১৪তম - ২০তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: ২০ জন শ্রমিক ১৫ দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে। ২৫ জন শ্রমিক কত দিনে একই কাজের ১/২ অংশ শেষ করবে ?

সমাধান: 
২০ জন শ্রমিক ১ বা (সম্পূর্ণ) অংশ কাজ শেষ করতে পারে ১৫ দিনে
∴ ১ জন শ্রমিক ১ বা (সম্পূর্ণ) অংশ কাজ শেষ করতে পারবে (১৫ × ২০) দিনে
= ৩০০ দিনে
∴ ২৫ জন শ্রমিক ১ বা (সম্পূর্ণ) অংশ কাজ শেষ করতে পারবে (৩০০ ÷ ২৫) দিনে
= ১২ দিনে

∴ ২৫ জন শ্রমিক ১/২ অংশ কাজ শেষ করতে পারবে (১২ × ১/২) দিনে
= (১২/২) দিনে
= ৬ দিনে

প্রশ্ন: ৪০ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৬৫। একজন শিক্ষার্থী বাদ গেলে গড় হয় ৬৪। বাদ পড়া শিক্ষার্থীর নম্বর কত ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৪০ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৬৫
∴ ৪০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর (৬৫ × ৪০)
= ২৬০০

একজন শিক্ষার্থী বাদ গেলে শিক্ষার্থীর সংখ্যা = (৪০ - ১)
= ৩৯ জন

৩৯ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৬৪
∴ ৩৯ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর (৬৪ × ৩৯)
= ২৪৯৬

∴ বাদ পড়া শিক্ষার্থীর নম্বর = (২৬০০ - ২৪৯৬)
= ১০৪

প্রশ্ন: ২৭, ১৩, ১৭, ১৯, ২৫, ২১, ২৪, ২০, ১১ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত ?

সমাধান:
২৭, ১৩, ১৭, ১৯, ২৫, ২১, ২৪, ২০, ১১ সংখ্যাগুলোকে মানের উর্ধক্রমে সাজিয়ে পাই = ১১. ১৩, ১৭, ১৯, ২০, ২১, ২৪, ২৫, ২৭

যেহেতু মোট সংখ্যা ৯টি (বিজোড় সংখ্যা), তাই মধ্যবর্তী সংখ্যাটিই মধ্যক হবে।
 আমরা জানি,
বিজোড় সংখ্যক সংখ্যা মধ্যক = (n + ১)/২ তমপদ
= (৯ + ১)/২ তমপদ
= ১০/২ তমপদ
= ৫ তমপদ

১১. ১৩, ১৭, ১৯, ২০, ২১, ২৪, ২৫, ২৭ সংখ্যাগুলোর ৫ম পদ = ২০
∴ সংখ্যাগুলোর মধ্যক = ২০

প্রশ্ন: একটি গাড়ি ৫ ঘণ্টায় ৩০০ কি.মি. যেতে পারে। গাড়ির গতি ২ গুণ করলে ৮ ঘণ্টায় কত কি.মি. যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গাড়ি ৫ ঘণ্টায় যেতে পারে ৩০০ কি.মি.
∴ গাড়িটি ১ ঘণ্টায় যেতে পারে (৩০০ ÷ ৫) কি.মি.
= ৬০ কি.মি.

যেহেতু গাড়ির গতি ২ গুণ করা হবে।
∴ তখন গাড়ির গতি হবে ঘণ্টায় = (৬০ × ২) কি.মি.
= ১২০ কি.মি.

∴ তখন ৮ ঘণ্টায় যাবে = (১২০ × ৮) কি.মি.
= ৯৬০ কি.মি.

প্রশ্ন: ৭ টি সংখ্যার মধ্যে প্রথম তিনটি সংখ্যার গড় ৪৫, শেষ তিনটি সংখ্যার গড় ৫২। চতুর্থ সংখ্যাটি ৪৫ হলে, ৭টি সংখ্যার গড় কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রথম তিনটি সংখ্যার গড় ৪৫
∴ প্রথম তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = (৪৫ × ৩)
= ১৩৫

শেষ তিনটি সংখ্যার গড় ৫২
∴ শেষ তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = (৫২ × ৩)
= ১৫৬

চতুর্থ সংখ্যাটি = ৪৫

∴ ৭ টি সংখ্যার সমষ্টি = (১৩৫ + ১৫৬ + ৪৫)
= ৩৩৬
∴ ৭ টি সংখ্যার গড় = (৩৪১ ÷ ৭)
= ৪৮

প্রশ্ন: ৯, ১৮, ১০, ১৫, ১২, ১৫, ১৪, ১৫, ২০ ও ১৮ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক কত ?

