Math Master

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ১৫ এবং ল.সা.গু ৯০। একটি সংখ্যা ৩০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যাটি হলো x
আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩০x = ১৫ × ৯০
⇒ x = (১৫ × ৯০)/৩০
⇒ x = ৪৫
 
অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৪৫

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি প্রতি মাসে ৫৬০০ টাকা সঞ্চয় করে। তার মাসিক খরচ ও সঞ্চয়ের অনুপাত ৪ : ১। তার মাসিক আয় কত টাকা?

সমাধান:
মোট আয় = ৪ + ১ = ৫ অংশ
খরচ করে = ৪/৫ অংশ
তাহলে, সঞ্চয় করে = [১ - (৪/৫)] অংশ
= ১/৫ অংশ

প্রশ্নমতে, ১/৫ অংশ = ৫৬০০ টাকা
 ∴ ১ অংশ = (৫৬০০ × ৫) টাকা
 = ২৮,০০০ টাকা

∴ তার মাসিক আয় ২৮,০০০ টাকা।

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৩ টাকা হারে সরল সুদে ১৮০০ টাকা ২ বছরে সুদে-আসলে কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, P = ১৮০০ টাকা
সুদের হার, R = ৩% = ৩/১০০
সময়, N = ২ বছর

আমরা জানি,
সুদ, I = PNR
= (১৮০০ × ২ × ৩)/১০০ 
= ১৮ × ৬
= ১০৮

∴ সুদ-আসল = I + p = (১০৮ + ১৮০০) টাকা 
= ১৯০৮ টাকা

প্রশ্ন: x⁵ + (1/x⁵) = 2√5 হলে, {x⁵ - (1/x⁵)}² এর মান বের করুন।

সমাধান:
আমরা জানি, {x⁵ - (1/x⁵)}² = {x⁵ + (1/x⁵)}² - 4 × x⁵ × 1/x⁵
= (2√5)² - 4
= (4 × 5) - 4
= 20 - 4
= 16

 প্রশ্ন: যদি {(2x + 3)/5} ≥ 3 হয়, তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
{(2x + 3)/5} ≥ 3
 ⇒ 2x + 3 ≥ 15 
 ⇒ 2x ≥ 12 
∴ x ≥ 6

∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান = 6

প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ের অর্ধ-বার্ষিক পরীক্ষায় ৯০ জন ছাত্রের মধ্যে ৬০ জন ছাত্র ফেল করলে পাশের হার কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ছাত্র = ৯০ জন
ফেল করে = ৬০ জন
∴ পাশ করে = ৯০ - ৬০ = ৩০ জন 

এখন,
৯০ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = ৩০ জন
∴ ১ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = (৩০/৯০) জন
∴ ১০০ জন ছাত্রের মধ্যে পাশ করে = (৩০ × ১০০)/৯০ = (১০০/৩)%
 
 ∴ পাশের হার = (১০০/৩)%

প্রশ্ন:  √3i × i³ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:  
 i³ = i(i²)
= i (- 1)     [∵ i² = -1]
= -i           
 প্রদত্ত রাশি, √3i × i³ = √3i × (- i)
= √3 × (- i²)
= √3 × -(- 1) 
= √3 × 1
=√3

প্রশ্ন: 4^{log₄3 + log₄6} এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, log_bM + log_bN = log_b(M × N)

 অতএব, প্রদত্ত রাশি, 4^{log₄3 + log₄6}
= 4^{log₄(3 × 6)}
= 4^log₄18                         
= 18                      [ আমরা জানি, a^log_ax = x]
 
∴ নির্ণেয় মান 18

প্রশ্ন: জুয়েল 12 টি কমলা কিনতে বাজারে গিয়েছিল। কিন্তু সে দেখলো তার নিকট যে টাকা আছে তা দিয়ে 10 টি কমলা কিনতে পারবে। সে হিসাব করে দেখলো যদি প্রতিটি কমলার দাম 5 টাকা কম হত, তবে সে 12 টি কমলা কিনতে পারতো। জুয়েলের নিকট কত টাকা ছিল?

