নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: ঢাকা সিটি কলেজ থেকে শাহবাগ পর্যন্ত ২টি ভিন্ন রাস্তা আছে। শাহবাগ থেকে মালিবাগ পর্যন্ত ৩টি ভিন্ন রাস্তা আছে। মালিবাগ থেকে বনানী পর্যন্ত ৪টি ভিন্ন রাস্তা আছে। ঢাকা সিটি কলেজ থেকে বনানী পর্যন্ত মোট কতটি ভিন্ন পথ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ঢাকা সিটি কলেজ থেকে শাহবাগ পর্যন্ত রাস্তা = ২টি
শাহবাগ থেকে মালিবাগ পর্যন্ত রাস্তা = ৩টি
মালিবাগ থেকে বনানী পর্যন্ত রাস্তা = ৪টি
 
∴ মোট ভিন্ন পথের সংখ্যা = ২ × ৩ × ৪ = ২৪ টি 
সুতরাং, ২৪টি ভিন্ন পথ আছে।

প্রশ্ন: ৫২ টি তাসের প্যাকেট হতে নিরপেক্ষভাবে একটি তাস টেনে নিলে সেটি টেক্কা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৫২ টি তাসের প্যাকেটে টেক্কার সংখ্যা = ৪ টি 

টেক্কা নয় এমন তাসের সংখ্যা = ৫২ - ৪ = ৪৮ টি 

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = ৪৮/৫২ 
= ১২/১৩ 

প্রশ্ন: যদি ⁿC₁₂ = ⁿC₈ হয়, তবে ²²C_n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ⁿC₁₂ = ⁿC₈
⇒ ⁿC_{n - 12} = ⁿC₈ 
⇒ n - 12 = 8 
∴ n = 12 + 8 = 20 

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি, 
= ²²C_n
= ²²C₂₀  ; [n = 20]
= 22!/(20! × 2!)
= (22 × 21 × 20!)/(20! × 2)
= 11 × 21 
= 231

প্রশ্ন: ২০২১ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে কোনো শহরে ১৯ দিন বৃষ্টিপাত হয়েছে। ৪ ফেব্রুয়ারি বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২০২৫ সাল অধিবর্ষ না হওয়ায় ফেব্রুয়ারী মাস = ২৮ দিন 

বৃষ্টিপাত হয়েছে = ১৯ দিন
∴ বৃষ্টিপাত হয়নি = ২৮ - ১৯ = ৯ দিন

∴ ৪ ফেব্রুয়ারী বৃষ্টিপাত না হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/২৮ 

প্রশ্ন: 6টি বইয়ের মধ্যে 3টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
3টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (6 - 3) + 1 = 4টি
4টি বই সাজানোর মোট উপায় = 4!

বিশেষ বই 3টি সাজানোর মোট উপায় = 3!

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 4! × 3!
= 24 × 6
= 144

প্রশ্ন: 4, 3, 2, 14, 8, 1, 11, 5, 9, 18, 7, 6, 8, 12, 17, 19, 16, 8, 13, 15  উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
প্রথমে উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
 
এখানে উপাত্তগুলোর মধ্যে 8 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার রয়েছে।

∴ প্রচুরক হলো 8 

প্রশ্ন: ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে দৈবভাবে একটি সংখ্যা নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ৪৪০ টি 

১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত পূর্ণবর্গ সংখ্যা = অনুকূল ঘটনা,
=  ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০, ১২১, ১৪৪, ১৬৯, ১৯০, ২২৩, ২৫৬, ২৮৯, ৩২৪, ৩৭১, ৪০০ অর্থাৎ ২০ টি 

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = ২০/৪৪০ 
= ১/২২ 

প্রশ্ন: 16 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়। 

তাহলে,
16 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা,
= ¹⁶C₃
= 16!/{3! × (16 - 3)!}
=16!/(3! × 13!)
= (16 × 15 × 14 × 13!)/(3! × 13!)
= (16 × 15 × 14)/(3 × 2)
= 16 × 5 × 7
= 560

প্রশ্ন: Z = {x ∈ N : x ≤ 4} হলে, P(Z) = ?

