প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে  x^{a + b} = ? 

সমাধান:
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) 
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b) 
⇒ log1 = log(a + b) 
⇒ a + b = 1 

এখন, x^{a + b}
= x¹
= x

প্রশ্ন: (১২৫)^২/৩ + (৮১)^১/৪ = ৭ক হলে ক =? 

সমাধান: 
১২৫^২/৩ + ৮১^১/৪ = ৭ক
⇒ (৫^৩)^২/৩ + (৩^৪) ^১/৪ = ৭ক
⇒ ৫^২ + ৩ = ৭ক
⇒ ৭ক = ২৫ + ৩
⇒ ৭ক = ২৮
⇒ ক = ৪

প্রশ্ন: ৭^২ + ৮^২ + ..................... + ১৪^২ = ? 

সমাধান : 
আমরা জানি, 
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = n(n+1)(2n+1)/6

৭^২ + ৮^২ + ..................... + ১৪^২
= (১^২ + ২^২ + ..................... + ১৪^২) - (১^২ + ২^২ + ..................... + ৬^২)
= [১৪(১৪ + ১)(২৮ + ১)]/৬ - [৬(৬ + ১)(১২ + ১)]/৬
= ({১৪ × ১৫ × ২৯)/৬} - ({৬ × ৭ × ১৩)/৬}
= (৭ × ৫ × ২৯) -  (৭ × ১৩)
= ৭(১৪৫ - ১৩)
= ৭ × ১৩২
= ৯২৪

প্রশ্নটি হওয়া উচিত ছিল - ৬, ১৮, ৩৮, ৬৬ ...... ধারাটির পরের পদ কত ?
প্রশ্ন অনুযায়ী অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 
=============== 

প্রশ্ন : ৬, ১৬, ৩৮, ৬৬,............ ধারাটির পরের পদ কত ?

সমাধান :
৬ = ২^২ + ২
১৮ = ৪^২ + ২
৩৮ = ৬^২ + ২
৬৬ = ৮^২ + ২
১০২ = ১০^২ + ২

∴ ধারাটির পরবর্তী পদ = ১০২

প্রশ্ন: log_x√6 + log_x√(2/3) = কত? 

সমাধান:
log_x√6 + log_x√(2/3)
= log_x6^1/2 + log_x(2/3)^1/2
= (1/2)log_x6 + (1/2) log_x(2/3)
= (1/2)(log_x6 + log_x2/3)
= (1/2)log_x (6 × 2/3)
= (1/2)log_x 4
= (1/2)log_x 2²
= (1/2) × 2log_x2
= log_x 2

প্রশ্ন: (৩^{- ২} + ৯^{- ১/২})^{- ১/২} = ? 

সমাধান : 
(৩^{- ২} + ৯^{- ১/২})^{- ১/২}
= (১/৩^২ + ১/৯^১/২)^{- ১/২}
= {(১/৯) + (১/√৯)}^{- ১/২}
= {(১/৯) + (১/৩)}^{- ১/২}
= {(১ + ৩)/৯}^{- ১/২}
= (৪/৯)^{- ১/২} 
= (৯/৪)^১/২
= √(৯/৪)
= ৩/২

প্রশ্ন: 7 + 10 + 13 + 16 + ..... ধারাটির প্রথম 10 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 7= 3

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (10/2){ 2 × 7 + (10 - 1) × 3 }
= 5 { 14 + 9 × 3 }
= 5 (14 + 27)
= 5 × 41
= 205

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + ................ ধারাটির 38 তম পদ কত? 
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5
= 3

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার  n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ 38 তম পদ = {5 + (38 - 1) × 3}
= 5 + 37 × 3
= 5 + 111
= 116

Question: log_a3 × log₃a² =?

Solution:
log_a3 × log₃a²
= log_a3 × 2 log₃a
= 2 × log_a3 × log₃a
= 2 × log_a3 × (1/log_a3)  [log_ab = 1/log_ba]
= 2

প্রশ্ন:  √√√√x = x^m/n হলে m = ? 

সমাধান: 
√√√√x = x^m/n
⇒ √√√((x)^1/2)= x^m/n
⇒ (((((x)^1/2)^1/2)^1/2)^1/2) = x^m/n 
⇒ (x)^1/16= x^m/n 
⇒ m/n = 1/16
⇒ m = n/16

প্রশ্ন: p + q + r + s + ................ একটি গুণোত্তর ধারা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
p + q + r + s + . . . . একটি গুণোত্তর ধারা হলে,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ = ৩য় পদ/২য় পদ = চতুর্থ পদ/৩য় পদ
∴ q/p = r/q = s/r

∴ q/p = s/r সম্পর্কটি সঠিক।

প্রশ্ন: 4 + 16 + x + 256............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
= 16/4
= 4
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

ধারাটির তৃতীয় পদ, x = ar²
= 4 × 4²
= 4 × 16
= 64

প্রশ্ন: log(x/y) + log (y/z) + log(z/x) = ?

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = log(x/y) + log(y/z) + log(z/x)
= logx - logy + logy - logz + logz - logx
= 0

প্রশ্ন : 256(√2)^3x = 1024 হলে, x = ?

