Math Master

প্রশ্ন: CADRE শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
CADRE শব্দটিতে মোট বর্ণ 5টি, স্বরবর্ণ আছে 2টি।
CADRE শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
এখন,
একটি উপাদানের মোট বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস/উপাদান সংখ্যা
= 120/5
= 24

∴ 2টি স্বরবর্ণ এর জন্য বিন্যাস = (24 × 2) = 48টি

অতএব, 48টি বিন্যাসের শুরুতে স্বরবর্ণ থাকবে ।

প্রশ্ন: একটি বাক্সে সাদা বল 12টি, লাল বল 16টি এবং কালো বল 24টি। দৈব্যভাবে একটি বল নেওয়া হলে বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
লাল বল = 16টি
এবং মোট বল = 12 + 16 + 24 = 52টি

∴  বলটি লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 16/52
= 4/13

প্রশ্ন: 4 + 6 + 8 + 10 + ....... n তম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 4 
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 4 = 2
পদ সংখ্যা, n 

∴ সমষ্টি, S = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (n/2){2 · 4 + (n - 1)2}
= (n/2){8 + 2n - 2}
= (n/2)(2n + 6)
= (n/2) × {2(n + 3)}
= n(n + 3)

সুতরাং, n তম পদের সমষ্টি = n(n + 3)

প্রশ্ন: ⁴ⁿC_r = ⁴ⁿC_{r + 4} হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
⁴ⁿC_r = ⁴ⁿC_{r + 4}
⇒ 4n = r + r + 4
⇒ 4n = 2r + 4
⇒ 4n = 2(r + 2)
∴ n = (r + 2)/2

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে ১০০ জন পরীক্ষার্থী ছিলো। বার্ষিক পরীক্ষায় ৭০ জন বাংলায় এবং ৮৫ জন গণিতে পাশ করেছে। ৬০ জন উভয় বিষয়ে পাশ করলে কত জন উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাংলায় পাশ করেছে = ৭০ জন
গণিতে পাশ করেছে = ৮৫ জন
এবং, উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬০ জন

∴ শুধু বাংলায় পাশ করে = (৭০ - ৬০) = ১০ জন
  শুধু গণিতে পাশ করে = (৮৫ - ৬০) = ২৫ জন
এক ও উভয় বিষয়ে পাশ করে = (২৫ + ১০ + ৬০) = ৯৫ জন

সুতরাং, উভয় বিষয়ে ফেল করে = (১০০ - ৯৫) = ৫ জন

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ এবং ২য় পদ যথাক্রমে 9 এবং 3 হলে নবম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ = 9
সাধারাণ অনুপাত = 3/9 = 1/3

∴ নবম পদ = ar^{9 - 1}
= ar⁸
= 9 × (1/3)⁸
= 9 × (1/3⁸)
= 3² × {1/(3² × 3⁶)
= 1/3⁶
= 1/729

প্রশ্ন: একটি ফুটবল লীগে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে 2টি করে ম্যাচ খেলে। যদি মোট 5 টি টিম হয়, তাহলে মোট কতটি ম্যাচ খেলবে?

সমাধান:
মোট ম্যাচের সংখ্যা = ⁿC₂ × 2
= ⁵C₂ × 2
= [5!/{2!(5 - 2)!}] × 2
= [(5 × 4 × 3!)/(2! · 3!)] × 2
= {(5 × 4)/2} × 2
= 20

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ একবার নিক্ষেপ করলে ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কায় জোড় সংখ্যা সমূহ = {2, 4, 6} 
= 3টি

∴ জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 3/6 
= 1/2

প্রশ্ন: যদি কোনো অনুক্রমের n তম পদ {1 - (-1)ⁿ}/2 হয়, তাহলে 17 তম পদ = কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
n = বিজোড় সংখ্যা হলে (- 1)ⁿ = - 1

∴ {1 - (- 1)¹⁷}/2
= {1 - (- 1)}/2
= (1 + 1)/2
= 1

প্রশ্ন: একটি সভা শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। লোকের সংখ্যা 16 হলে করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকজনের সংখ্যা, n = 16

∴ করমর্দনের = ⁿC₂ = ¹⁶C₂
= 16!/{2!(16 - 2)}
= 16!/(2! × 14!)
= 120

প্রশ্ন: ৫২ টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে দৈব্যভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলো, তাসটি রাজা বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাব্যনা কত?

সমাধান:
মোট তাস সংখ্যা = ৫২ টি,
রাজা = ৪ টি, টেক্কা = ৪ টি

∴ তাসটি রাজা বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাব্যনা = (৪/৫২) + (৪/৫২)
= ২/১৩

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 + ...... ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
১মপদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, d = (- 4)/2 = - 2

∴ প্রথম 9টি পদের সমষ্টি, S₉ = {a(1 - rⁿ)/(1 - r)
= {2(1 - (- 2)⁹}/{1 - (- 2)}
= {2(1 - (- 512)}/(1 + 2)
= {2(1 + 512)}/3
= (2 × 513)/3
= 1026/3
= 342

প্রশ্ন: ৪, ৫ ও ৬ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে তিন অঙ্কের কতটি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৪, ৫ ও ৬ দ্বারা তিন অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে হলে একক স্থানীয় অঙ্কটি অবশ্যই ৫ হতে হবে।

এখানে,
৪, ৫ ও ৬ এর মোট বিন্যাস সংখ্যা = ৩! = ৬
একটি উপাদানের বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস /উপাদান সংখ্যা
= ৬/৩
= ২

∴ তিন অঙ্কের ২টি বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে।

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 7}, B = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x  ≤ 11} হলে A ∩ B = কত?

সমাধান: 
A = {3, 4, 5, 6, 7}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

A ∩ B = {3, 4, 5, 6, 7} ∩ {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {3, 5, 7}

প্রশ্ন: 3 + 7 +11 + 15 + ....... + 59 = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 7 - 3 = 4

ধরি,
ধারাটির n তম পদ = 59
∴ a + (n - 1)d = 59
⇒ 3 + {(n - 1) · 4} = 59
⇒ 3 + 4n - 4 = 59
⇒ 4n - 1 =  59
⇒ 4n = 60
∴ n = 15

সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (15/2){2 · 3 + (15 - 1)4}
= (15/2) × 62
= 465

প্রশ্ন: 6 জন বালক এবং 5 জন বালিকার একটি দল থেকে কত উপায়ে 3 জন বালক এবং  2 জন বালিকার একটি দল গঠন করা যেতে পারে?

সমাধান:
দল গঠন করার উপায় = ⁶C₃ × ⁵C₂
= {(6 × 5 × 4)/6} × ((5 × 4)/2}
= 20 × 10
= 200

প্রশ্ন: ১ থেকে ২৮ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ২৮ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭
এখানে
n  = ৯
∴ মধ্যক =  (n + ১)/২ তম পদ
= (৯ + ১)/২ তম পদ
= ৫ তম পদ 
 = ১৫

∴ ১ থেকে ২৮ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক = ১৫

প্রশ্ন: 4 + 8 +16 +32 ........ ধারাটির 8 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 2

∴ 8 তম পদ = ar^8-1 = ar⁷
= 4 × (2)⁷ 
= 4 × 128
= 512

প্রশ্ন: REPEAT শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
REPEAT শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে 6টি। যার মধ্যে E আছে 2টি 
∴ REPEAT শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! 
= 360

প্রশ্ন: A = {11, 12, 13, 14} হলে এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
A সেটের উপাদান = 4 টি
A এর প্রকৃত উপসেট = 2⁴ = 16 টি
প্রকৃত উপসেট = 16 - 1 = 15 টি