১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি 29 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে 21 মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
মনে করি,
দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = x মিটার
দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(মইয়ের উচ্চতা)² = (দেয়ালের উচ্চতা)² + (x)²
⇒ (29)² = (21)² + (x)²
⇒ 841 = 441 + (x)²
⇒ (x)² = 841 - 441
⇒ (x)² = 400
⇒ (x)² = (20)²
∴ x = 20

∴ দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = 20 মিটার

প্রশ্ন: A ও B এর একটি অংক সমাধান করতে পারার সম্ভাব্যতা যথাক্রমে ১/৫ ও ১/৯। তারা একত্রে অঙ্কটি সমাধান করার চেষ্টা করলে অঙ্কটির সমাধান নির্ণয়ের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
A এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (১/৫)
= ৪/৫

B এর অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (১/৯)
= ৮/৯

∴ A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে না পারার সম্ভাব্যতা
= (৪/৫) × (৮/৯)
= ৩২/৪৫

A ও B এর একত্রে অঙ্কটি করতে পারার সম্ভাব্যতা
= ১ - (৩২/৪৫)
= ১৩/৪৫

প্রশ্ন: যদি sin⁡θ = 4/5​, তাহলে cos⁡θ =?

সমাধান:
আমরা জানি,
cosθ = √(1 - sin²θ)
= √{1 - (4/5)²}
= √(1 - 16/25)
= √{(25 - 16)/25}
= √(9/25)
= 3/5

প্রশ্ন: sin⁴θ - cos⁴θ এর মান কত হবে, যদি sin²θ - cos²θ = 3 হয়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
sin²θ - cos²θ = 3

sin⁴θ - cos⁴θ
= (sin²θ)² - (cos²θ)²
= (sin²θ + cos²θ)(sin²θ - cos²θ)
= 1 × 3
= 3

প্রশ্ন: - ৫, - ৪, - ৩, - ১, ০, ১, ৩, ৪, ৫ পাঁচটি সংখ্যা থেকে একটি সংখ্যা ক বাছাই করা হলো। ক^২ > ০ হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
(- ৫)^২ = ২৫
(- ৪)^২ = ১৬
(- ৩)^২ = ৯
(- ১)^২ = ১
০^২ = ০
১^২ = ১
৩^২ = ৯
৪^২ = ১৬
৫^২ = ২৫

একটি ঘটনা ছাড়া বাকি ৮ টিতেই শুন্য থেকে বড় সংখ্যা পাওয়া যাবে।
∴ সম্ভাব্যতা = ৮/৯

প্রশ্ন: tanθ = 8/15 হলে, secθ - cosθ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
tanθ = 8/15

এখন,
 লম্ব/ভূমি = 8/15
∴ অতিভুজ = √{(15)² + (8)²} = 17

∴ প্রদত্ত রাশি = secθ - cosθ
= (17/15) - (15/17)
= (289 - 255)/156
= 64/255

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৫টি সবুজ বল, ৭টি নীল বল এবং ৩টি লাল বল আছে। ব্যাগ থেকে একটি বল দ্বৈবভাবে নেওয়া হলো। বলটি সবুজ বা লাল বল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বলের সংখ্যা = (৫ + ৭ + ৩)
= ১৫
∴ সবুজ ও লাল বলের সংখ্যা = (৫ + ৩)
= ৮

এখন, বলটি সবুজ বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/১৫

∴ বলটি সবুজ বা লাল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৮/১৫)
= ৭/১৫

প্রশ্ন: যদি θ সূক্ষ্মকোণ এবং sin(θ + 25°) = 1/√2 হয়, তবে θ এর মান কত?

সমধান:
দেওয়া আছে,
sin(θ + 25°) = 1/√2
⇒ sin(θ + 25°) = sin45°
⇒ θ + 25° = 45°
⇒ θ = 45° - 25°
θ = 20°

∴ θ এর মান 20° হবে।

প্রশ্ন: ৫২ টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈব্যভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি রাজা বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে,
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি,
রাজা = ৪ টি
এবং টেক্কা = ৪ টি

∴ তাসটি রাজা বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৫২) + (৪/৫২)
= ২/১৩

প্রশ্ন: sin² 32° + sin² 58° = কত?

সমাধান:
sin² 32° + sin²58°
= sin² 32° + sin² (90 - 32)°
= sin² 32° + cos²32°
= 1

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৪ সালের আগস্ট মাসের ৪র্থ সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৩ দিন। ঐ সপ্তাহে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিনর
৪র্থ সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে = ৩ দিন
৪র্থ সপ্তাহে বৃষ্টি হয় নি = ৪ দিন

∴ বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা = ৪/৭

প্রশ্ন: একটা মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করা হলো। ঠিক দুইবার হেড না আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রা চারবার নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্রগুলো হবে = {HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT}
∴ মোট নমুনা বিন্দু = ১৬টি

এখন,
ঠিক দুইবার হেড আছে ৬টি নমুনা বিন্দুতে।
ঠিক দুইবার হেড আসার সম্ভাবনা = ৬/১৬ = ৩/৮

∴ ঠিক দুইবার হেড না আসার সম্ভাবনা = ১ - (৩/৮)
= (৮ - ৩)/৮
= ৫/৮

প্রশ্ন: 1 + cot²A = 4 এবং A < 90° হলে, A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1 + cot²A = 4
⇒ cosec²A = 4
⇒ cosec²A = 2²
⇒ cosecA = 2
⇒ 1/sinA = 2
⇒ sinA = 1/2
⇒ sinA = sin30°
∴ A = 30°

প্রশ্ন: cos90°.cos45° + sin90°.sin45° = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
cos(A - B) = cosA. cosB + sinA . sinB

এখন,
cos 90°. cos 45° + sin 90°. sin 45°
= cos(90° - 45°)
= cos 45°
= 1/√2

প্রশ্ন: 1/{tanA√(1 - sin²A)} এর মান কত?

সমাধান:
tanA√(1 - sin²A)
= tanA√(cos²A)
= (sinA/cosA) × cosA
= sinA

এখন,
1/{tanA√(1 - sin²A)}
= 1/sinA
= cosecA

প্রশ্ন: secA + tanA = 13/11 হলে, secA - tanA এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
secA + tanA = 13/11

আমরা জানি,
sec²A - tan²A = 1
⇒ (secA + tanA)(secA - tanA) = 1
⇒ (13/11)(secA - tanA) = 1
⇒ (secA - tanA) = 1 × (13/11)
∴ secA - tanA = 11/13

প্রশ্ন: যদি A = 15° হয়, তবে cos 2A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = 15°

এখন,
cos 2A = cos(2 × 15°)
= cos30°
= √3/2

প্রশ্ন : π/10 রেডিয়ান সমান কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 রেডিয়ান = 180/π ডিগ্রি
∴ π/10 রেডিয়ান = (180/π) × (π/10)
= 18 ডিগ্রি

প্রশ্ন: একটি মই এর এক প্রান্ত ভূমি থেকে ১২ মিটার উঁচু ঘরের জানালা বরাবর পৌঁছায়। অপর প্রান্ত ঘর থেকে ৯ মিটার দূরে থাকলে মই এর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সমাধান:

ধরি,
মইটির 'ক' মিটার লম্বা
সমকোণী ত্রিভূজের সূত্র হতে পাই,
(অতিভূজ)^২ = (ভূমি)^২ + (লম্বা)^২
⇒ ক^২ = (৯)^২ + (১২)^২
⇒ ক^২ = ৮১ + ১৪৪
⇒ ক^২ = ২২৫
⇒ a = √২৫৫
∴ ক = ১৫ মিটার