প্রশ্ন: p এর মান কত হলে 16x² - xp + 25 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
16x² - px + 25
= (4x)² - 2.4x.5 + 5² + 40x - px
= (4x - 5)² + 40x - px

40x - px = 0
⇒ x(40 - p) = 0
⇒ 40 - p = 0
∴ p = 40

অতএব, p এর মান 40 হলে 16x2 - xp + 25 একটি পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: ৬০ মিটার দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট একটি নলকে ৩ : ৭ : ১০ অনুপাতে টুকরো করা হয়েছে। বৃহত্তম টুকরো ও ক্ষুদ্রতম টুকরোটির পার্থক্য কত?

সমাধান:
টুকরোগুলি হল ৩ক, ৭ক, ১০ক

৩ক + ৭ক + ১০ক = ৬০
⇒ ২০ক = ৬০
∴ ক = ৩

বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম টুকরোটির মধ্যে পার্থক্য = ১০ক - ৩ক
= ৭ক
= ৭ × ৩
= ২১

প্রশ্ন: নিম্নের চিত্রে, AC ⊥ BD; CE, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CF, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। ∠ECF =?


সমাধান:

AC ⊥ BD
∠ACB = 90° ; ∠ACD = 90°

CE, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CF, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক।
∠ACE = 45°
 ∠ACF = 45°

∴ ∠ECF = 45° + 45°
= 90°

প্রশ্ন: নিচের কোনটি x² - y² - 2y - 1 এর উৎপাদক?

সমাধান:
x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1) (x - y - 1)

 প্রশ্ন: একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য হিসেব করার সময় ৪ % অতিরিক্ত হিসেব করা হয় । বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা কত বেশী হবে? 

সমাধান:
ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার।

ক্ষেত্রফল = ২৫^২ বর্গমিটার 
= ৬২৫ বর্গমিটার

৪% বেশীতে  বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = ২৫ + ২৫ এর ৪% মিটার
= ২৫ + ২৫ × ৪/১০০  মিটার 
= ২৫ + ১ মিটার
= ২৬ মিটার

 পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল = ২৬^২ বর্গমিটার
= ৬৭৬ বর্গমিটার


∴ বর্গের ক্ষেত্রফল শতকরা বেশী হবে = (৬৭৬-৬২৫)/৬২৫ × ১০০ %
= (৫১/৬২৫) × ১০০ %
= ৮.১৬ %

প্রশ্ন: ৪, ৬, ৫ এবং x এর গড় মান ৫.৫ হলে x এর মান কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
(৪ + ৬ + ৫ + x)/৪ = ৫.৫
⇒ (৪ + ৬ + ৫ + x) = ২২
⇒ ১৫ + x = ২২
∴ x = ২২ - ১৫
= ৭

প্রশ্ন: সামন্তরিকের ভূমি উচ্চতার দ্বিগুণ। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গমিটার হলে, এর ভূমির মান কত?

সমাধান:
ধরি, সামন্তরিকের উচ্চতা ক মিটার
ভূমি = ২ক মিটার

আমরা জানি, 
সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= ক × ২ক বর্গমিটার
= ২ক^২ বর্গমিটার

প্রশ্নমতে,
২ক^২ = ১২৮
⇒ ক^২ = ৬৪
∴ ক = ৮ মিটার

সামন্তরিকের উচ্চতা ৮ মিটার
ভূমি = ২ক
= ২ × ৮ মিটার
= ১৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার । এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?

সমাধান:
ঘনকের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের = ৬ × বাহু^২  
= ৬ × ৬^২
= ৬ × ৩৬ 
= ২১৬ বর্গমিটার

∴ঘনকের আয়তন = ৬^৩ ঘনমিটার
= ২১৬ ঘনমিটার

এর আয়তন এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের  = ২১৬/২১৬
= ১ গুণ

প্রশ্ন: ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট ৮ ঘণ্টার কত অংশ?

সমাধান:
১ ঘণ্টা ২০ মিনিট = ৬০ + ২০ মিনিট
= ৮০ মিনিট 

৮ ঘণ্টা = (৮ × ৬০) মিনিট
= ৪৮০ মিনিট

∴ ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট ৮ ঘণ্টার = ৮০/৪৮০ অংশ
= ১/৬ অংশ

প্রশ্ন: x + y = 6 হলে, 2xy এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান:
x = 1, y = 5 হলে,  2xy = 2 × 1 × 5  = 10
x = 2, y = 4 হলে,  2xy = 2 × 4 × 2  = 16
x = 3, y = 3 হলে,  2xy = 2 × 3 × 3  = 18
x = 4, y = 2 হলে,  2xy = 2 × 4 × 2  = 16
x = 5, y = 1 হলে,  2xy = 2 × 5 × 1  = 10

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে ৩০ জন ছাত্রের ৩২ দিনের খাদ্য আছে। কয়েকজন নতুন ছাত্র আসায় ১৫ দিনে ঐ খাদ্য শেষ হলে নতুন ছাত্রের সংখ্যা কত?

