Math Master

প্রশ্ন: 14 মিটার ব্যাসের বৃত্তাকার একটি বাগানের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাস, d = 2r = 14 মিটার 
বৃত্তাকার বাগানটির ব্যাসার্ধ, r = 14/2 মিটার 
= 7 মিটার 

আমরা জানি, 
বৃত্তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 
= 3.1416 × (7)² বর্গমিটার
= 3.1416 × 49 বর্গমিটার
= 153.9384 বর্গমিটার
= 154 বর্গমিটার (প্রায়) ।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গমিটার এবং সামান্তরিকের উচ্চতা ৮ মিটার হলে, সামান্তরিকের ভূমি কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ৭২ বর্গমিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৮ মিটার 
সামান্তরিকের ভূমি =? 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক 
বা, ৭২ = ভূমি × ৮ 
বা, ভূমি = ৭২/৮ 
∴ ভূমি = ৯ মিটার 

∴ সামান্তরিকের ভূমি = ৯ মিটার। 

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৩৬০০ বর্গমিটার হলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৩৬০০ বর্গমিটার 
∴ বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = √৩৬০০ মিটার
= ৬০ মিটার 

আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ × এক বাহুর দৈর্ঘ্য 
= (৬০ × ৪) মিটার 
= ২৪০ মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ২৪০ মিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য 30 মিটার, প্রস্থ 20 মিটার এবং পুকুরের সীমানার বাহিরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া রাস্তা রয়েছে। রাস্তাটি পাকা করতে প্রতি বর্গ মিটারে খরচ হয় 330 টাকা। রাস্তাটি পাকা করতে কত টাকা খরচ হবে? 

সমাধান: 

দেওয়া আছে, 
আয়তাকার পুকুরের দৈর্ঘ্য = 30 মিটার 
আয়তাকার পুকুরের প্রস্থ = 20 মিটার 
∴ আয়তাকার পুকুরের ক্ষেত্রফল = (30 × 20) বর্গমিটার
= 600 বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ পুকুরের দৈর্ঘ্য= (30 + 2 + 2) মিটার = 34 মিটার
রাস্তাসহ পুকুরের প্রস্থ (20 + 2 + 2) মিটার = 24 মিটার
∴ রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল= (34 × 24) বর্গমিটার
= 816 বর্গমিটার 

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = রাস্তাসহ পুকুরের ক্ষেত্রফল - পুকুরের ক্ষেত্রফল
= (816 - 600) বর্গমিটার
= 216 বর্গমিটার 

এখন, 
প্রতি বর্গমিটার রাস্তা পাকা করতে খরচ হয় = 330 টাকা
∴ রাস্তাটি পাকা করতে খরচ হবে = (216 × 330) টাকা
= 71280 টাকা ।

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ২৭০০০ ঘন সে.মি. হলে ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘনকের আয়তন = ২৭০০০ ঘন সে.মি. 

আমরা জানি, 
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে = ক√৩ সে.মি

মনে করি, 
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ক একক হলে এর
ঘনকের আয়তন = ক^৩ ঘন একক 

প্রশ্নমতে,
ক^৩ = ২৭০০০
বা, (ক)^৩ = (৩০)^৩
∴ ক = ৩০
সুতরাং, ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য = ৩০ সে.মি.

∴ ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে = ৩০√৩ সে.মি.। 

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 49 সে.মি. হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 49 সে.মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= (22/7) × 49 + 2 × 49
= 22 × 7 + 98
= 154 + 98
= 252 সে.মি.

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, 
ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × a^২
= (√৩/৪) × (২)^২
= (√৩/৪) × ৪
= √৩

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √৩ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 846 বর্গ সে.মি.। যদি ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত 5 : 4 : 3 হয়, তবে আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 5x সে.মি.
আয়তকার ঘনবস্তুর প্রস্থ, b = 4x সে.মি.
আয়তকার ঘনবস্তুর উচ্চতা, c = 3x সে.মি.

