প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: (x² + 2xy + y²)² এর প্রসারণে x⁴ এর সহগ কত হবে?

সমাধান:
(x² + 2xy + y²)²
= x⁴ + 4x²y² + y⁴ + 2.x².2xy + 2.2xy.y² + 2.y².x²
= x⁴ + 4x²y² + y⁴ + 4x³y + 4xy³ + 2x²y²

∴x⁴ এর সহগ 1

প্রশ্ন: (x + 2) ও (4x + 3) এর গুণফল নিচের কোনটি?

সমাধান: 
(x + 2)(4x - 3) = x(4x + 3) + 2(4x + 3)
= 4x² + 3x + 8x + 6
= 4x² + 11x + 6

প্রশ্ন: x² + 5x + 6 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² + 5x + 6
= x² + 3x + 2x + 6
= x(x + 3) + 2(x + 3)
= (x + 3)(x + 2)

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসলে ৬ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চের সংখ্যা = ক টি

প্রথম শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৬(ক - ২)
দ্বিতীয় শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫ক + ৬

এখন,
৬(ক - ২) = ৫ক + ৬
⇒ ৬ক - ১২ = ৫ক + ৬
⇒ ক = ১৮
∴ বেঞ্চের সংখ্যা ১৮ টি

প্রশ্ন:


সমাধান:
(a³ + b³)/(a + b)
= {(a + b)(a² - ab + b²)}/(a + b)
= (a² - ab + b²)

প্রশ্ন: যদি P = 5m - 2n + 7 এবং Q = 3m + 4n - 2, তবে P - Q কত হবে?

সমাধান:
P - Q = (5m - 2n + 7) - (3m + 4n - 2)
= 5m - 3m - 2n - 4n + 7 + 2
= 2m - 6n + 9

প্রশ্ন: x³ - x² - 10x - 8 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান: 
ধরি,
f(x) = x³ - x² - 10x - 8
∴ f( - 1) = ( - 1)³ - ( - 1)² - 10 ( - 1) - 8
= - 1 - 1 + 10 - 8
= 10 - 10
= 0
∴ ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

∴ প্রদত্ত রাশি = x³ - x² - 10x - 8
= x³ + x² - 2x² - 2x - 8x - 8
= x² (x + 1) - 2x (x + 1) - 8 (x +1)
= (x + 1) (x² - 2x - 8)
= (x + 1) (x² - 4x + 2x - 8)
= (x + 1) {x(x - 4) + 2(x - 4)}
= (x + 1) (x + 2) (x - 4)

প্রশ্ন: x - 6 = 7x - 54, x এর মান কত?

সমাধান:
x - 6 = 7x - 54
বা, x - 7x = 6 - 54
বা, - 6x = - 48
বা, x = - 48/- 6
∴ x = 8

প্রশ্ন: x³ + y³ + z³ - 3xyz এর মান কী হবে যদি x = y = z = 1 হয়?

সমাধান:
x³ + y³ + z³ - 3xyz
= 1³ + 1³ + 1³ - 3⋅1⋅1⋅1
= 1 + 1 + 1 - 3
= 3 - 3
= 0

প্রশ্ন: x² - 9 কে x + 3 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল হবে-

সমাধান:
(x² - 9)/(x + 3)
= (x² - 3²)/(x + 3)
= {(x + 3)(x - 3)}/(x + 3)
= x - 3

প্রশ্ন: 2pq - p² - q² + r² কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে পাওয়া যায়- 

সমাধান: 
2pq - p² - q² + r² 
= r² - (p² - 2pq + q²)
= r² - (p - q)²
= (r + p - q) (r - p + q)

প্রশ্ন: রাকিব 240 টাকায় একই রকম কতগুলো কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পরতো। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?

সমাধান:
ধরি,
রাকিব কলম কিনেছিল x টি
প্রতিটি কলমের মূল্য= 240/x টাকা

1 কলম বেশি পেলে কলমের সংখ্যা হত = x + 1 টি
তখন প্রতিটি কলমের মূল্য হত = 240/(x + 1)

শর্তানুসারে,
240/x - 240/(x + 1) = 1
⇒ 240x + 240 - 240x = x² + x
⇒ x² + x - 240 = 0

সমাধান করে পাই,
x= - 16,15
কিন্তু, x= - 16 গ্রহণযোগ্য নয়
x = 15

প্রশ্ন: (x² - 3xy + 2y²) + (4x² + xy - 5y²) এর সরলীকরণে y² এর সহগ কত হবে?