সমাধান:
মজুদ খাবার,
৩২ দিনে শেষ করতে পারে ৩০ জন
১ দিনে শেষ করতে পারে ৩০ × ৩২ জন
∴ ১৫ দিনে শেষ করতে পারে (৩০ × ৩২)/ ১৫
= ৬৪ জন 

∴ নতুন ছাত্রের সংখ্যা = ৬৪ - ৩০ জন
= ৩৪ জন

প্রশ্ন: বার্ষিক ৬% সুদে ৮০০ টাকার  ১০ বছরের যে সুদ হয়, বার্ষিক ৮% সুদে কত টাকার ৫ বছরের সুদ তত হবে?


সমাধান:
বার্ষিক ৬% সুদে ৮০০ টাকার  ১০ বছরের  সুদ = ৮০০ × ১০ × ৬/১০০
= ৪৮০ টাকা


ধরি, বার্ষিক ৮% সুদে ক  টাকার ৫ বছরের সুদ তত হবে।


৪৮০ = ক × ৫ × ৮/১০০
⇒ ক = ১২০০ টাকা

প্রশ্ন: x³ = 64 হলে, log₂x এর মান কত?

সমাধান: 
x³ = 64
⇒ x³ = 4³
∴ x = 4

log₂x 
= log₂4
= log₂2²
= 2log₂2
= 2 × 1
= 2

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি ঘন্টায় ৩ কিলোমিটার বেগে চলে কোন স্থানে গেল এবং ঘন্টায় ৪ কিলোমিটার বেগে চলে ফিরে আসল। যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?

সমাধান:
ধরি, স্থানটির দূরত্ব x
মোট দূরত্ব = ২x
মোট সময় = (x/৩) + (x/৪)
= ৭x/১২

∴ গড় দূরত্ব = ২x/(৭x/১২)
=  ২৪/৭ কি.মি./ঘণ্টা 

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৩৫ জন ছাত্র আছে। এর মধ্যে ১৮ জন ফুটবল খেলে, ১৪ জন ক্রিকেট খেলে এবং ৫ জন কিছুই খেলে না। কতজন উভয়টিই খেলে?

সমাধান:
যে কোন একটি বা উভয়টিই খেলে, n(F ∪ C) = ৩৫ - ৫ জন 
= ৩০ জন

ফুটবল খেলে, n(F) = ১৮ জন
ক্রিকেট খেলে, n(C) = ১৪ জন

n(F ∪ C) = n(F) + n(C) - n(F ∩ C)
⇒ n(F ∩ C) = n(F) + n(C) - n(F ∪ C)
= 18 + 14 - 30
= 32 - 30
= 2

∴ উভয়টিই খেলে = ২ জন

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৫ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে মিলিত হবে কত মিটার দূরে?

সমাধান:
দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৫ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে।

সমান্তরাল রেখা কখনো একে অন্যের সাথে মিলিত হয় না। অর্থাৎ, সর্বদাই তাদের মাঝে দূরত্ব ৫ মিটার বজায় থাকবে।

প্রশ্ন: দুইটি রাশির অনুপাত ৫ : ১১। পূর্বরাশি ৪৫ হলে, উত্তর রাশি কত?

সমাধান:
 দুইটি রাশির অনুপাত ৫ : ১১।
ধরি, রাশি দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ১১ক

প্রশ্নমতে,
৫ক = ৪৫
∴ ক = ৯

উত্তর রাশি = ৯ × ১১
= ৯৯

প্রশ্ন: ২ টা ২০ মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে পার্থক্য কত?

