১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৫০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি কত?

সমাধান:
২০ থেকে ৫০ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যাসমূহ = ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭

এদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ২৩
এদের মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৪৭ 

∴ এদের সমষ্টি = ৪৭ + ২৩
= ৭০

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৪, ৬, ৮ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ১ হবে? 

সমাধান: 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ৪, ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু অপেক্ষায় ১ বেশি।

এখন,
৪, ৬ ও ৮ এর ল.সা.গু. = ২৪ 
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে = (২৪ + ১) 
= ২৫

প্রশ্ন: দুইটি রাশির অনুপাত ৭ : ৫। যদি উত্তর রাশি ২০ হয়, তবে পূর্বরাশি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি রাশির অনুপাত = ৭ : ৫

ধরি,
পূর্বরাশি = ৭ক
উত্তর রাশি = ৫ক

প্রশ্নমতে,
৫ক = ২০
∴ ক = ২০/৫ = ৪

∴ পূর্বরাশি = ৭ × ৪ = ২৮

প্রশ্ন: ০, ৪, ৫, ১, ৭ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
০, ৪, ৫, ১ ও ৭ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫৪১০
০, ৪, ৫, ১ ও ৭ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০৪৫৭ 

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য = (৭৫৪১০ - ১০৪৫৭) 
= ৬৪৯৫৩

প্রশ্ন: ১২টি বই ও ১৬টি খাতা সমানসংখ্যক করে প্যাকেটে রাখতে হলে সর্বাধিক কতটি প্যাকেট বানানো যাবে?

সমাধান: 
নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা হবে ১২ ও ১৬ এর গ.সা.গুর সমান

এখন,
১২ ও ১৬ এর গ.সা.গু = ৪ 

∴ নির্ণেয় প্যাকেটের সংখ্যা = ৪ টি

প্রশ্ন: একটি ক্রমিক সমানুপাতের ১ম ও ৩য় রাশি যথাক্রমে ৯ ও ২৫ হলে, এর মধ্য সমানুপাতী কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১ম রাশি = ৯ 
৩য় রাশি = ২৫ 

আমরা জানি, 
(মধ্য রাশি)^২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি 
⇒ (মধ্য রাশি)^২ = ৯ × ২৫
⇒ মধ্য রাশি = √২২৫
∴ মধ্য রাশি = ১৫

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়? 

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা: ১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। 
অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি। 

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি। 
যথা - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭। 

∴ ৫৭ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা নয়।

প্রশ্ন: ২০, ২৪, ২৮ এবং ৩০ এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
২০ = ২ × ২ × ৫
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
২৮ = ২ × ২ × ৭
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ২০, ২৪, ২৮ এবং ৩০ এর ল.সা.গু = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭
= ৮৪০

প্রশ্ন: ৯ : ২৫ এর ব্যস্তানুপাত কত?

সমাধান: 
ব্যস্তানুপাত মানে বিপরীত অনুপাত।
∴ ৯ : ২৫ এর ব্যস্তানুপাত বা বিপরীত অনুপাত হবে = ২৫ : ৯

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের অর্ধেকের সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ৮ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে, 
√ক/২ + ৫ = ৮ 
⇒ (√ক + ১০)/২ = ৮ 
⇒ √ক + ১০ = ১৬
⇒ √ক = ১৬ - ১০
⇒ √ক = ৬
⇒ (√ক)^২ = (৬)^২ 
∴ ক = ৩৬

∴ সংখ্যাটি হবে ৩৬

প্রশ্ন: চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ৬, ১০, ১২ ও ১৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
৬, ১০, ১২ ও ১৫ এর ল.সা.গু = ৬০
চার অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০

এখন,
১০০০ ÷ ৬০ = ভাগফল ১৬, ভাগশেষ ৪০

এখানে,
ভাজ্য = ১০০০
ভাজক = ৬০
ভাগফল = ১৬
ভাগশেষ = ৪০

অতএব, নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৬০ - ৪০ = ২০

প্রশ্ন: ২৫ : ১৬ এর দ্বিভাজিত অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
২৫ : ১৬ এর দ্বিভাজিত অনুপাত = √২৫ : √১৬
= ৫ : ৪

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৫ হলে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
ক্রমিক সংখ্যা দুইটি = ক এবং (ক + ১) 

