Math Master

প্রশ্ন: ৪ : ৭ এবং ৫ : ৮ এর মিশ্র অনুপাত কোনটি?

সমাধান: 
মিশ্র অনুপাত: একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে। 
 
৪ : ৭ এবং ৫ : ৮  সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত হলো (৪ × ৫) : (৭ × ৮) = ২০ : ৫৬ = ৫ : ১৪

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের ১/৫ অংশ। সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যা দুইটি ক এবং খ 

প্রশ্নমতে,
ক - খ = (১/৫)(ক + খ)
বা, ৫ক - ৫খ = ক + খ
বা, ৫ক - ক = খ + ৫খ 
বা, ৪ক = ৬খ
বা, ক/খ = ৬/৪
বা, ক/খ = ৩/২
∴ ক : খ = ৩ : ২

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে ছোট?

সমাধান:
এখানে,
২৩/৩০ = ০.৭৬৬৭
১৯/২৬ = ০.৭৩১
১৩/১৫ = ০.৮৬৬৭
৫/৬ = ০.৮৩৩

∴ ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ১৯/২৬ সবচেয়ে ছোট।

প্রশ্ন: ১৬০০ টাকা ক ও খ ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। খ এর অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করে। মা কত টাকা পাবে?

সমাধান: 
ক : খ = ১ : ৪
অনুপাতের যোগফল = ১ + ৪ = ৫
∴ খ পায় = ১৬০০ এর (৪/৫) = ১২৮০ টাকা

খ : মা : মেয়ে = ২ : ১ : ১
অনুপাতের যোগফল = (২ + ১ + ১) = ৪

∴ মা পায় = ১২৮০ এর (১/৪) = ৩২০ টাকা

প্রশ্ন: কোনো সম্পত্তির ৭/৮ অংশের মূল্য ৯২১২ টাকা। ঐ সম্পত্তির ৩/৪ অংশের মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
সম্পত্তিটির ৭/৮ অংশের মূল্য ৯২১২ টাকা
∴ সম্পত্তিটির ১ অংশের মূল্য = (৯২১২ × ৮)/৭ টাকা
∴ সম্পত্তিটির ৩/৪ অংশের মূল্য = (৯২১২ × ৮ × ৩)/(৭ × ৪) টাকা
= ৭৮৯৬ টাকা।

প্রশ্ন: ক ও খ এর বেতনের অনুপাত ৭ : ৫। ক, খ অপেক্ষা ৪০০ টাকা বেশি বেতন পেলে, খ এর বেতন কত?

সমাধান: 
ধরি, 
খ এর বেতন x
∴ ক এর বেতন x + ৪০০

প্রশ্নমতে,
(x + ৪০০)/x = ৭/৫
⇒ ৫x + ২০০০ = ৭x
⇒ ৭x - ৫x = ২০০০
⇒ ২x = ২০০০
∴ x = ১০০০ 

∴ খ এর বেতন ১০০০ টাকা।

প্রশ্ন:  x : y = a : b, যদি x = 6 , y = 5 এবং a = 36 হয় তবে b = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x = 6
y = 5
a = 36
এবং
x/y = a/b
বা, 6/5 = 36/b
বা, 6b = 36 × 5
∴ b = 30

প্রশ্ন: রমিজের আয়ের ১/২ অংশ ৩৫০০ টাকা হলে তার আয়ের ১/৭ অংশ কত হবে?

সমাধান:
তার আয়ের ১/২ অংশ = ৩৫০০ টাকা
তার আয়ের ১/২ অংশ = (৩৫০০ × ২) টাকা
তার আয়ের ১/৭ অংশ = (৩৫০০ × ২)/৭টাকা
=  ১০০০ টাকা

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৪ অংশ কাঁদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ৩ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
কাঁদায়  ও পানিতে আছে = (১/৪) + (৩/৫) অংশ
= (৫ + ১২)/২০ অংশ
= ১৭/২০  অংশ

মনে করি, 
সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য = ১ অংশ 

∴ পানির উপরে আছে = ১ - (১৭/২০) অংশ
= (২০ - ১৭)/২০ অংশ
= ৩/২০ অংশ

প্রশ্নমতে,
৩/২০ অংশ = ৩ মিটার 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৩ × (২০/৩) মিটার 
= ২০ মিটার

প্রশ্ন: ১ ঘণ্টা ২০ মিনিট ৪ ঘণ্টার কত অংশ?