আমরা জানি, 
আয়তকার ঘনবস্তুর সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 2 (ab + bc + ca) বর্গ একক 

প্রশ্নমতে, 
2 (ab + bc + ca) = 846
⇒ 2(5x . 4x + 4x . 3x + 3x . 5x) = 846
⇒ 2(20x² + 12x² + 15x²) = 846
⇒ 47x² = 846/2
⇒ 47x² = 423
⇒ x² = 9
⇒ x² = 3²
∴ x = 3

এখন, 
আয়তকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, a = 5x সে.মি.
= (5 × 3) সে.মি.
= 15 সে.মি. ।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 8 মিটার এবং উহার দুটি বাহুর প্রতিটি 5 মিটার হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²} 

দেওয়া আছে, 
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 8 মিটার 
এবং দুটি বাহুর প্রতিটি, a = 5 মিটার 

∴ ক্ষেত্রফল = b/4 {√4(a)² - (b)²}
= 8/4 {√4(5)² - (8)²}
= 2 {√(100 - 64)}
= 2 √36
= 2 × 6
= 12

∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 12 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের দৈর্ঘ্য ১৬ ফুট এবং প্রস্থ ১০ ফুট। মেঝেটি ঢাকতে ৮ ফুট দীর্ঘ এবং ৫ ফুট প্রস্থ বিশিষ্ট কয়টি কার্পেট প্রয়োজন?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
কার্পেটের দৈর্ঘ্য = ৮ ফুট
 কার্পেটের প্রস্থ = ৫ ফুট
∴ কার্পেটের ক্ষেত্রফল = (৮ × ৫) বর্গফুট
= ৪০ বর্গফুট

আবার,
ঘরের দৈর্ঘ্য = ১৬ ফুট
ঘরের প্রস্থ = ১০ ফুট 
∴ ঘরের ক্ষেত্রফল = (১৬ × ১০) বর্গফুট
= ১৬০ বর্গফুট 

∴ কার্পেট সংখ্যা = ১৬০/৪০ টি 
= ৪ টি। 

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৬ মিটার এবং প্রস্থ ৩ মিটার, এর চারপাশে বেড়া দিতে প্রতি মিটারে ৪৫ টাকা খরচ হলে বাগানটি বেড়া দিতে মোট কত টাকা লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৬ মিটার
আয়তাকার বাগানের প্রস্থ = ৩ মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) মিটার
= ২ × (৬ + ৩) মিটার
= ২ × ৯ মিটার
= ১৮ মিটার

১ মিটারে খরচ হয় = ৪৫ টাকা
∴ ১৮ মিটারে খরচ হয় = (৪৫ × ১৮) টাকা
= ৮১০ টাকা। 

প্রশ্ন: গোলকের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র কোনটি?

সমাধান: 
• গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক  ।
• গোলকের আয়তন = (4/3) πr³ ঘন একক ।

• কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πr√(h² + r²) বর্গ একক । 
• কোণকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = πr(L + r) বর্গ একক । 
• কোণকের আয়তন = (1/3) × πr²h ঘন একক । 

• বেলনের ভূমির ক্ষেত্রফল = πr²  । 
• বেলনের সম্পূর্ণতলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)  । 
• বেলনের আয়তন = πr²h   ।

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ২৫ বর্গ সে.মি এবং ভূমি ৫ সে.মি হলে এর উচ্চতা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সামান্তরিকের ভূমি = ৫ সে.মি
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ২৫ বর্গ সে.মি 

আমরা জানি, 
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা 
বা, উচ্চতা = ক্ষেত্রফল/ভূমি 
বা, উচ্চতা = ২৫/৫ 
∴ উচ্চতা = ৫ সে.মি ।

প্রশ্ন: 12 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 12 মিটার 
বৃত্তকলা দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60° 

আমরা জানি, 
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল =  (θ/360) × πr² 

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr² বর্গ একক 
= (60°/360°) × π × (12)² 
= (1/6) × π × 144 
= 24π বর্গ মিটার।