সমাধান:
x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 এর সমান বা ছোট।
Z = {1, 2, 3, 4}
∴ Z সেটে উপাদান সংখ্যা = 4

একটি সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, তার শক্তি সেটে থাকবে 2ⁿ টি উপসেট।
∴ P(Z) = 2⁴ = 16

প্রশ্ন: ৩০ এবং ৫০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

সমাধান:
৩০, ৫০ এর গড় = (৩০ + ৫০)/২
= ৪০

∴ গড় ব্যবধান = {।৩০ - ৪০। + ।৫০ - ৪০।}/২
= (১০ + ১০)/২
= ২০/২
= ১০

প্রশ্ন: একটি স্কুলের মাসিক সভা শেষে উপস্থিত ম্যানেজিং কমিটির সদস্যবৃন্দ প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। সদস্যের সংখ্যা 16 হলে, করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকজনের সংখ্যা, n = 16

∴ করমর্দনের = ⁿC₂ = ¹⁶C₂
= 16!/{2!(16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= 120

প্রশ্ন: P(X) = 2/5 এবং P(Y) = 4/7; X ও Y দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে P(Y/X) = কত? 

সমাধান: 
X ও Y স্বাধীন ঘটনা, 
∴ P(X ∩ Y) = P(X) × P(Y) 
= (2/5) × (4/7) 
= 8/35 

∴ P(Y/X) = P(X ∩ Y)/P(X) 
= (8/35)/(2/5) 
= 4/7

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
2 এর গুণিতক নমুনা = {2, 4, 6} 

​∴ 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 3/6
= 1/2

প্রশ্ন:  এক ব্যক্তির ৬ জন বন্ধু আছেন। তিনি তার জন্মদিনে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে নিমন্ত্রণ করতে পারেন?

সমাধান:
প্রতিটি বন্ধুর জন্য নিমন্ত্রনের উপায় = ২ টি ( নিমন্ত্রন করা কিংবা না করা)

৬ জন বন্ধুর জন্য মোট উপায় সংখ্যা = ২^৬ - ১
= ৬৪ - ১ = ৬৩ (কাউকে না কাউকে নিমন্ত্রন করবেনই)

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা সংখ্যা কয়টি?
​
​​সমাধান:
​একটি মুদ্রা ফলাফল ২টি (H বা T)

একটি ছক্কা ফলাফল ৬টি (1, 2, 3, 4, 5, 6)
​
∴ ​মোট ঘটনা সংখ্যা = মুদ্রা × ছক্কা = 2 × 6 = 12

প্রশ্ন: ১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো,
​ ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০, ২৪, ২৮, ৩২, ৩৬, ৪০, ৪৪, ৪৮, ৫২, ৫৬, ৬০

এখানে
n = ১৫, যা একটি বিজোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ
= (১৫ + ১)/২ তম পদ
= ৮ তম পদ
= ৩২

প্রশ্ন: Q সেটের প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা 127 হলে, Q সেটের উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
উপাদানের সংখ্যা n হলে প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2n - 1

প্রশ্নমতে,
2ⁿ -1 = 127
⇒ 2ⁿ = 127 + 1
⇒ 2ⁿ = 128
⇒ 2ⁿ = 27
∴ n = 7

∴ Q সেটের উপাদান সংখ্যা = 7

উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যে কোনো সেটের উপসেট।

প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেট গুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে।

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৫ সালে জুন মাসের ২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে ৩ দিন। ঐ সপ্তাহে বজ্রপাত না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
২য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিন
২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়েছে = ৩ দিন

∴ ২য় সপ্তাহে বজ্রপাত হয়নি = (৭ - ৩) = ৪ দিন 
∴ বজ্রপাত না হবার সম্ভাবনা = ৪/৭ দিন । 

প্রশ্ন: 13 টি পুস্তক থেকে 7 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে? 
 
সমাধান: 
13 টি পুস্তক হতে সর্বদা দুইটি অন্তর্ভুক্ত রেখে 7 টি বাছাই করা যায় =  ^{(13 - 2)}C_{(7 - 2)} 
= ¹¹C₅ 
=  462

প্রশ্ন: যদি A = {x : x হলো স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 20 এর গুণনীয়ক} এবং B = {x : x হলো 7 এর চেয়ে ছোট স্বাভাবিক সংখ্যা} হয়, তাহলে A ∩ B নিচের কোনটি?

সমাধান:
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

∴ A ∩ B = {1, 2, 4, 5, 10, 20} ∩ {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
= {1, 2, 4, 5}

প্রশ্ন: A ও B যথাক্রমে 36 ও 45 এর গুণনীয়ক সেট হলে, (A ∩ B) এর মান কত?
 