সমাধান:
১ ঘণ্টা ২০ মিনিট = ৮০ মিনিট।
৪ ঘণ্টা = ২৪০ মিনিট।

∴ ১ ঘন্টা ২০ মিনিট ৪ ঘন্টার ৮০/২৪০ = ১/৩ অংশ।

প্রশ্ন: জ্বালানি তেলে মূল্য ২৫% বৃ্দ্ধি পাওয়ায় বাসের টিকিটের মূল্য ও একই হারে বৃদ্ধি পেল। পুরানো ও নতুন বাস ভাড়ার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
পুরানো বাস ভাড়া = ১০০ টাকা
২৫% বৃ্দ্ধিতে,
নতুন বাস ভাড়া = ১২৫ টাকা

এখন,
 বাসের পুরানো ভাড়া : নতুন বাস ভাড়া = ১০০ : ১২৫
= ৪ : ৫

প্রশ্ন: দুুটি সংখ্যার যোগফল ৮। যদি সংখ্যাগুলো ৩ : ১ অনুপাত থাকে তবে সংখ্যাগুলোর গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি ৩ক এবং ক।

প্রশ্নমতে,
৩ক + ক = ৮
বা, ৪ক = ৮
বা, ক = ৮/৪
∴ ক = ২
এখন, 
৩ক = ৩ × ২ = ৬

∴ সংখ্যা দুইটির গুণফল = ৩ক × ক
= ৬ × ২
= ১২

প্রশ্ন: কোন অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 10 এবং বিয়োগফল 4 হলে, ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
অপ্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
অপ্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y

∴ অপ্রকৃত ভগ্নাংশটি = x/y ; (x>y)

১ম শর্তানুসারে,
x + y = 10 ................. (1)
২য় শর্তানুসারে,
x - y = 4 ....................... (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
2x = 14
বা, x = 14/2
∴ x = 7

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
7 + y = 10
বা, y = 10 - 7
∴ y = 3

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = 7/3

প্রশ্ন: ক : খ = ৪ : ৫ এবং খ : গ = ২ : ৩, ক = ৪০০ টাকা হলে গ এর টাকার পরিমাণ কত?

সমাধান:
ক : খ = ৪ : ৫ = (৪ × ২) : (৫ × ২) = ৮ : ১০
খ : গ = ২ : ৩ = (২ × ৫) : (৩ × ৫) = ১০ : ১৫

∴ ক : খ : গ = ৮ : ১০ : ১৫
ধরি,
ক, খ ও গ এর টাকার পরিমাণ যথাক্রমে ৮ক, ১০ক ও ১৫ক টাকা

প্রশ্নমতে,
৮ক = ৪০০
বা, ক = ৪০০/৮
∴ ক = ৫০

∴ গ এর টাকার পরিমাণ = (১৫ × ৫০) টাকা = ৭৫০ টাকা।

প্রশ্ন: জামালের বোনের বয়স জামালের বয়স ও তাঁর বাবার বয়সের মধ্য-সমানুপাতী। জামালের বাবার বয়স জামালের বয়সের ৪ গুণ। জামালের বাবার বয়স ৪৮ বছর হলে, বোনের বয়স কত?

সমাধান:
জামালের বাবার বয়স = গ = ৪৮ বছর 
জামালের বোনের বয়স = খ বছর 
জামালের বয়স = ক = ৪৮/৪ = ১২ বছর 

সমানুপাতীর সূত্রানুসারে,
ক : খ = খ : গ 
বা, ক/খ = খ /গ 
বা, খ^২ = ক × গ 
বা, খ = √(১২ × ৪৮) 
∴ খ = ২৪

∴ জামালের বোনের বয়স = ২৪ বছর