নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: A ও B দুটি সসীম সেট। যদি n(A) = 20, n(B) = 28 এবং n(A ∪ B) = 36 হয়, তাহলে n(A ∩ B) নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). 

∴ n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) 
= 20 + 28 - 36 
= 48 - 36 
= 12 

প্রশ্ন: গণসংখ্যা সারণি প্রস্তুত করতে হলে প্রথমে কোনটি প্রয়োজন?

সমাধান:

প্রশ্ন: বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৫ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান: 
১৫ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৫C_১ = ১৫ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৫ - ১) = ১৪ জন 

১৪ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ^১৪C_১ = ১৪ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫ × ১৪ = ২১০ উপায়ে

প্রশ্ন: একটি নির্দিষ্ট দিনে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা 40%। একটি শিশুর শুষ্ক আবহাওয়ায় পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 50% এবং ভেজা আবহাওয়ায় পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 80%। তবে ঐ নির্দিষ্ট দিনে শিশুটির না পড়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা 40%
বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা 100% - 40%
= 60%

একটি শিশুর শুষ্ক আবহাওয়ায় পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 50%
একটি শিশুর শুষ্ক আবহাওয়ায় না পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 100% - 50% = 50%

ভেজা আবহাওয়ায় পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 80%
ভেজা আবহাওয়ায় না পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা 100% - 80%
= 20%

ঐ নির্দিষ্ট দিনে শিশুটির না পড়ার সম্ভাবনা = P (বৃষ্টির দিনে না পড়া) + P (শুষ্ক আবহাওয়ায় না পড়া)
= (.4 × .2) + (.6 × .5)
= 0.08 + 0.3
= 0.38
= 38%

প্রশ্ন: যদি n(A - B) = 18, n(A ∪ B) = 70 এবং n(A ∩ B) = 25 তাহলে, n(B) = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n(A∪B) = n(A - B) + n(A ∩ B) + n(B - A) 
⇒ 70 = 18 + 25 + n(B - A) 
⇒ 70 = 43 + n(B - A) 
⇒ n(B - A) = 70 - 43 
∴ n(B - A) = 27 

এখন,
n(B) = n(A ∩ B) + n(B - A) 
= 25 + 27 
= 52 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি গুণবাচক চলক নয়?

সমাধান:

প্রশ্ন: ৫২ খানা তাস হতে ১ খানা তাস দৈবভাবে উঠানো হল। হরতন না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
- একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = ৫২ টি।
- রুইতন, হরতন, ইস্কাপন ও চিরাতন ১৩টি করে।

∴ হরতন হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/৫২ = ১/৪
হরতন না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ১/৪
= (৪ - ১)/৪
= ৩/৪

প্রশ্ন: BANKS শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
BANKS শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন।

∴ সাজানোর উপায় = 5!
= 120

প্রশ্ন: {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5} সেটটির তালিকা পদ্ধতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা: ১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। 
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫টি। - এগুলো হলো - ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

∴ {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5} = {2, 3, 5}

প্রশ্ন: কতগুলি উপাত্তের সর্বোচ্চ মান 90 এবং সর্বনিম্ন মান 35 হলে উপাত্তগুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
পরিসর = (বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা) + 1
= 90 - 35 + 1
= 55 + 1
= 56

প্রশ্ন: দুটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হল। কমপক্ষে একটি টেল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট ঘটনা ৪ টি = {HH, HT, TH, TT}
কমপক্ষে একটি টেল (T) আসে এমন অনুকূল ঘটনা ৩টি = {HT, TH, TT}

কমপক্ষে একটি টেল (T) পাবার সম্ভাবনা = ৩/৪

প্রশ্ন: EQUATION শব্দটির বর্ণগুলো হতে প্রত্যেকবার 4টি করে বর্ণ নিয়ে বিভিন্ন শব্দ গঠন করা হল, এদের কতগুলোতে Q বর্তমান থাকবে কিন্তু N থাকবে না?