সমাধান : 
256(√2)^3x = 1024
⇒ 2⁸(2^1/2)^3x = 1024
⇒ 2⁸(2^3x/2) = 1024
⇒ 2^{(8 + 3x)/2} = 1024
⇒ 2^{(16 + 3x)/2} = 2¹⁰ 
⇒ (16 + 3x)/2 = 10 
⇒ 16 + 3x = 20 
⇒ 3x = 20 -16
⇒ 3x = 4
⇒  x = 4/3

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, এর প্রথম 23টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
12 তম পদ = 77

ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

তাহলে,
12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

শর্তমতে,
a + 11d = 77

আবার,
প্রথম n পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}

∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= (23/2) × 2 × 77 [a + 11d = 77 বসিয়ে]
= 23 × 77
= 1771

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ২য় পদ ১৭ এবং সপ্তম পদ ৩৭ হলে, ৫০তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
২য় পদ = ১৭
সপ্তম পদ = ৩৭

ধরি,
ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

তাহলে,
a + (২ - ১)d = ১৭
বা, a + d = ১৭ .........(১)

a + (৭ - ১)d = ৩৭
বা, a + ৬d = ৩৭ .........(২)

(২) - (১) ⇒ ৫d = ২০
বা,  d = ৪

(১) নং থেকে ,
a + d = ১৭
বা, a = ১৭ - d
= ১৭ - ৪
= ১৩

∴ ৫০তম পদ  = ১৩ + (৫০ - ১)৪
= ১৩ + ৪৯ × ৪
= ১৩ + ১৯৬
= ২০৯

প্রশ্ন:  log₃₆ X = A  হলে, log₆ X = ?

সমাধান: 

মনে করি, 
log₃₆ X = A
⇒ 36^A = X
⇒ (6²)^A = X
⇒ 6^2A = X
⇒ log₆ X = 2A

প্রশ্ন: x + z = 2y, b² = ac হলে, a^{y - z} · b^{z - x} · c^{x - y} =?

সমাধান:
x + z = 2y
⇒ x + z = y + y
∴ x - y = y - z

এখন,
a^{y - z} · b^{z - x} · c^{x - y}
= a^{x - y} × b^{z - x} × c^{x - y} [y - z = x - y]
= (ac)^{x - y} × b^{z - x}
= (b²)^{x - y} × b^{z - x}
= b^{2x - 2y + z - x} 
= b^{x + z - 2y}
= b^{2y - 2y}
= b⁰
= 1

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ 2n(n + 1) হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির n তম পদ = 2n(n + 1)

১ম পদ = 2 · 1 (1 + 1) = 4
২য় পদ = 2 · 2 (2 + 1) = 12
৩য় পদ = 2 · 3 (3 + 1) = 24

∴ ধারাটির প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি = 4 + 12 + 24
= 40

প্রশ্ন: কোন ধারার ১ম পদ, ‍a এবং সাধারণ অনুপাত, r > 1 হলে গুণোত্তর ধারার n তম পদের সমষ্টির ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে, n তম পদ = ar^{n - 1}
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত  r > 1 হলে, n তম পদের সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত  r < 1 হলে, n তম পদের সমষ্টি = a (1 - rⁿ)/(1 - r)

প্রশ্ন: যদি log_mm^log125 + log_nn^log8 = x হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log_mm^log125 + log_nn^log8 = x
⇒ log125 log_mm + log8 log_nn = x
⇒ log 125 + log 8 = x
⇒ log (125 × 8) = x
⇒ log (1000) = x
⇒ x = log (10)³
⇒ x = 3log10
⇒ x = 3

প্রশ্ন: x^y = z, y^z = x, z^x = y হয়, তাহলে xy =? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 x^y = z, y^z = x, z^x = y

এখান্‌
x^y = z
বা, (y^z)^y = z
বা, y^yz = z
বা, (z^x)^yz = z
বা, z^xyz = z¹
বা, xyz = 1
∴ xy = 1/z

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারায় তৃতীয় পদটি 16 এবং ষষ্ঠ  পদটি 128 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
গুণোত্তর ধারায় ১ম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে, n তম পদ = ar^{n - 1}
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত  r > 1 হলে, n তম পদের সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r - 1)

তৃতীয় পদ =16
ar² = 16 ............ (1)
ষষ্ঠ পদ = 128 
ar⁵ = 128 ............ (2)

(2) ÷ (1) ⇒
⇒ ar⁵/ar² = 128/16
⇒ r³ = 8
⇒ r = 2

(1) ⇒
⇒ a(2)² = 16
⇒ 4a = 16
⇒ a = 4

প্রশ্ন:  ২৫৬ + ১২৮ + ৬৪ + ........... ধারাটির প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান : 

এটি একটি গুনোত্তর ধারা।

আমরা জানি, 
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে, n তম পদ = ar^{n - 1}
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত  r > 1 হলে, n তম পদের সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
• কোন গুণোত্তর ধারার ১ম পদ ‍a এবং সাধারণ অনুপাত  r < 1 হলে, n তম পদের সমষ্টি = a (1 - rⁿ)/(1 - r)

এখানে, 
প্রথম পদ, a = ২৫৬
সাধারণ অনুপাত, r = ১২৮/২৫৬
= ১/২ 

এখানে, r < 1 বলে, 
n তম পদের সমষ্টি = a (1 - rⁿ)/(1 - r)
প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি = ২৫৬ {১  - (১/২)^১০}/{১ - (১/২)}
= ২৫৬{১ - ১)/১০২৪}/(১/২)
= {২৫৬ - (১/৪)}/(১/২)
= ২{২৫৬ - (১/৪)}
= {৫১২ - (১/২)}
= (১০২৪ - ১)/২
= ১০২৩/২