গুরুত্বপূর্ণ টপিকের উপর পরীক্ষা - ১৩৫ মার্কস্‌ কাভার

- গণপ্রজাতন্ত্রী বাংলাদেশের সংবিধানের অষ্টম ভাগের অনুচ্ছেদ ১২৭(১) অনুযায়ী বলা আছে, মহা হিসাব-নিরীক্ষক ও নিয়ন্ত্রক  পদের  নিয়োগদান দানের কথা।
- বাংলাদেশের একজন মহা হিসাব-নিরীক্ষক ও নিয়ন্ত্রক  থাকবেন এবং তাঁকে রাষ্ট্রপতি নিয়োগদান করবেন। 
- অনুচ্ছেদ ১২৭(২) অনুযায়ী বলা আছে, এই সংবিধান ও সংসদ কর্তৃক প্রণীত যে কোন আইনের বিধানাবলী সাপেক্ষে মহা হিসাব-নিরীক্ষকের কর্মের শর্তাবলী রাষ্ট্রপতি আদেশের দ্বারা নির্ধারণ করিবেন.

উৎস:- বাংলাদেশ সংবিধান।

- ১৯৭১ সালের ১৬ ডিসেম্বর  স্বাধীনতা লাভের পর গণপ্রজাতন্ত্রী বাংলাদেশে- চারটি মূলনীতি,এগারটি ভাগ, মোট সাতটি তফসিল এবং ১৫৩টি অনুচ্ছেদ নিয়ে  স্বাধীন বাংলাদেশে একটি উত্তম সংবিধান রচিত হয়।
- বাংলাদেশ সংবিধানের সপ্তম ভাগ 'নির্ববাচন' অংশে প্রাপ্ত বয়স্কের ভোটাধিকারের কথা বলা আছে।
- বাংলাদেশ সংবিধানের অনুচ্ছেদ ১২২(১) ও (২) অনুযায়ী ভোটার-তালিকায় নামভুক্তির যোগ্যতা:- 
- প্রাপ্ত বয়স্কের ভোটাধিকার-ভিত্তিতে সংসদের নির্বাচন অনুষ্ঠিত হবে। 
 - কোন ব্যক্তি সংসদের নির্বাচনের জন্য নির্ধারিত কোন নির্বাচনী এলাকায় ভোটার-তালিকাভু্ক্ত হওয়ার অধিকারী হবেন, যদি 
(ক) তিনি বাংলাদেশের নাগরিক হন;  
(খ) তাঁর বয়স আঠার বৎসরের কম না হয়; 
(গ) কোন যোগ্য আদালত কর্তৃক তাঁর সম্পর্কে অপ্রকৃতিস্থ বলে ঘোষণা বহাল না থাকে; 
(ঘ) তিনি ঐ নির্বাচনী এলাকার অধিবাসী বা আইনের দ্বারা ঐ নির্বাচনী এলাকার অধিবাসী বিবেচিত হন; এবং 
 (ঙ) তিনি ১৯৭২ সালের বাংলাদেশ যোগসাজশকারী (বিশেষ ট্রাইব্যুনাল) আদেশের অধীন কোন অপরাধের জন্য দণ্ডিত না হয়ে থাকেন।

উৎস:- বাংলাদেশ সংবিধান।

- ইলেকট্রনিক ভোটিং মেশিন বা ইভিএম হচ্ছে আধুনিক বিশ্বে গণতান্ত্রিক প্রক্রিয়ায় ভোট দেওয়ার একটি ডিজিটাল যন্ত্র।
- এটি একাধারে সঠিকভাবে ভোটগ্রহণ ও দ্রুততার সঙ্গে তা গণনা করতে সক্ষম।
- ১৯৬৪ সালে প্রথমবারের মতো যুক্তরাষ্ট্রের সাতটি অঙ্গরাজ্যের নির্বাচনে ইলেকট্রনিক ভোটিং মেশিন ব্যবহার করা হয়।
- বাংলাদেশে এর যাত্রা শুরু হয় ২০০৭ সালে ঢাকা অফিসার্স ক্লাবের কার্যকরী সংসদ নির্বাচনের মাধ্যমে।
- পরবর্তী সময়ে ২০১০ সালে চট্টগ্রাম সিটি করপোরেশন নির্বাচনে পরীক্ষামূলকভাবে ১৪টি ভোটকেন্দ্রে ইভিএম ব্যবহার করে ভোট নেওয়া হয়।
- অস্ট্রেলিয়া, বেলজিয়াম, ব্রাজিল, কানাডা, ফ্রান্স, জার্মানি, ভারতসহ বিভিন্ন দেশে ইভিএমের সাহায্যে ভোট নিতে দেখা যায়।
- ভোটকেন্দ্রেই মূলত ইভিএম ব্যবহার করা হয়। প্রতিটি ইলেকট্রনিক ভোটিং মেশিনের ব্যালট, কন্ট্রোল, ডিসপ্লে নামের একাধিক ইউনিট থাকে।
- ব্যালট ইউনিটের ওপর প্রতিটি প্রার্থীর নাম ও প্রতীক সাজানো থাকে।
- পাশে থাকে একটি করে সুইচ।
- ভোটার তার পছন্দের প্রতীকের পাশের সুইচ চেপে ভোট দেন।
- প্রতিটি কেন্দ্রের দায়িত্বপ্রাপ্ত সহকারী প্রিজাইডিং অফিসারের কাছে থাকে ইভিএমের কন্ট্রোল ইউনিট।

