১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: ৭ এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

সমাধান:
অসীম সেট: যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না তাকে অসীম সেট বলে।
৭ এর গুণিতকসমূহ = ৭, ১৪, ২১, ২৮, . . . ইত্যাদি
∴ ৭ এর গুণিতকের সেট = {৭, ১৪, ২১, ২৮,  . . . }

অর্থাৎ, ৭ এর গুণিতকের সেট অসীম সেট।

প্রশ্ন: A = { x : x ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং x² < 15} হলে সেটের উপাদানগুলো হবে-

সমাধান: 
শর্তমতে,
x এর মান ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং 15 এর চেয়ে ছোট হলে সংখ্যাটি সেটের উপাদান হবে।
এখন,
(- 1)² = 1 ;যা শর্ত পূরণ করে
(- 2)² = 4 ;যা শর্ত পূরণ করে
(- 3)² = 9 ;যা শর্ত পূরণ করে
(- 4)² = 16 ;x² < 15 না হওয়ায় শর্ত পূরণ করে না

∴ A = {- 1, - 2, - 3}

প্রশ্ন: f(a) = a³ - 3a² + 6 হলে f(-1) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(a) = a³ - 3a² + 6 
∴  f(-1) = (- 1)³ - 3 ⋅ (- 1)² + 6
= - 1 - 3 + 6
= - 4 + 6
= 2

প্রশ্ন: 5 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 13 সেমি দূরের কোন বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত সেমি?

সমাধান:

OA ⊥ AB
∴ স্পর্শক AB = √(OB² - OA²)
= √(13² - 5²)
= √(169 - 25)
= √(144)
= 12 সেমি

প্রশ্ন: A = {3, 6, 9} হলে, A এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
• উপসেট: কোন সেটের উপাদান থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায় তাদের প্রত্যেকটি প্রদত্ত সেটের উপসেট। ফাঁকা সেট যেকোনো সেটের উপসেট।

• প্রকৃত উপসেট: কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম তাদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন U = {a, b, c} সেটটি থেকে গঠিত উপসেটসমূহ {a, b, c}, {a, b}, {a, c}, { b, c }, {a }, {b}, {c}, এখানে U উপসেট থেকে প্রাপ্ত উপসেটসমূহের মধ্যে U এর সম সংখ্যক উপাদানসমৃদ্ধ উপসেট {a, b, c} ব্যতীত বাকি সব উপসেটসমূহ হচ্ছে U এর প্রকৃত উপসেট।

দেওয়া আছে,
A = {3, 6, 9}
উপাদানের সংখ্যা, n = 3
আমরা জানি,
প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ - 1
= 2³ - 1
= 8 - 1
= 7

প্রশ্ন: অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি কত?

সমাধান:
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (n - 2) × 180°

∴ অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি = (8 - 2) × 180°
= 6 × 180°
= 1080°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 16π বর্গ একক হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 16π
⇒ r² = 16
∴ r = 4

এখন,
ব্যাস = ব্যাসার্ধ × 2 = 4 × 2 = 8 একক

প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা প্রতি মিনিটে ৭০ বার ঘুরলে ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৭০ বার 
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ৭০/৬০ = ৭/৬ বার

এখন,
১ বার ঘুরলে ঘুরে = ৩৬০°
∴ ৭/৬ বার ঘুরলে ঘুরে = ৩৬০° × (৭/৬) = ৪২০° 

প্রশ্ন: একটি সপ্তভুজের কর্ণের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
একটি সপ্তভুজের বাহুর সংখ্যা, n = 7

∴ একটি সপ্তভুজের কর্ণের সংখ্যা = {n(n - 3)}/2
= {7(7 - 3)}/2
= 28/2
= 14

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে এর পরিধি কতগুণ বৃদ্ধি পায়?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাস = 2r
তাহলে, বৃত্তের পরিধি = 2πr
ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে, নতুন ব্যাস = 2r + (2 × 2r) = 6r

∴ নতুন পরিধি = 2π × (6r/2) [ব্যাসার্ধ = ব্যাস/2]
= 2π × 3r
= 6πr
∴ পরিধি বৃদ্ধি পেয়েছে (6πr - 2πr) = 4πr
যা 2πr এর দ্বিগুণ।

প্রশ্ন: একটি সুষম নবভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃস্থ কোণের মান = ৩৬০°/বাহুর সংখ্যা
একটি সুষম নবভুজের বাহুর সংখ্যা = ৯ টি

∴ একটি সুষম নবভুজের একটি বহিঃস্থ কোণের পরিমাণ = ৩৬০°/৯
= ৪০°

প্রশ্ন: চিত্রে ∠ADC = কত ডিগ্রি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
এবং ∠ABC = 70°

∴ ∠ADC = 180° - 70° [যেহেতু সম্পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°]
= 110°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ৫৬ সেমি হলে এর পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাস = ৫৬ সেমি
তাহলে, ব্যাসার্ধ, r = ৫৬/২ = ২৮ সেমি 

∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ২৮
= ১৭৬ সেমি

প্রশ্ন: যদি n(A∩B) = 11, n(A) = 43, n(B) = 54 হয় তাহলে n(A∪B) এর মান কত?

সমাধান:
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
= 43 + 54 - 11
= 86

প্রশ্ন: কোনটির ক্ষেত্রে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হওয়া সম্ভব নয়?

সমাধান:

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হওয়ার শর্ত হলো কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কোণের সমষ্টি ১৮০° হতে হবে।
রম্বস ছাড়া বাকি তিন (ট্রাপিজিয়াম, আয়ত, বর্গ) ক্ষেত্রেই বিপরীত কোণের সমষ্টি ১৮০°।
∴ রম্বসের ক্ষেত্রে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হওয়া সম্ভব নয়।

প্রশ্ন: f(5) = 15 এবং g(x) = f(x + 3) - 5 হলে, g(2) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(5) = 15 
এবং g(x) = f(x + 3) - 5
⇒ g(2) = f(2 + 3) - 5
⇒ g(2) = f(5) - 5
⇒ g(2) =15 - 5
∴ g(2) = 10

প্রশ্ন: ২৬ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ২৬ সে.মি. ; যা কর্ণের দৈর্ঘ্যের সমান

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) × (কর্ণ)^২
= (১/২) × ২৬ × ২৬
= ১৩ × ২৬
= ৩৩৮ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: ২০ এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট কোনটি?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায়না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

২০ এর উৎপাদক সমূহ = {১, ২, ৪, ৫, ১০, ২০}
∴ ২০ এর মৌলিক উৎপাদক সমূহের সেট = {২, ৫}

প্রশ্ন: কোন সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ  ও বহিঃকোণের মানের অনুপাত ২ : ১ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
অন্তঃস্থ কোণ = ২ক
বহিঃস্থ কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
২ক + ক = ১৮০°
⇒ ৩ক = ১৮০°
∴ ক = ৬০°

এখানে,
অন্তঃস্থ কোণ = ২ × ৬০° = ১২০°
বহিঃস্থ কোণ = ৬০° 

∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৬০° = ৬ টি