সমাধান:
EQUATION শব্দটিতে বর্ণ আছে 8 টি 
N কে না নিলে বর্ণ হবে 7 টি
Q কে সর্বদা রাখলে আরও বর্ণ থাকে 7 - 1 = 6 টি
Q কে 4 টি অবস্থানে সাজানো যায় = 4 উপায়ে 
Q কে নির্দিষ্ট রাখলে বর্ণ নেয়া যাবে 4 - 1 = 3 টি

∴ 6 টি থেকে 3 টি নিয়ে সাজানো যায় = ⁶P₃ = 120

∴ মোট সাজানোর উপায় 4 × 120 = 480

প্রশ্ন: {x ∈ N : x² > 15 এবং x³ < 36} সেটটির তালিকা রূপ কোনটি?

সমাধান:
1² = 1, 1³ = 1, যা শর্তবিরোধী
2² = 4, 2³ = 8, যা শর্তবিরোধী
3² = 9, 3³ = 27, যা শর্তবিরোধী
4² = 16, 4³ = 64, যা শর্তবিরোধী
.....................................
.....................................

∴ {x ∈ N : x² > 15 এবং x³ <36} = ∅

প্রশ্ন: পরিসর ১২০ এবং শ্রেণিসংখা ১০ হলে, শ্রেণি ব্যবধান কত?

সমাধান:
শ্রেণি সংখ্যা = পরিসর/শ্রেণি ব্যবধান
⇒ শ্রেণি ব্যবধান = পরিসর/শ্রেণি সংখ্যা
= ১২০/১০
= ১২

প্রশ্ন: ইংরেজি বর্ণমালা থেকে দৈবভাবে একটি বর্ণ টানা হলে বর্ণটি স্বরবর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ইংরেজিতে মোট বর্ণমালার সংখ্যা = 26 এবং স্বরবর্ণের (A, E, I, O, U) সংখ্যা = 5
সুতরাং একটি স্বরবর্ণ পাওয়ার সম্ভাবনা = 5/26।

প্রশ্ন: APPLE শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
APPLE শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে এবং P বর্ণটি দুইবার আছে।

∴ সাজানোর উপায় = 5!/2!
= 60

প্রশ্ন: নিচের কোনটি দ্বারা  (A ∩ B) কে প্রকাশ করা যায়?

সমাধান:
ছেদ অপারেশন ∩ চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। A ∩ B -পড়ুন " A ছেদ বি " বা " A এবং B এর ছেদ " -কে A এবং B উভয়ের অন্তর্গত সমস্ত উপাদানের সমন্বয়ে গঠিত সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
(A ∩ B) = {x : x ∈ A এবং x ∈ B}

প্রশ্ন: অজিভ রেখার ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 10 হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6 × 6 = 36
10 হওয়ার ঘটনা = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} = 3 টি

∴ যোগফল 10 হওয়ার সম্ভাবনা = 3/36 = 1/12

প্রশ্ন: 6 জন গণিত ও 4 জন পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। যাতে গণিতের ছাত্রদের সংখ্যাগরিষ্ঠতা থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যায়?

সমাধান:
গণিত (6)        পদার্থ(4)
1) 6  __________  0 
2) 5 __________  1 
3) 4  __________ 2 

1) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = ⁶C₆ × ⁴C₀
= 1 × 1 = 1

2) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = ⁶C₅ × ⁴C₁
= 6 × 4 = 24 

3) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = ⁶C₄ × ⁴C₂ 
= 15 × 6
 = 90 

কমিটি গঠনের মোট উপায় = 1 + 24 + 90 = 115

প্রশ্ন: A = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} সেটের গঠন পদ্ধতি কোনটি?