প্রশ্নমতে, 
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৩৫ 
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৩৫ 
⇒ ২ক = ৩৫ - ১ 
⇒ ২ক = ৩৪ 
∴ ক = ১৭ 

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১৭

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৩৬, ৫১ ও ৬৬ কে ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২ ও ৩ ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান:
এখানে,
৩৬ - ১ = ৩৫
৫১ - ২ = ৪৯
৬৬ - ৩ = ৬৩
∴ ৩৫, ৪৯ ও ৬৩ এর গ.সা.গু'ই হবে নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা।

∴ ৩৫, ৪৯ ও ৬৩ এর গ.সা.গু = ৭

অতএব, নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ৭

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত ১৩ : ৫। পুত্রের বর্তমান বয়স ১৫ বছর হলে, পিতার বর্তমান বয়স কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের অনুপাত = ১৩ : ৫

ধরি, 
পিতার বর্তমান বয়স = ১৩ক 
পুত্রের বর্তমান বয়স = ৫ক

প্রশ্নমতে, 
৫ক = ১৫ 
⇒ ক = ১৫/৫ 
∴ ক = ৩ 

∴ পিতার বর্তমান বয়স = (১৩ × ৩) বছর 
= ৩৯ বছর

প্রশ্ন: ১০৮ কে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
১০৮ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩
= ( ২ × ২) × (৩ × ৩) × ৩
এখানে, ৩ জোড়া বিহীন

∴ ৩ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্ণসংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার ২২০%। ছোট সংখ্যা ও বড় সংখ্যার অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
∴ বড় সংখ্যাটি = ক এর (২২০/১০০)
= ১১ক/৫

∴ ছোট সংখ্যা ও বড় সংখ্যার অনুপাত = ক : (১১ক/৫)
= ১ : (১১/৫)
= ৫ : ১১

প্রশ্ন: ২৪ এর ০.৫ ÷ ০.২৫ = কত?

সমাধান:
২৪ এর ০.৫ ÷ ০.২৫
= ২৪ এর (৫/১০) ÷ ২৫/১০০
= ১২ ÷ ২৫/১০০
= ১২ × (১০০/২৫)
= ১২ × ৪
= ৪৮

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ২৪০ এবং ল.সা.গু ৬০ হলে গ.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = দুইটি সংখ্যার গুণফল/ল.সা.গু 
⇒ গ.সা.গু = ২৪০/৬০
∴ গ.সা.গু = ৪

∴ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু = ৪

প্রশ্ন: ৫ : ৯ এবং ৩ : ৮ এর মিশ্র অনুপাত কোনটি? 

সমাধান: 
মিশ্র অনুপাত: একাধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে মিশ্র অনুপাত বলে।

∴ ৫ : ৯ এবং ৩ : ৮ সরল অনুপাতগুলোর মিশ্র অনুপাত = (৫ × ৩) : (৯ × ৮)
= ১৫ : ৭২
= ৫ : ২৪

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ২৫০ থেকে যত বেশি ৮১০ থেকে তত কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = ক 

প্রশ্নমতে, 
ক - ২৫০ = ৮১০ - ক 
⇒ ক + ক = ৮১০ + ২৫০ 
⇒ ২ক = ১০৬০
⇒ ক = ১০৬০/২ 
∴ ক = ৫৩০

∴ সংখ্যাটি = ৫৩০

প্রশ্ন: ক : খ = ৫ : ৭ এবং খ : গ = ৩ : ৫ হলে ক : খ : গ = কত?

সমাধান:
ক : খ = ৫ : ৭
⇒ ক : খ = (৫ : ৭) × ৩= ১৫ : ২১

খ : গ = ৩ : ৫
⇒ খ : গ = (৩ : ৫) × ৭ = ২১ : ৩৫

∴ ক : খ : গ = ১৫ : ২১ : ৩৫

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য?

সমাধান:
আমরা জানি,
যে সংখ্যার অংকগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য সে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

অপশন,
(ক) ৩৫৫ = ৩ + ৫ + ৫ = ১৩ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
(খ) ২৭৯ = ২ + ৭ + ৯ = ১৮ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
(গ) ৩১৪ = ৩ + ১ + ৪ = ৮ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
(ঘ) ২৭১ = ২ + ৭ + ১ = ১০ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।