সমাধান: 
এখানে,
৯, ১৮, ১০, ১৫, ১২, ১৫, ১৪, ১৫, ২০ ও ১৮ উপাত্তটি মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে হয়-
৯, ১০, ১২, ১৪, ১৫, ১৫, ১৫, ১৮, ১৮, ২০।

বিন্যাসকৃত উপাত্তটি লক্ষ করলে দেখা যায় যে, ১৫ সংখ্যাটি ৩ বার উপস্থাপিত।
যেহেতু উপাত্তে ১৫ সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি বার আছে।
তাই এখানে ১৫ হলো উপাত্তগুলোর প্রচুরক।

প্রশ্ন: সিহাব ও বাবুল একটি কাজ পৃথক ভাবে ১০ দিন ও ৫ দিনে করতে পারে। ২ জন এক সঙ্গে কাজটির সম্পূর্ণ অংশ করতে কত দিন সময় লাগবে ?

সমাধান: 
সিহাব ১৫ দিনে করতে পারে কাজের ১ অংশ
∴ সিহাব ১ দিনে করতে পারে কাজের ১/১০ অংশ

বাবুল ২০ দিনে করতে পারে কাজের ১ অংশ
∴ বাবুল ১ দিনে করতে পারে কাজের ১/৫ অংশ

∴ সিহাব ও বাবুল একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজের = (১/১০ + ১/৫) অংশ
= (১ + ২)/১০ অংশ
= ৩/১০ অংশ

∴ সিহাব ও বাবুল একত্রে ৩/১০ অংশ কাজ করতে পারে ১ দিনে
∴ সিহাব ও বাবুল একত্রে ১ বা (সম্পূর্ণ) অংশ কাজ করতে পারে = (১ ÷ ৩/১০) দিনে
= ১০/৩ দিনে

প্রশ্ন: প্রথম ৫টি মৌলিক সংখ্যার গড় কত ?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যার (Prime number) : মৌলিক সংখ্যা হলো এমন একটি সংখ্যা, যেটি শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ, একটি মৌলিক সংখ্যার শুধু দুটি গুণনীয়ক থাকে: ১ এবং সেই সংখ্যা।

প্রথম ৫টি মৌলিক সংখ্যা হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১

এদের যোগফল = ২ + ৩ + ৫ + ৭ + ১১
= ২৮
আমরা জানি,
গড় = (মোট যোগফল) ÷ (সংখ্যার পরিমাণ)
= ২৮ ÷ ৫
= ৫.৬

প্রশ্ন: কোন একটি উপাত্তের একটি শ্রেণির শ্রেণি মধ্যমান ৩৯.৫ এবং শ্রেণির উচ্চসীমা ৪৪ হলে, ঐ উপাত্তের ঐ শ্রেণির নিম্নসীমা কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
একটি শ্রেণির শ্রেণি মধ্যমান = ৩৯.৫
উচ্চসীমা = ৪৪

আমরা জানি,
শ্রেণি মধ্যমান = (শ্রেণির উচ্চসীমা + শ্রেণির নিম্নসীমা) ÷ ২
⇒ ৩৯.৫ = (৪৪ + শ্রেণির নিম্নসীমা) ÷ ২
⇒ ৩৯.৫ × ২ = (৪৪ + শ্রেণির নিম্নসীমা)
⇒ ৩৯.৫ × ২ = (৪৪ + শ্রেণির নিম্নসীমা)
⇒ ৭৯ = (৪৪ + শ্রেণির নিম্নসীমা)
⇒ (৪৪ + শ্রেণির নিম্নসীমা) = ৭৯
⇒ শ্রেণির নিম্নসীমা = ৭৯ - ৪৪
∴ শ্রেণির নিম্নসীমা = ৩৫

প্রশ্ন: হৃদয় ১২ তম ইনিংসে ১০০ রান করার কারণে তার ইনিংসের প্রতি গড় রান ৪ বৃদ্ধি পায়। ১২ ইনিংস শেষে হৃদয়ের গড় রান কত ?