সমাধান:
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 
প্রতিটি পূর্ণ সংখ্যা এবং স্বাভাবিক সংখ্যা যা 9 এর সমান বা 9 এর চেয়ে বড় এবং 15 এর সমান বা এর 15 এর চেয়ে ছোট।

∴ A = {X ∈ N : 9 ≤ x ≤ 15}

প্রশ্ন: প্রথম চারটি বিজোড় সংখ্যার পরিমিত ব্যবধান-

সমাধান:
১ম চারটি বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫, ৭
∴ সংখ্যাগুলোর গড় = (১ + ৩ + ৫ + ৭)/৪ = ৪
∴ পরিমিত ব্যবধান = √[{(৪ - ১)^২ + (৪ - ৩)^২ + (৪ - ৫)^২ + (৪ - ৭)^২}/৪]
= √{(৯ + ১ + ১ + ৯)/৪}
= √(২০/৪)
= √৫

প্রশ্ন: ⁿP_r = 240, ⁿC_r = 120 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
ⁿP_r = 240, ⁿC_r = 120 
আমরা জানি,
ⁿP_r/ⁿC_r = r!
বা, 240/120 = r!
বা, 2 = r!
বা, 2! = r!
বা, r = 2

প্রশ্ন: A = {x : x বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 19} হলে, A সেটের উপাদান সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
A = {x : x বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 19}
∴ A = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
∴ A সেটের উপাদান সংখ্যা ৭টি

প্রশ্ন: আগস্ট মাসের ৭ দিনের তাপমাত্রা যথাক্রমে ৩৫°, ৪০°, ৩৭°, ৪১°, ৩২°, ৪৪°, ৩০° সে.। শ্রেণিব্যাপ্তি ৩ হলে উপাত্তগুলোর শ্রেণি সংখ্যা কত?

সমাধান:
উপাত্তসমূহ: ৩৫°, ৪০°, ৩৭°, ৪১°, ৩২°, ৪৪°, ৩০°
সর্বোচ্চ উপাত্ত = ৪৪
সর্বনিম্ন উপাত্ত = ৩০

উপাত্ত গুলোর পরিসর = (৪৪ - ৩০) + ১
= ১৪ + ১
= ১৫

শ্রেণিব্যাপ্তি = ৩

∴ শ্রেণি সংখ্যা = ১৫/৩ = ৫

প্রশ্ন: লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, একই সংখ্যার জোড়া না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6²
= 36

লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে, একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার অনুকূল ঘটনা
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
= 6 টি

একই সংখ্যার জোড়া পাওয়ার সম্ভাবনা = 6/36 = 1/6

∴ একই সংখ্যার জোড়া না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (1/6)
= (6 - 1)/6
= 5/6

প্রশ্ন: 'ALGEBRA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'ALGEBRA' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি
Vowel আছে 3টি
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় = 3!/2! = 3 [ A আছে ২টি]

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3
= 120 × 3
= 360

প্রশ্ন: A = {x : x² - 3x = 0} হলে, A এর তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশিত সেট কোনটি?

সমাধান:
x² - 3x = 0
⇒ x(x - 3) = 0
⇒ x = 0 অথবা x - 3 = 0
                    ∴ x = 3

∴ A = {0, 3}

প্রশ্ন: 2, 4 এবং 64 এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড়


∴ 2, 4 এবং 64 এর জ্যামিতিক গড় = (2 × 4 × 64)^1/3
= (512)^1/3
=(8³)^1/3
=8

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৫টি লাল বল, ৭টি নীল বল এবং ৩টি সবুজ বল আছে। ব্যাগ থেকে একটি বল দ্বৈবভাবে নেওয়া হলো। বলটি লাল বা সবুজ বল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বলের সংখ্যা = ৫ + ৭ + ৩ = ১৫
সবুজ ও লাল বলের সংখ্যা = ৫ + ৩ = ৮

এখন, বলটি লাল বা সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/১৫
∴ বলটি লাল বা সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৮/১৫)
= ৭/১৫

প্রশ্ন: (n + 3)! = 90 × (n + 1)! হলে n এর মান কত? 

সমাধান: 
(n + 3)! = 90 × (n + 1)!
⇒ (n + 3)(n + 2) × (n + 1)! = 90 × (n + 1)!
⇒ n² + 5n + 6 = 90
⇒ n² + 5n - 84 = 0
⇒ n² + 12n - 7n - 84 = 0
⇒ n( n + 12) - 7(n + 12) = 0
⇒ (n - 7)(n + 12) = 0
হয় n - 7 = 0     অথবা n + 12 = 0
∴   n = 7                     n = - 12

প্রশ্ন: সকল পূর্ণসংখ্যার সেট কোনটি?

