১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

আমরা জানি, অন্তঃস্থকোণ + বহিঃস্থকোণ = ১৮০°
বা, অন্তঃস্থকোণ + ৪৫° = ১৮০°
বা, অন্তঃস্থকোণ = ১৮০° - ৪৫° = ১৩৫°

আমরা জানি,
(অতিভুজ) ² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
বা, (১৫) ² = (লম্ব)² + (৯)²
বা, লম্ব = ১২ সে.মি.
সুতরাং লম্ব ও ভূমির অন্তর = ১২ - ৯ = ৩ সে.মি.

দেওয়া আছে,
d₁:d₂ = 1:3
A₁:A₂ = (π/4)d²₁ : (π/4)d²₂ = d²₁:d²₂ = 1²:3² = 1:9

ধরি, চতুর্ভুজের চারটি কোণ যথাক্রমে x, 2x, 2x ও 3x
প্রশ্নমতে,
x + 2x + 2x + 3x = 360°
বা, 8x = 360°
বা, x = 360°/8 = 45°
সুতরাং বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের যোগফল = x + 3x = 4x = 4×45° = 180° = এক সরলকোণ।

যে ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু এবং কোণ সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বলে। আবার যে ত্রিভুজের কোনো কোণই ৩০° এর কম নয় এবং ১২০° এর বেশি নয়, তাকে সুঠাম ত্রিভুজ বলে। এখানে সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।

ধরি, দৈর্ঘ্য = x m
তাহলে প্রস্থ = (x - 6) m
প্রশ্নমতে,
x(x - 6) = 160
বা, x² - 6x -160 = 0
বা, x² - 16x + 10x -160 = 0
বা, x(x - 16) + 10(x - 16) = 0
বা, (x - 16)(x + 10) = 0
কিন্তু x +10 ≠ 0
সুতরাং x -16 = 0
বা, x = 16 m

ক ও ঘ দুটোই সঠিক উত্তর।
আমরা জানি,
ত্রিভুজের দুই বাহুর যোগফল এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। এখানে (৫+৬) = ১১ মিটার। অর্থাৎ, তৃতীয় বাহুটি অবশ্যই ১১ মিটারের থেকে ছোট হবে। তাই, ১২ মিটার হবে না।
অন্যদিকে, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর। এখানে, (৬ - ৫) = ১ মিটার। অর্থাৎ, বাহুর দৈর্ঘ্য অবশ্যই ১ মিটারের চেয়ে বেশি হতে হবে।

আমরা জানি, সামান্তরিকের সন্নিহিত দুই কোণের যোগফল ১৮০° এবং কর্ণ বরাবর বিপরীত কোষগুলো পরস্পর সমান। অর্থাৎ ABCD সামন্তরিকে A ও B কোণের যোগফল ১৮০° এবং B ও D কোণ পরস্পর সমান।
এখানে A + B = ১৮০°
বা, ১১৫° + D = ১৮০° [যেহেতু B = D]
বা, D = ১৮০° - ১১৫° = ৬৫°

সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান ৬০°।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)×a²
বা, 49√3 = (√3/4)×a²
বা, a = 14 cm
সুতরাং পরিসীমা = 3a = 3×14 = 42 cm

যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°, যা ২য় কোণের তিনগুণ। তাহলে ২য় কোণ = ৯০°/৩ = ৩০° এবং ৩য় কোণ = ১৮০° - (৯০° + ৩০°) = ৬০° = ২ × ৩০° = ২ × ২য় কোণ।

যে ত্রিভুজের কোনো একটি কোণ ৩০° এর কম বা ১২০° এর বেশি হয়, তাকে কৃশ ত্রিভুজ বলে।

ধরি, ত্রিভুজের কোণগুলো x, 2x ও 3x
প্রশ্নমতে,
x + 2x + 3x = 180°
বা, 6x = 180°
বা, x = 30°
সুতরাং বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য = 3x - x = 2x = 2×30° = 60°

কোন বৃত্তে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°.

আমরা জানি, ঘনকের আয়তন = বাহু³
বা, ৫১২ = বাহু³
বা, বাহু = ৮ মিটার
সুতরাং একপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল =বাহু² = ৮² = ৬৪ বর্গমিটার।

ধরি, দৈর্ঘ্য ও পরিসীমা যথাক্রমে x ও 4x এবং প্রস্থ y
প্রশ্নমতে,
2(x + y) = 4x
বা, 2x + 2y = 4x
বা, 2y = 4x - 2x
বা, 2y = 2x
বা, y = x
সুতরাং দৈর্ঘ্য;প্রস্থ = x:y = x:x = 1:1

ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুকে বর্ধিত করলে তাদের বহিঃস্থকোণের সমষ্টি হবে = (১৮০° - ৬০°) + (১৮০° - ৬০°) + (১৮০° - ৬০°) = ৩৬০°।

যেহেতু ABC ত্রিভুজে AB = AC, তাহলে B ও C কোণ সমান হবে। সুতরাং A = 180° - (B + C) = 180° - (30° + 30°) = 120°.

সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)×বাহু² = (√3/4)×1² = √3/4 বর্গএকক।

সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (½)×a×b×sinθ
= (½)×20×20×sin45°
= 10x20x(1/√2)
= 200/√2
= (2x100)/√2
= 100√2

বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ব্যাস = d + d এর 25% = 1.25d
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = (π/4) × (1.25d)² - (π/4) × d²
= (π/4)d² (1.5625 - 1)
= .5625 × (π/4)d²
= 56.25% × (π/4)d²

আমরা জানি, বৃত্তের সমীকরণ,(x - g)² + (y - f)² = r² যেখানে (g, f) বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক।
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ (x - 4)² + (y + 3)² = 100 এ কেন্দ্রীয় স্থানাংক(4, -3).

ষড়ভুজের ক্ষেত্রে প্রতিটি বহিঃস্থকোণ ৬০°

অন্তঃস্থকোণ + বহিঃস্থকোণ = ১৮০°

আমরা জানি, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - অন্তঃস্থকোণ)
বা, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা = ৩৬০°/(১৮০° - ১৫০°) = ১২ টি।