সমাধান:
প্রতি মিনিট ঘরের মান = ৩৬০°/৬০
= ৬°

২ টা ২০ মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে মিনিটের ঘর আছে ১০ টি

২০ মিনিটে মিনিটের কাঁটা অতিক্রম করে = ১০ × ৬°
= ৬০°

মিনিটের কাঁটা ৬০ ঘরে ঘণ্টার কাঁটা যায় ৫ ঘর
মিনিটের কাঁটা ২০ ঘরে ঘণ্টার কাঁটা যায় (৫ × ২০)/৬০ ঘর
= ৫/৩ ঘর

ঘণ্টার কাঁটা অতিক্রম করে = (৫/৩) × ৬°
= ১০° 

∴২ টা ২০ মিনিটে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে পার্থক্য = ৬০° - ১০°
= ৫০°

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৪০√২ মিটার। এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ক মিটার
কর্ণের দৈর্ঘ্য = ক√২ মিটার

ক√২ = ৪০√২
∴ ক = ৪০

বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার

∴বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ ×৪০ মিটার
= ১৬০ মিটার

প্রশ্ন: যদি (x - 4) (a + x) = x² - 16 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
 (x - 4) (a + x) = x² - 16
⇒ ax - 4a + x² - 4x = x² - 16
⇒ ax - 4a - 4x + 16 = 0
⇒ a (x - 4) - 4 (x - 4) = 0
⇒ (x - 4) (a - 4) = 0
∴ (x - 4) = 0,             
⇒ x = 4

a - 4 = 0
⇒ a = 4

প্রশ্ন: পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান গড় বয়স ২৩ বছর। ৩ বছর পর দুই পুত্রের গড় বয়স ১২ বছর হলে, পিতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান গড় বয়স ২৩ বছর।
পিতা ও দুই পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি = (২৩ × ৩)
= ৬৯ বছর

৩ বছর পর দুই পুত্রের গড় বয়স ১২ বছর
৩ বছর পর দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = ১২ × ২ বছর
= ২৪ বছর
বর্তমানে দুই পুত্রের বয়সের সমষ্টি = ২৪ - ৩ - ৩ বছর
= ১৮ বছর

∴ পিতার বর্তমান বয়স = ৬৯ - ১৮ বছর
= ৫১ বছর

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৪০% এর সাথে ৪৫ যোগ করলে যোগফল যদি ঐ সংখ্যাটিই হয়, তাহলে সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি ক

ক এর ৪০% + ৪৫ = ক
⇒ ০.৪ক + ৪৫ = ক
⇒ ক - ০.৪ক = ৪৫
⇒ ০.৬ক = ৪৫
⇒ ক = ৪৫/০.৬
∴ ক = ৭৫

সংখ্যাটি ৭৫
সংখ্যাটির দ্বিগুণ = (৭৫ × ২)
= ১৫০

প্রশ্ন: একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির বেঞ্চ সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা ক টি

একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ টি বেঞ্চ খালি থাকে।
ছাত্রসংখ্যা (ক - ৩) × ৪ জন

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে ছাত্র বসালে ৬ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়।
ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬ জন

(ক - ৩) × ৪ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ১২ = ৩ক + ৬
∴ ক = ১৮ 

বেঞ্চ আছে ১৮ টি।

প্রশ্ন: এক দোকানদার ১২.৫% ক্ষতিতে একটি দ্রব্য বিক্রি করেন। যে মূল্য দিয়ে তিনি দ্রব্যটি বিক্রি করলেন তার চাইতে ৩০ টাকা বেশি মূল্যে বিক্রি করলে ক্রয়মূল্যের উপর ২৫% লাভ হতো। দ্রব্যটির  বিক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
১২.৫% ক্ষতিতে 
বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১২.৫) টাকা = ৮৭.৫ টাকা

২৫% লাভে 
বিক্রয়মূল্য = ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা 

বিক্রয়মূল্য বেশি = (১২৫ - ৮৭.৫) টাকা = ৩৭.৫ টাকা 

বিক্রয়মূল্য ৩৭.৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা 
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৩৭.৫ টাকা 
বিক্রয়মূল্য ৩০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ৩০)/৩৭.৫ টাকা 
= ৮০ টাকা 

বিক্রয়মূল্য = ৮০ - ৮০ এর ১২.৫%
= ৮০ - ১০ টাকা
= ৭০ টাকা

প্রশ্ন: x³ - 1, x³ + 1, x⁴ + x² + 1 এর গ. সা. গু কত?

সমাধান:
x³ - 1 = (x - 1) (x² + x + 1)
x³ + 1 = (x + 1) (x² - x + 1)
x⁴ + x² + 1 = x⁴ + 2x² + 1 - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + x + 1) (x² - x + 1)

∴ x³ - 1, x³ + 1, x⁴ + x² + 1 এর গ. সা. গু = 1

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি ২ হলে, সংখ্যাটির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
x + (1/x) = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒  x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ (x - 1) = 0
∴ x = 1

সংখ্যাটির দ্বিগুণ = ২ × ১
= ২