   উৎস:- দৈনিক ইত্তেফাক।

- বাংলাদেশ সংবিধানের দ্বিতীয় ভাগে (৮-২৫) রাষ্ট্র পরিচালনার মূলনীতি মূলনীতিসমূহ বর্ণনা করা হয়।
 - এই সংবিধানের অনুচ্ছেদ ৮(১) অনুযায়ী জাতীয়তাবাদ, সমাজতন্ত্র, গণতন্ত্র ও ধর্মনিরপেক্ষতা- এই নীতিসমূহ এবং তৎসহ এই নীতিসমূহ    হতে উদ্ভূত এই ভাগে বর্ণিত অন্য সকল নীতি রাষ্ট্র পরিচালনার মূলনীতি বলে পরিগণিত হবে।
- এই সংবিধানের অনুচ্ছেদ ৮(২) অনুযায়ী এই ভাগে বর্ণিত নীতিসমূহ বাংলাদেশ-পরিচালনার মূলসূত্র হবে, আইন-প্রণয়নের সময় রাষ্ট্র তা প্রয়োগ করবেন, এই সংবিধান ও বাংলাদেশের অন্যান্য আইনের ব্যাখ্যাদানের ক্ষেত্রে তাহা নির্দেশক হবে এবং তা রাষ্ট্র ও নাগরিকদের কার্যের ভিত্তি হবে, তবে এই সকল নীতি আদালতের মাধ্যমে বলবৎযোগ্য হবে না ৷

- অনুচ্ছেদ-৬ নাগরিকতা।
- অনুচ্ছেদ-৫ বাংলাদেশের রাজধানী ঢাকা।
- অনুচ্ছেদ-৭ সংবিধানের প্রাধান্য।
 
উৎস: - বাংলাদেশ সংবিধান।

একটি কোণের পরিমাণ ৩৪০° হলে, কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ। 
প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle )
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলা হয়। চিত্রে চিহ্নিত ∠AOC প্রবৃদ্ধ কোণ 

প্রদত্ত চিত্রে, AB || CD এবং PQ ছেদক এদের যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে। নিচের কোনটি সঠিক? 



সুতরাং,
ক) ∠ PEB = অনুরূপ ∠ EFD [সংজ্ঞানুসারে]
খ) ∠ AEF = একান্তর ∠EFD 
গ) ∠BEF + ∠EFD = দুই সমকোণ

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 49√3 সে.মি. হলে উহার পরিসীমা কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² এবং পরিসীমা 3a।

শর্তমতে,
(√3/4) × a² = 49√3
বা, a² = 49 × 4
বা, a² = 196
বা, a = 14

পরিসীমা = 3a
= 3 × 14
= 42 সে.মি.

বিপ্রতীপ কোণ :
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে ।
চিত্রে, OA ও OB পরস্পর বিপরীত রশ্মি। আবার, OC ও OD পরস্পর বিপরীত রশ্মি।
∠AOC ও ∠BOD পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। আবার, ∠BOC ও ∠AOD পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ । O উভয় বিপ্রতীপ কোণ যুগলের শীর্ষবিন্দু।
দুইটি সরলরেখা কোনো বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করলে, ছেদ বিন্দুতে দুই জোড়া বিপ্রতীপ কোণ উৎপন্ন হয়।

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 3 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 6 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 75 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 3) মিটার

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 6 × (x + x + 3) বর্গ মিটার

প্রশমতে,
(1/2) × 6 × (x + x + 3) = 75
বা, 2x + 3 = 25
বা, 2x = 22
বা, x = 11

বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 11 + 3 = 14 মিটার

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 11 : 7 হলে বড় কোণের মান কত? 

সমাধান: 
ধরি,
কোণ দুইটি যথাক্রমে 11x ও 7x

প্রশ্নমতে,
11x + 7x = 180°
বা, 18x = 180°
বা, x = 10°

বড় কোণের মান =  11 × 10° = 110°

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হয় তবে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বাড়বে? 

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2r

প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)² = 4πr²

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = 4πr² - πr² = 3πr²

শতকরা বৃদ্ধি পেয়েছে = (3πr²/πr²) × 100 = 300%

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল 338 বর্গ সে.মি. যদি উচ্চতা ভূমির দ্বিগুণ হয়, তবে সামান্তরিকের উচ্চতা কত? 