সমাধান:
36 এর গুণনীয়ক = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
45 এর গুণনীয়ক = 1, 3, 5, 9, 15, 45
A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
B = {1, 3, 5, 9, 15, 45}

∴ A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} ∩ {1, 3, 5, 9, 15, 45} 
= {1, 3, 9}

প্রশ্ন: 3 টি পোস্ট বাক্সে 5 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 3 টি
চিঠির সংখ্যা r = 5 টি

∴ চিঠি ফেলা যায় = n^r
 = 3⁵
 = 243 টি উপায়ে

প্রশ্ন: ​​৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে একটি তাস নেয়া হলো। তাসটি হরতন বা রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

​সমাধান:
​মোট তাস = ৫২
​হরতন আছে = ১৩ টি
​রুইতন আছে = ১৩ টি
​
∴ হরতন বা ​রুইতন = ১৩ + ১৩ = ২৬টি 
​
​P(হরতন বা ​রুইতন) = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
​= ২৬/৫২
​= ১/২

প্রশ্ন: একটি হল রুমের ৫ টি দরজা রয়েছে। এক ব্যক্তি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন? 
 
সমাধান: 
যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হতে পারবে না। 
অর্থাৎ, ঢুকার সময় দরজা সংখ্যা ৫ টি এবং বের হওয়ার সময় দরজা সংখ্যা ৪ টি
∴ উপায় সংখ্যা = ৫ × ৪ 
= ২০ 

প্রশ্ন: প্রথম সাতটি স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিতি ব্যবধান কত?

সমাধান:
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান
= √{(n² - 1)/12}
= √{(7² - 1)/12}
= √{(49 - 1)/12}
= √(48/12)
= √4
= 2

প্রশ্ন: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, P = {a, b, c, d, e}, Q = {b, d, f, h} হলে, P´ ∩ Q´ হবে?

সমাধান:
P´ = U - P
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {a, b, c, d, e}
= {f, g, h}

Q´ = U - Q
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {b, d, f, h}
= {a, c, e, g}

∴ P´ ∩ Q´ = {f, g, h} ∩ {a, c, e, g}
= {g}

প্রশ্ন: একটি গাড়িতে 2টি সামনের ও 3টি পেছনের সিট আছে। 5 জন যাত্রী মোট কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট যাত্রী = 5 জন
সামনের সিট = 2টি
পেছনের সিট = 3টি

∴ 5 জন থেকে 2 জন বেছে নেওয়ার উপায় = ⁵P₂
 = 5!/(5 - 2)!
= (5 × 4 × 3!)/3!
= 20

বাকি 3 জনকে পেছনের 3 সিটে বসানোর উপায় = 3! = 6

∴ মোট বসানোর উপায় = 20 × 6 = 120

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৫টি আপেল, ৪টি কলা এবং ৩টি কমলা আছে। দৈবভাবে একটি ফল বাছাই করলে সেটি আপেল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আপেল = ৫টি
কলা = ৪টি
কমলা = ৩টি

∴ মোট ফল = ৫ + ৪ + ৩ = ১২টি

ফলটি আপেল হওয়ার সম্ভাবনা
= (আপেলের সংখ্যা)/(মোট ফলের সংখ্যা)
= ৫/১২

∴ ফলটি আপেল না হওয়ার সম্ভাবনা
= ১ - (ফলটি আপেল হওয়ার সম্ভাবনা)
= ১ - (৫/১২)
= (১২ - ৫)/১২
= ৭/১২

প্রশ্ন: ইংরেজি বর্ণমালা থেকে যেমন খুশি টেনে একটি স্বরবর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ইংরেজি বর্ণমালায় বর্ণ সংখ্যা = 26 টি
ইংরেজি বর্ণমালায় স্বরবর্ণের সংখ্যা = 5 টি

∴ একটি স্বরবর্ণ পাওয়ার সম্ভাবনা = 5/26

∴ একটি স্বরবর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (5/26)
= (26 - 5)/26
= 21/26

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ রোল পর্যন্ত ছাত্র-ছাত্রীর মধ্য থেকে দৈবভাবে ২ জন ছাত্র নির্বাচন করলে, ২ জনের রোল নম্বর জোড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত জোড় সংখ্যা = ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪ = ৭ টি

∴ প্রথম ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৭/১৫
∴ দ্বিতীয় ছাত্রের রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/১৪