সমাধান:
(x² - 3xy + 2y²) + (4x² + xy - 5y²)
= (x² + 4x²) + (- 3xy + xy) + (2y² - 5y²)
= 5x² - 2xy - 3y²

∴ সরলীকরণে y² এর সহগ - 3

প্রশ্ন: x³a - a²x² এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x³a - a²x²
= x²a(x - a)
= ax²(x - a)

প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 5 ও 1 হলে, সমীকরণটি- 

সমাধান: 
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 5 ও 1 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপঃ
x² - (মুলদ্বয়ের যোগফল)x + মুলদ্বয়ের গুণফল = 0 
⇒ x² - (5 + 1)x + 5 × 1 = 0
⇒ x² - 6x + 5 = 0

প্রশ্ন: 6x² - 7x + 2 কে x - 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান: 
ভাগশেষ উপপাদ্যের অনুসারে,
F(1) = 6(1)² – 7.1 + 2
= 6 - 7 + 2
= 1
অতএব, নির্ণেয় ভাগশেষ 1

প্রশ্ন: 12x² - 38x + 20 এর উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান: 
12x² - 38x + 20
= 2(6x² - 19x + 10)
= 2(6x² - 15x - 4x + 10)
= 2{3x(2x - 5) - 2(2x - 5)}
= 2(2x - 5)(3x - 2)

∴ 12x² - 38x + 20 এর উৎপাদক গুলো হচ্ছে 2, 2x - 5, 3x - 2
∴ 2x - 3, 12x² - 38x + 20  এর উৎপাদক নয়।

প্রশ্ন: x - y = 0 এবং x + 2y = 3 হলে, (x, y) = কত?

সমাধান: 
x - y = 0
∴ x = y

আবার,
x + 2y = 3
⇒ x + 2x = 3
⇒ x = 1

∴ (x, y) = (1, 1)

প্রশ্ন: (x + y + z)³ এর প্রসারণে নিচের কোনটি অন্তর্ভুক্ত থাকবে না?

সমাধান:
(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3x²z + 3y²x + 3y²z + 3z²x + 3z²y + 6xyz

∴ (x + y + z)³ এর প্রসারণে x² + y² + z² থাকবে না।

প্রশ্ন: (3x + 5)(2x - 7) এর প্রসারণে ধ্রুবক মান কত হবে?

সমাধান:
(3x + 5)(2x - 7)
= 3x⋅2x + 3x⋅(- 7) + 5⋅2x + 5⋅(- 7)
= 6x² - 21x + 10x - 35
= 6x² - 11x - 35

∴ ধ্রুবক মান - 35

প্রশ্ন: 2a - 32a³ এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
2a - 32a³
= 2a(1 - 16a²)
= 2a{1² - (4a)²}
= 2a(1 + 4a)(1 - 4a)

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা 47। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু 30 টাকা। মোট ভাড়া প্রাপ্তি 1680 টাকা হলে কেবিনের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান: 
ধরি, ডেকের যাত্রী ক জন
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৪৭ - ক জন 

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ৩০ × ২ টাকা 
= ৬০ টাকা  

প্রশ্নমতে, 
৩০ক + ৬০ (৪৭ - ক) = ১৬৮০ টাকা 
⇒ ৩০ক + ২৮২০ - ৬০ক = ১৬৮০ 
⇒ ২৮২০ - ৩০ক = ১৬৮০ 
⇒ ৩০ক = ২৮২০ - ১৬৮০ 
⇒ ৩০ক = ১১৪০
∴ ক = ৩৮ 

কেবিনের যাত্রী সংখ্যা = ৪৭ - ৩৮ = ৯ জন

প্রশ্ন: x + y = 15, x - y = 1 হলে, 4xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + y = 15
x - y = 1

আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
= 15² - 1²
= 225 - 1
= 224