সমাধান:
আমরা জানি সকল স্বাভাবিক সংখ্যাই (N) পূর্ণসংখ্যা (Z), আবার সকল পূর্ণসংখ্যাই (Z) মূলদ সংখ্যা (Q), আবার সকল মূলদ সংখ্যাই (Q) বাস্তব সংখ্যার (R) অন্তর্ভুক্ত। যেহেতু এরা প্রত্যেকেই পরস্পরের উপসেট তাই এদেরকে N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R এভাবে প্রকাশ করা যায়।

প্রশ্ন: 14, 13, 14, 8, 9, 15, 26, 10, 17, 21 সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি উপাত্তের সংখ্যা n হয় আর n যদি জোড় হয় তবে মধ্যক হবে n/2 তম ও {(n/2) + 1} তম পদ দুইটির সাংখ্যিক মানের গড়।

উপাত্তগুলোকে মানের উর্ধক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই- 
8, 9, 10, 13, 14, 14, 15, 17, 21, 26
 উপাত্ত সংখ্যা = 10

মধ্যক হবে 10/2 তম ও {(10/2) + 1)} তম পদ দুইটির সাংখ্যিক মানের গড়
  = 5তম ও 6তম পদ দুইটির সাংখ্যিক মানের গড়

∴ মধ্যক = (14 + 14)/2 =14

প্রশ্ন: এক প্যাকেট তাস হতে একটি তাস তোলা হলো তাসটি কালো অথবা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট তাস = 52 টি
মোট টেক্কা = 4 টি
মোট কালো টেক্কা = 2 টি
মোট কালো তাস = 26 টি
একটি তাস টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52
একটি তাস কালো টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 2/52
একটি তাস কালো তাস হওয়ার সম্ভাবনা = 26/52
∴ তাসটি কালো বা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা = 4/52 + 26/52 - 2/52
= (4 + 26 - 2)/52
= 28/52
= 7/13

প্রশ্ন: ১২টি বই থেকে ৫টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
২টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকলে (১২ - ২) বাকী ১০টি বই থেকে (৫ - ২) ৩টি বই বাছাই করতে হবে।
∴ বাছাই করার উপায় = ^১০C_৩
= ১২০ উপায়ে

প্রশ্ন: A = {1, 2, 3, a, b, c} হলে P(A) এর উপাদান কয়টি?

সমাধান:
A = {1, 2, 3, a, b, c}
A সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 6 
P(A) = 2ⁿ = 2⁶ = 64

প্রশ্ন: ২, ৭, ৯, ২, ৭, ৫, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩ সংখ্যাগুলোর প্রচুরক নিচের কোনটি?

সমাধান:
২ সংখ্যাটি আছে ২ বার।
৫ সংখ্যাটি আছে ২ বার।
৭ সংখ্যাটি আছে ৩ বার।

যেহেতু, ৭ সংখ্যাটি অধিকবার আছে, তাই সংখ্যাগুলোর প্রচুরক ৭। 

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 3/4, A ও B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) এর মান কত?

সমাধান:
P(A) = 1/3, P(B) = 3/4 

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
= P(A) + P(B) - P(A).P(B) [যেহেতু A ও B স্বাধীন]
= (1/3 + 3/4) - (1/3 × 3/4)
= 1/3 + 3/4 - 1/4
= (4 + 9 - 3)/12
 = 10/12
 = 5/6

প্রশ্ন: 1, 2, 3, 4, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে?

সমাধান:
মোট সংখ্যা n = 5 টি
ঘর r = 4 টি 

মোট টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে = nr = 5⁴ = 625টি

প্রশ্ন: x, y ও z এর গড় 5 হলে x, y, z ও 9 এর গড় কত?