∴ ২ জনেরই রোল জোড় হওয়ার সম্ভাবনা = (৭/১৫) × (৬/১৪)
= ১/৫

প্রশ্ন: 'STATISTICS' শব্দটির বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'STATISTICS' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 10টি
যার মধ্যে S আছে 3টি, T আছে 3টি এবং I আছে 2টি করে এবং বাকিগুলো ভিন্ন।

∴ মোট সাজানোর উপায় = 10!/(3! × 3! × 2!)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(6 × 6 × 2)
= 50400

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে ১২ এর গুণনীয়ক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা নিক্ষেপ মোট নমুনা বিন্দু = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬} = মোট ৬ টি
১২ এর গুণনীয়ক = {১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২}
১২ এর গুণনীয়ক যা ছক্কায় বিদ্যমান = {১, ২, ৩, ৪, ৬} = ৫ টি  [ছক্কায় সর্বোচ্চ সংখ্যা ৬, তাই ১২ বাদ যাবে]

∴ সম্ভাবনা = ৫/৬

প্রশ্ন: যদি E = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 90} হয় তবে P(E) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
E = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 90}
3 ও 5 এর লসাগু = 15

90 অপেক্ষা ছোট 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: 15, 30, 45, 60, 75 = 5 টি
∴ P(E) এর সদস্য সংখ্যা = 25
 = 32 টি

প্রশ্ন: 6 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
6 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (6 - 1)!
= 5!
= 120 উপায়ে

প্রশ্ন: একজন লোকের চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৪/৭ এবং ঢাকা থেকে খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ২/৫। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৪/৭
চট্টগ্রাম হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৪/৭) = ৩/৭

ঢাকা থেকে খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা = ২/৫

∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং খুলনা ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা = (৩/৭) × (২/৫)
= ৬/৩৫

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ৭৫% ছাত্র নিয়মিত হোমওয়ার্ক করে এবং যেসব ছাত্র নিয়মিত হোমওয়ার্ক করে তাদের মধ্যে ৮০% ছাত্র পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়। তাহলে দৈবভাবে নির্বাচিত একজন ছাত্র পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ধরি, 
মোট ছাত্র = ১০০ জন
নিয়মিত হোমওয়ার্ক করে এমন ছাত্র = ৭৫% = ৭৫ জন
তাদের মধ্যে ৮০% উত্তীর্ণ হয় অর্থাৎ = (৮০/১০০) × ৭৫ = ৬০ জন

সুতরাং, উত্তীর্ণ ছাত্র = ৬০ জন

∴ একজন দৈবচয়নে নেওয়া ছাত্র উত্তীর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা = ৬০/১০০ = ৩/৫ = ০.৬

প্রশ্ন: যদি ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120

আমরা জানি,
ⁿP_r​ = ⁿC_r​ × r!
⇒ 720 = 120 × r!
​⇒ r! = 720/120
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3

প্রশ্ন: প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক কত? 

সমাধান: 
প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯

এখানে
n  = ১০, যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = [(১০/২) তম পদ + {(১০/২) + ১} তম পদ]/২
= (৫ম পদ + ৬ তম পদ)/২
= (৯ + ১১)/২
= ১০

∴ প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক = ১০

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৫২% ছাত্র বিজ্ঞানে এবং ৪০% ছাত্র অঙ্কে ফেল করে। যদি উভয় বিষয়ে ২৭% ফেল করে তবে শতকরা কত জন ছাত্র পাস করে? 

সমাধান: 
ধরা যাক, মোট ছাত্র সংখ্যা = ১০০ (শতকরা হিসেবে)
বিজ্ঞানে ফেল = ৫২
অঙ্কে ফেল = ৪০
উভয় ক্ষেত্রে ফেল = ২৭

ফেল করা ছাত্রের সংখ্যা (বিজ্ঞানে বা অঙ্কে):
n (বিজ্ঞানে ফেল ∪ অঙ্কে ফেল) = n (বিজ্ঞানে ফেল) + n (অঙ্কে ফেল) - n (উভয় ফেল)
⇒  n (বিজ্ঞানে ফেল ∪ অঙ্কে ফেল) = ৫২ + ৪০ - ২৭ = ৬৫ 

অর্থাৎ, ৬৫% ছাত্র অন্তত একটি বিষয়ে ফেল করেছে।

পাস করা ছাত্রের শতকরা অংশ = ১০০ − ৬৫ = ৩৫%

সুতরাং, ৩৫% ছাত্র পাস করেছে।

প্রশ্ন: 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? 