সমাধান:
মনে করি, জুয়েলের নিকট  ছিল x টাকা

প্রশ্নমতে, (x/10) - (x/12) = 5
⇒ (6x - 5x)/60 = 5 
⇒ x/60 = 5
⇒ x = 5 × 60
∴  x = 300

জুয়েলের নিকট 300 টাকা ছিল।

প্রশ্ন: tanθ = 1/3 হলে, cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
tanθ = 1/3 

আমরা জানি, tanθ = লম্ব/ভূমি
এখানে, লম্ব = 1 এবং ভূমি = 3 

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, (লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
(অতিভুজ)² = 1² + 3² 
⇒ (অতিভুজ)² = 1 + 9
⇒ (অতিভুজ)² = 10
⇒ অতিভুজ = √10

∴ cosθ = ভূমি/অতিভুজ = 3/√10

প্রশ্ন: একটি ধারার n তম পদ m^{(n + 2)}। যদি তৃতীয় পদ 243 হয়, তবে m এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
n তম পদ m^{(n + 2)}
3য় পদ = 243
n = 3 হলে,
m₃ ​= m^{(3 + 2)} = m⁵

প্রশ্নমতে, 
m⁵ = 243
⇒ m⁵  = 3⁵
⇒ m = 3
∴ m এর মান = 3 

প্রশ্ন: 9 টি বলের মধ্যে 7টি লাল ও 2টি সাদা। দুইটি সাদা বল পাশাপাশি না রেখে বলগুলোকে যত প্রকারে সারিতে সাজানো যায় তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
 এখানে মোট 9টি বলের মধ্যে 7টি লাল এবং 2টি সাদা বল আছে।
∴ নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 9!/(7! × 2!) 
= (9 × 8 × 7!)/(7! × 2 × 1)
= 9 × 4
=36

2টি সাদা বলকে একটি মনে করে মোট বল সংখ্যা (7+1) বা ৪টি।
৪টি বলের (যার মধ্যে 7টি লাল বল আছে) বিন্যাস সংখ্যা = 8!/7!
= (8 × 7!)/7!
= 8

∴ সাদা বল দুইটি পাশাপাশি না রেখে সাজানোর সংখ্যা = 36 - 8 
= 28 

প্রশ্ন: '?' চিহ্নিত স্থানে কোন সংখ্যাটি বসবে?



সমাধান: 
প্রতিটি কলামে নিচের সংখ্যা থেকে মাঝের সংখ্যার দ্বিগুণ বিয়োগ করলে ওপরের সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

∴ ১ম কলামে,
27 - (7× 2)
= 27 - 14
= 13
২য় কলামে,
144 - (45 × 2) 
= 144 - 90
= 54
এবং ৩য় কলামে,
68 - (32 × 2)
= 68 - 64
= 4

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 2/3, A ও B স্বাধীন হলে, P(A\B) নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/3 এবং  P(B) = 2/3

A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে, P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 
= (1/3) × (2/3)
= 2/9

∴ P(A\B) = P(A ∩ B)/P(B)
= (2/9)/(2/3)
= (2/9) × (3/2)
= 1/3

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 67° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = 180°
∴ একটি কোণ 67° হলে, উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ = (180 - 67)°
= 113°

প্রশ্ন: রবিন ৪ কিলোমিটার/ঘণ্টা বেগে হেঁটে শাহবাগ থেকে ২.৫ ঘণ্টায় মালিবাগ যায়। শাহবাগ থেকে মালিবাগের দূরত্ব কত?

সমাধান:
এখানে, গতিবেগ = ৪ কিলোমিটার/ঘণ্টা
এবং অতিবাহিত সময় = ২.৫ ঘণ্টা

আমরা জানি, 
দূরত্ব = বেগ × সময়
= ৪ × ২.৫ 
= ১০ কিলোমিটার

প্রশ্ন: sec(θ - 60°) = 2/√3 হলে, sinθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sec(θ - 60°) = 2/√3
⇒ sec(θ - 60°) = sec 30°
⇒ θ - 60° = 30°
⇒ θ = 30° + 60°
⇒ θ = 90°

∴ sinθ = sin 90° = 1

প্রশ্ন: একটি  বহুভুজের প্রত্যেকটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ 72° হলে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা কতটি? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ 72°
 
আমরা জানি,
বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = 360°/বহিঃস্থ কোণ 
= 360°/72° 
= 5 টি

প্রশ্ন: একটি ঘনকের প্রতিটি ধার p একক হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকটির প্রত্যেক ধার, a = p একক
আমরা জানি, ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√3 একক 
 = p√3 একক

প্রশ্ন: একটি এনালগ ঘড়ি প্রতিদিন ২০ মিনিট ধীরে চলে। পূর্বের সঠিক সময়ে ফিরে আসতে কত দিন সময় লাগবে?

সমাধান:
১২ ঘন্টা = (১২ × ৬০) মিনিট = ৭২০ মিনিট

ঘড়িটি ২০ মিনিট পিছিয়ে যায় ১ দিনে
ঘড়িটি ১ মিনিট পিছিয়ে যায় ১/২০ দিনে
ঘড়িটি ৭২০ মিনিট পিছিয়ে যায় {(১ × ৭২০)/২০} দিনে
= ৩৬ দিনে 

∴ পূর্বের সঠিক সময়ে ফিরে আসতে ঘড়িটির ৩৬ দিন সময় লাগবে।