সমাধান: 
ধরি,
প্রথম ১১ ইনিংসে হৃদয়ের গড় রান ছিল = ক
∴ প্রথম ১১ ইনিংসে মোট রান = ১১ক 

∴ নতুন গড় = ক + ৪

১২ ইনিংস শেষে তার মোট রান হবে = ১১ক + ১০০

প্রশ্নশতে,
(১১ক + ১০০)/১২ = ক + ৪
⇒ ১১ক + ১০০ = ১২ (ক + ৪)
⇒ ১১ক + ১০০ = ১২ক + ৪৮
⇒ ১০০ - ৪৮ = ১২ক - ১১ক
⇒ ৫২ = ক 
∴ ক = ৫২
∴ প্রথম ১১ ইনিংসে হৃদয়ের গড় রান ছিল = ৫২

∴ নতুন গড় = ৫২ + ৪
= ৫৬

প্রশ্ন: রায়হান এক একর জমিতে ধান চাষ করে ১২ কুইন্টাল ধান পেয়েছে। প্রতি কেজি ধানে ৭০০ গ্রাম চাল হলে, সে ১ একর জমি থেকে কী পরিমাণ চাল পেল ?

সমাধান: 
আমরা জানি,
১ কুইন্টাল = ১০০ কেজি
∴ ১২ কুইন্টাল = (১০০ × ১২) কেজি
= ১২০০ কেজি

দেওয়া আছে,
১ কেজি ধানে চাল হয় = ৭০০ গ্রাম
∴ ১২০০ কেজি ধানে চাল হয় = (৭০০ × ১২০০) গ্রাম
= ৮৪০০০০ গ্রাম
= (৮৪০০০০ ÷ ১০০০) কেজি
= ৮৪০ কেজি
= (৮৪০ ÷ ১০০) কুইন্টাল
= ৮.৪ কুইন্টাল

প্রশ্ন: পাঁচটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যার গড় ৩৬ হলে, বৃহত্তম সংখ্যাটি কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
পাঁচটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যার গড় = ৩৬
∴ পাঁচটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যার সমষ্টি = (৩৬ × ৫)
= ১৮০

ধরি,
ছোট জোড় সংখ্যাটি = ক
যেহেতু সংখ্যা পাঁচটি ধারাবাহিক জোড়
∴ পরবর্তী ৪টি সংখ্যা হবে = ক + ২, ক + ৪, ক + ৬ এবং ক + ৮

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ২ + ক + ৪ + ক + ৬ + ক + ৮ = ১৮০
⇒ ৫ক + ২০ = ১৮০
⇒ ৫ক = ১৮০ - ২০
⇒ ৫ক = ১৬০
⇒ ক = ১৬০ ÷ ৫
∴ ক = ৩২
∴ ছোট জোড় সংখ্যাটি = ৩২

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৩২ + ৮
= ৪০

প্রশ্ন: তিন ভাইয়ের বয়সের গড় ১৫ বছর। তাদের বাবসহ বয়সের গড় ২০ বছর হলে, তাদের বাবার বয়স কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
৩ ভাইয়ের বয়সের গড় ১৫ বছর
∴ ৩ ভাইয়ের বয়সের সমষ্টি = (১৫ × ৩) বছর
= ৪৫ বছর

তাদের বাবাসহ বয়সের গড় ২০ বছর
∴ তাদের বাবাসহ বয়সের সমষ্টি = (২০ × ৪) বছর
= ৮০ বছর

∴তাদের বাবার বয়স = (৮০ - ৪৫) বছর
= ৩৫ বছর

প্রশ্ন: ৫০ থেকে ৯০ এর মধ্যে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা দুইটির গড় কত ?