সমাধান-
'RAJSHAHI' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি এবং H আছে  2 টি।
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8! / (2! × 2!) = 40320/4 = 10080

'BARISAL' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি। 
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7! / 2! = 5040/2 = 2520

এখন,
RAJSHAHI / BARISAL = 10080/2520
⇒ RAJSHAHI / BARISAL = 4
⇒ RAJSHAHI = 4 × BARISAL

অর্থাৎ 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার - চারগুণ।

প্রশ্ন: যদি P(y) = 1 হয়, তাহলে y ঘটনাটি হলো- 

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = ঘটনাটির অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল

∴ কোনো ঘটনা ঘটার সর্বোচ্চ মান ১ এবং সর্বনিম্ন মান ০

অর্থাৎ কোনো ঘটনা যখন অবশ্যই ঘটবে তার মান ১
এবং যখন অবশ্যই ঘটবেনা অর্থাৎ অসম্ভব ঘটনা তার মান ০

প্রশ্ন: A= {x ∈ IN | 5 < x ≤ 10} এবং B={x ∈ IN | x জোড় এবং x < 12} হলে, A ∩ B = কত?

সমাধান:
⇒ A = {x ∈ IN | 5 < x ≤ 10} = {6, 7, 8, 9, 10}
⇒ B = {x ∈ IN | x জোড় এবং x < 12} = {2, 4, 6, 8, 10}

∴ A ∩ B = {6, 7, 8, 9, 10} ∩ {2, 4, 6, 8, 10} = {6, 8, 10}

সুতরাং, A ∩ B = {6, 8, 10}

প্রশ্ন: 20 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
20 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ²⁰C₁ = 20 উপায়ে
19 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁹C₁ =19 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 20 × 19 = 380

প্রশ্ন: Q = ∅ হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি? 

সমাধান:
Q-এর উপাদান সংখ্যা = 0
মোট উপসেট = 2ⁿ
= 2⁰
 = 1  (একটি উপসেট ∅ নিজেই)

∴ প্রকৃত উপসেট = 2⁰
 - 1 = 1 - 1 = 0

প্রশ্ন: রাতুল ৭০% ক্ষেত্রে সত্য বলে এবং সুমন ২০% ক্ষেত্রে মিথ্যা বলে। একই ঘটনা বর্ণনা করার সময় তাদের একই উত্তর দেওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
রাতুলের সত্য বলার সম্ভাবনা = ৭০% = ৭০/১০০ = ০.৭
∴ রাতুলের মিথ্যা বলার সম্ভাবনা = ১ - ০.৭ = ০.৩

সুমনের মিথ্যা বলার সম্ভাবনা = ২০% = ২০/১০০ = ০.২
∴ সুমনের সত্য বলার সম্ভাবনা = ১ - ০.২ = ০.৮

∴ একই উত্তর পাওয়া যাবে-
দুইজনই সত্য বলার সম্ভাবনা = ০.৭ × ০.৮ = ০.৫৬
দুইজনই মিথ্যা বলার সম্ভাবনা =০.৩ × ০.২ = ০.০৬

∴ তাদের একইরকম উত্তর দেয়ার সম্ভাবনা = ০.৫৬ + ০.০৬ = ০.৬২

প্রশ্ন: TRIANGLE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
TRIANGLE শব্দটিতে,
মোট অক্ষর = 8 টি 
স্বরবর্ণ = A, E, I অর্থাৎ 3 টি 

স্বরবর্ণ গুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে 

∴ স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে একটি অক্ষর ধরে TRIANGLE শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা,
= 6! × 3!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 3 × 2
= 4320

প্রশ্ন: ১৪৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
১৪৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হল = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ 

এখানে,
২ আছে ৪ বার এবং ৩ আছে ২ বার
১৪৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = ২

প্রশ্ন: DEGREE শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে যেকোন 4টি অক্ষর নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

সমাধান:
’DEGREE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি, যার মধ্যে E তিনটি।

মোট বাছাই সংখ্যা- 
(i) 4টি ভিন্ন ভিন্ন (D,G,E,R)= ⁴C₄ = 1
(ii) 2টি একই (E,E) এবং 2টি ভিন্ন (D,G,R) = ²C₂ × ³C₂ = 1 × 3 = 3
(II) 3টি একই (E,E,E) এবং 1টি ভিন্ন (D,G,R) = ³C₃ × ³C₁ = 1 × 3 = 3

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 1 + 3 + 3 = 7