সমাধান:
x, y ও z এর গড় 5
x, y ও z এর সমষ্টি = 5 × 3 = 15

x, y, z ও 9 এর সমষ্টি = 15 + 9 = 24
x, y, z ও 9 এর গড় = 24/4 = 6

প্রশ্ন: PROBABILITY শব্দটি থেকে যেকোন একটি বর্ণ নিলে, বর্ণটি consonant হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
PROBABILITY শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ১১ টি
Vowel আছে (O, A, I, I)  ৪টি
বাকী (১১ - ৪) = ৭টি consonant 

বর্ণটি consonant হওয়ার সম্ভাবনা  = ৭/১১

প্রশ্ন: ১০টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা = (n - 1)!/2

বিন্যাস সংখ্যা = (10 - 1)!/2
= 9!/2
= 181440

প্রশ্ন: যদি A = {2, 3} এবং B = {6, 7} হয়, তবে A × B নিচের কোনটি?

সমাধান:
A = {2, 3}
B = {6, 7}

A × B = {2, 3} × {6, 7}
= {(2, 6), (2, 7), (3, 6), (3, 7)}

প্রশ্ন: 6, 1, 7, 2, 3, 7, 8, 7, 10, 16 উপাত্তগুলোর মধ্যক ও প্রচূরকের পার্থক্য নির্ণয় করুন।

সমাধান:
মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজালে পাওয়া যায় 1, 2, 3, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 16.
এখানে পদের সংখ্যা 10.
সুতরাং 10/2 তম এবং এবং (10/2 + 1) তম অর্থাৎ, পঞ্চম ও ষষ্ঠ পদ দুইটি মধ্যম পদ যাদের মান যথাক্রমে 7 ও 7. এ দুইটির গাণিতিক গড় হল 7.
সুতরাং মধ্যক হল 7.

সবচেয়ে বেশি উপাত্ত আছে 7। তাই প্রচূরক 7.

∴ মধ্যক ও প্রচূরকের পার্থক্য = 7 - 7 = 0

প্রশ্ন: রাত ১১:৫৯ মিনিটে বাইরে তুমুল ঝড় বৃষ্টি হচ্ছে। ঠিক ৯৬ ঘণ্টা পর রৌদ্রোজ্জ্বল আবহাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
রাত ১১.৫৯ মিনিট থেকে ৯৬ ঘণ্টা পর আবারো রাত ১১:৫৯ মিনিট'ই হবে।
অর্থাৎ তখনও রাত থাকবে।
রাতে রৌদ্রোজ্জ্বল আবহাওয়ার সম্ভাবনা নেই, এটি অসম্ভব ঘটনা।
∴ ৯৬ ঘণ্টা পর রৌদ্রোজ্জ্বল আবহাওয়ার সম্ভাবনা ০

প্রশ্ন: একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় ৪৩৫টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
আমরা জানি করমর্দন দুইজনের মাঝে সংঘটিত হয়।
ধরি,
সভায় লোকের সংখ্যা n জন

∴ ⁿC₂ = 435
⇒ n!/{2! ×(n - 2)!} = 435
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2! ×(n - 2)!} = 435
⇒ n(n - 1)/2 = 435
⇒ n² - n = 870
⇒ n² - n - 870 = 0
⇒ n² - 30n + 29n - 870 = 0
⇒ n(n - 30) + 29(n - 30) = 0
⇒ (n - 30)(n + 29) = 0
⇒ n - 30 = 0 অথবা n + 29 = 0
∴ n = 30 অথবা n = - 29
ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ n = 30

∴ সভায় মোট লোক ছিল ৩০ জন।

প্রশ্ন: 'CAPACITY ' শব্দটির অক্ষরগুলো কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে P এবং শেষে T থাকবে?

সমাধান:
'CAPACITY ' শব্দটিতে বর্ণ আছে ৮টি। 
A = 2 টি
C= 2 টি

 প্রথমে P এবং শেষে T থাকবে

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
 = 180 উপায়ে

প্রশ্ন: ৮, ৯, x, ১২, ১৪, ১৬ সংখ্যাগুলোর মধ্যক ১১ হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
৮, ৯, x, ১২, ১৪, ১৬ সংখ্যাগুলোর মধ্যক = (x + ১২)/২ 

(x + ১২)/২ = ১১
⇒ x + ১২ = ২২ 
⇒ x = ২২ - ১২ 
∴ x = ১০