সমাধান: 
আমরা জানি,
৫০ থেকে ৯০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হল = ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯

এখানে,
ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৫৩
বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৮৯

∴ ৫০ থেকে ৯০ মধ্যে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা দুইটির গড় = ( ৫৩ + ৮৯ ) ÷ ২
= ১৪২ ÷ ২
= ৭১

প্রশ্ন: ১০০ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর ৭০। এদের মধ্যে ৬০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর ৭২ হলে, ছাত্রদের গড় কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১০০ জন শিক্ষার্থীর গড় নম্বর = ৭০
১০০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = (৭০ × ১০০)
= ৭০০০

৬০ জন ছাত্রীর গড় নম্বর = ৭২
∴ ৬০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (৭২ × ৬০)
= ৪৩২০

∴ ৪০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৭০০০ - ৪৩২০)
= ২৬৮০
∴ ৪০ জন ছাত্রের গড় নম্বর =(২৬৮০ ÷ ৪০)
= ৬৭

প্রশ্ন: ক ও খ একত্রে একটি বাগান ১০ ঘণ্টায় পরিস্কার করতে পারে। ঐ বাগান ‘ক’ একা ১৪ ঘণ্টায় পরিস্কার করতে পারে। বাগানটি পরিস্কার করতে ‘খ’ এর কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
( ক + খ ) একত্রে ১০ ঘণ্টায় পরিস্কার করতে পারে বাগানটির ১ অংশ
∴ ( ক + খ) একত্রে ১ ঘণ্টায় পরিস্কার করতে পারে বাগানটির = ১/১০ অংশ

আবার,
”ক” একা ১৪ ঘণ্টায় পরিস্কার করতে পারে বাগানটির ১ অংশ
∴ ”ক” একা ১ ঘণ্টায় পরিস্কার করতে পারে বাগানটির = ১ / ১৪ অংশ

∴ ”খ” একা ১ ঘণ্টায় পরিস্কার করতে পারে বাগানটির = (১/১০) - (১/১৪ ) অংশ
= (৭ - ৫)/৭০ অংশ
= ২/৭০ অংশ
= ১/৩৫ অংশ

∴ ”খ” একা ১/৩৫ অংশ পরিস্কার করতে পারে = ১ ঘণ্টায়
∴ ”খ” একা ১ বা ( সম্পূর্ণ ) অংশ পরিস্কার করতে পারে = ( ১ ÷ ১/৩৫) ঘণ্টায়
= ( ১ × ৩৫)/১ ঘণ্টায়
= ৩৫ ঘণ্টায়
= ৩৫/২৪ দিন
= ১ দিন ১১ ঘণ্টায়

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সবগুলো সংখ্যার গড় কত ?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম সংখ্যা = ১
শেষ সংখ্যা = ১০০
পদ সংখ্যা = ১০০

আমরা জানি,
যোগফল = { ( প্রথম সংখ্যা + শেষ সংখ্যা ) × পদ সংখ্যা } ÷ ২
={ ( ১ + ১০০ ) × ১০০ } ÷ ২
=( ১০১ × ১০০ ) ÷ ২
= ১০১০০ ÷ ২
= ৫০৫০

∴ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সবগুলো সংখ্যার গড় = ৫০৫০ ÷ ১০০
= ৫০.৫০

প্রশ্ন: উপাত্তের সংখ্যা জোড় হলে মধ্যক নিচের কোনটি ?

সমাধান: 
আমরা জানি,
উপাত্তের সংখ্যা জোড় হলে মধ্যক = মাঝের দুটি সংখ্যার গড়।

যেমন:
ধরা যাক,
নিচের উপাত্তসমূহ দেওয়া আছে:
১২, ১৫, ১৭, ২০, ২২, ২৫, ৩০, ৩৫

এখানে, উপাত্তের সংখ্যা ৮ (জোড় সংখ্যা), তাই মধ্যক হবে -

মধ্যক = { ( ৮ / ২​)-তম সংখ্যা +( ৮ / ২ +১ )-তম সংখ্যা  } ÷ ২
= ( ৪র্থ সংখ্যা + ৫ম সংখ্যা​ ) ÷ ২
= ( ২০ + ২২ ) ÷ ২
= ৪২ ÷ ২
= ২১