সমাধান:
সামান্তরিকের ভূমি  x সে.মি.
সামান্তরিকের উচ্চতা  2x সে.মি.

প্রশ্নমতে 
2x × x  = 338
2x² = 338
x² = 169
x² = 13²
x = 13

সামান্তরিকের উচ্চতা  = 2 × 13= 26 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ? 

সমাধান: 
ধরি 
বর্গক্ষেত্রের একবাহু = a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a

এখন 
পরিসীমা/কর্ণ =  4a/√2a
পরিসীমা/কর্ণ = 4/√2
 পরিসীমা/কর্ণ = 2√2.√2/√2
পরিসীমা/কর্ণ = 2√2
পরিসীমা = 2√2 × কর্ণ

একটি বর্গের পরিসীমা এর কর্ণের 2√2 গুণ

প্রশ্ন : একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √30 সেমি হলে, বর্গক্ষেত্রটির  ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান : 
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = a সেমি হলে 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 সেমি

 বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য √30 হলে,
 বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √30/√2 
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (√30/√2)² = 30/2 = 15 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ  45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফর কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ =  45°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b =16 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) ×16 × 16 × sin45°
= (1/2) ×16 × 16× (1/√2)
= 64√2 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. এবং প্রস্থ 12 সে.মি. হলে উহার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2(16 + 12) সে.মি.
= 56 সে.মি.

রম্বসের পরিসীমা = 56 সে.মি.
রম্বসের বাহুর দৈর্ঘ্য = 56/4 = 14 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ২০০ মিটার। প্রস্থ দৈর্ঘ্যের ৩/৭ অংশ হলে, দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
মনেকরি 
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭ক 
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৭ক  এর ৩/৭ = ৩ক 

প্রশ্নমতে 
২(৭ক + ৩ক) = ২০০
২০ক = ২০০
ক = ১০

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৭ক = ৭ × ১০ = ৭০ মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি এর তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর ।
এখানে একমাত্র 5 + 6 > 7 বাহু গুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।

ত্রিভুজ সংক্রান্ত আরো কিছু তথ্য: 
- কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- কোনো ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
- ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

প্রশ্ন : একটি বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের পার্থক্য 180 সে.মি. হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি.? 

সমাধান : 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি. 
বৃত্তের ব্যাস = 2r সে.মি.
বৃত্তের পরিধি =2πr সে.মি.

প্রশ্নমতে,
বা, 2πr - 2r =180
বা, 2r(π - 1) = 180
বা 2r{(22/7) - 1} = 180
বা, 2r(15/7) = 180
বা, 30r/7 = 180
বা, r = (180 × 7)/30
∴ r = 42

বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°
∠ABC + ∠ADC = দুই সমকোণ
 ∠BAD + ∠BCD = দুই সমকোণ ।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের তিনগুণ। যদি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ a হয়, তবে আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ  = a
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 3a

আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √{a² + (3a)²}
= √(a² + 9a²)
= √(10a²)
= a√10

প্রশ্ন: 5 একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির কত শতাংশ?

সমাধান:
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (5)² = 25π
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 2 × π × 5 = 10π

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার পরিধির = (25π/10π) × 100 = 250 শতাংশ

AOB একটি সরলরেখা। উহার ∠AOC = (3x + 20)° এবং ∠BOC = (4x - 36)°হলে, x এর মান কত? 
 

সমাধান: 
∠AOC = (3x + 20)° 
∠BOC = (4x - 36)°

∠AOC + ∠BOC = 180°
(3x + 20)° + (4x - 36)° = 180°
3x° + 20°  + 4x° - 36° = 180°
7x° - 16° = 180°
7x° = 180° + 16°
7x° = 196°
x = 196°/7
x = 28°

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ০.১৮ মি  ও ৮ সে. মি। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
রম্বসের একটি কর্ণ  = ০.১৬ মি  = .১৮ × ১০০= ১৮ সে. মি
রম্বসের অপর কর্ণ = ৮ সে. মি

আমরা জানি
রম্বসের ক্ষেত্রফল = (১/২)(দুই কর্ণের গুনফল)
                           = (১/২)(১৮ × ৮)
                           = ৭২ বর্গ সে. মি

প্রশ্ন: 14 সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
বৃত্তের ব্যাস = 14 সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r  = 14/2 = 7 সে.মি.

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= π × 7² 
= 49π
= 49 × (22/7)
= 154 বর্গ সে.মি.

অর্ধ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 154/2 = 77 বর্গ সে.মি.

ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ফলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ? 


১. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
২. ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর।
৩. সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় পরস্পর পূরক।
বহিঃস্থ কোণ ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC = 75° + 65° = 140°