অর্থাৎ উপাত্তের সংখ্যা জোড় হলে, মধ্যক হলো মাঝের দুটি সংখ্যার গড়।

প্রশ্ন: কোন উপাত্তের পরিসর ৬০ এবং শ্রেণিব্যবধান ১০ হলে, ঐ উপাত্তের শ্রেণি সংখ্যা কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
পরিসর = ৬০
শ্রেণিব্যবধান = ১০

আমরা জানি,
শ্রেণিসংখ্যা = (পরিসর ÷ শ্রেণিব্যবধান)
= (৬০ ÷ ১০)
= ৬

প্রশ্ন: একটি দলের ১৩ জন সদস্যের মোট বয়স ৩৬৪ বছর, যাদের মধ্যে প্রথম ৬ জন সদস্যের গড় বয়স ২৫ বছর এবং শেষ ৬ জন সদস্যের গড় বয়স ৩১ বছর হয়, তবে অন্য ১ জন সদস্যের বয়স কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রথম ৬ জন সদস্যের গড় বয়স ২৫ বছর
∴ প্রথম ৬ জন সদস্যের মোট বয়স = (২৫ × ৬) বছর
= ১৫০ বছর
এবং
শেষ ৬ জন সদস্যের গড় বয়স ৩১ বছর
∴ শেষ ৬ জন সদস্যের মোট বয়স = (৩১ × ৬) বছর
= ১৮৬ বছর

( প্রথম ৬ জন + শেষ ৬ জন ) = ১২ জন
∴  ১২ জন সদস্যের মোট বয়স = (১৫০ + ১৮৬) বছর
= ৩৩৬ বছর

১৩ জন সদস্যের মোট বয়স ৩৬৪ বছর
১২ জন সদস্যের মোট বয়স ৩৩৬ বছর

অন্য ১ জন সদস্যের বয়স = (৩৬৪ - ৩৩৬) বছর
= ২৮ বছর

প্রশ্ন: একজন কৃষক ৪ জোড়া গরু দ্বারা ১০ দিনে ৪০ হেক্টর জমি চাষ করতে পারেন। তিনি ৯ জোড়া গরু দ্বারা ৬ দিনে কত হেক্টর জমি চাষ করতে পারবেন ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
৪ জোড়া গরু দ্বারা ১০ দিনে চাষ করতে পারে ৪০ হেক্টর জমি 
∴ ৪ জোড়া গরু দ্বারা ১ দিনে চাষ করতে পারে = (৪০ ÷ ১০) হেক্টর জমি 
= ৪ হেক্টর জমি 

∴ ১ জোড়া গরু দ্বারা ১ দিনে চাষ করতে পারে = (৪ ÷ ৪) হেক্টর জমি 
= ১ হেক্টর জমি 

∴ ৯ জোড়া গরু দ্বারা ১ দিনে চাষ করতে পারে = (১ × ৯) হেক্টর জমি 
= ৯ হেক্টর জমি 

∴ ৯ জোড়া গরু দ্বারা ৬ দিনে চাষ করতে পারে = (৯ × ৬) হেক্টর জমি 
= ৫৪ হেক্টর জমি

প্রশ্ন: ১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত ?

সমাধান: 
১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০
এখানে,
৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ৫ টি

∴ এদের মধ্যক = (৫ +১) ÷ ২ তমপদ
= ৬ ÷ ২ তমপদ
= ৩য় পদ

১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০ এর ৩য় পদ = ২০

অর্থাৎ ১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক = ২০

প্রশ্ন: ১৫টি সংখ্যার গড় ৭০। নতুন দুটি সংখ্যা ৬০ ও ৮০ যোগ করলে নতুন গড় কত হবে ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১৫টি সংখ্যার গড় ৭০
∴ ১৫টি সংখ্যার সমষ্টি = (৭০ × ১৫)
= ১০৫০

নতুন ২টি সংখ্যা সহ মোট সংখ্যা = (১৫ + ২)
= ১৭টি

নতুন দুটি সংখ্যা ৬০ ও ৮০
নতুন দুটি সংখ্যা ৬০ ও ৮০ যোগ করলে যোগফল = (১০৫০ + ৬০ + ৮০)
= ১১৯০
∴ তখন নতুন গড় = (১১৯০ ÷ ১৭)
= ৭০