৪৫ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [বিষয়ভিত্তিক] - Archived

প্রশ্ন: 42 ফুট লম্বা একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেলো যে তা সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গেছিল?

সমাধান:

চিত্রে AB = 42 ফুট  
এবং AD = DC = 42 - BD

প্রশ্নমতে,
sin 30° = BD/DC
⇒ 1/2 = BD/(42 - BD)
⇒ 2BD = 42 - BD
⇒ 3BD = 42
⇒ BD = 42/3 = 14 ফুট  

প্রশ্ন: একটি ছক্কা কে একবার নিক্ষেপ করা হলে 2 থেকে বড় সংখ্যা না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে মোট নমুনা ক্ষেত্র হবে = 6¹ = 6 টি

নমুনা ক্ষেত্র গুলো হবে = 1, 2, 3, 4, 5, 6

এখন, সংখ্যা গুলোর মধ্যে 2 থেকে বড় সংখ্যা গুলো হলো = 3, 4, 5, 6 অর্থাৎ 4 টি ।

∴ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে 2 থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা = 4/6 = 2/3

∴ 2 থেকে বড় সংখ্যা না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (2/3) = (3 - 2)/3 = 1/3 

বিকল্প:
ছক্কায় 2 থেকে বড় নয় এমন সংখ্যা হলো- 1, 2 অর্থাৎ 2 টি। 

∴ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে 2 থেকে বড় সংখ্যা না আসার সম্ভাবনা = 2/6 = 1/3

প্রশ্ন: 5,9,13,17........ অনুক্রমটির প্রথম 16 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
সমান্তর অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 9 - 5 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর অনুক্রমের n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}

∴ প্রদত্ত অনুক্রমটির 16 টি পদের সমষ্টি = (16/2){(2 × 5) + (16 - 1)4}
= 8 × {10 + (15 × 4)}
= 8 × (10 + 60)
= 8 × 70 
= 560

প্রশ্ন: একটি সভা শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সভায় উপস্থিত লোকের সংখ্যা 20 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকের সংখ্যা = 20

∴  হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = ²⁰C₂
= 20!/{2! × (20 - 2)!} 
= 20!/(2! × 18!)
= (20 × 19 × 18!)/(2! × 18!)
= 190

প্রশ্ন: E গুলো একত্রে এবং প্রথমে রেখে "ENGINEERING" শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
"ENGINEERING" শব্দটিতে
মোট বর্ণ = ১১টি 
যেখানে,
E = ৩টি,
N = ৩টি,
G = ২টি,
I = ২টি
এবং R = ১টি।

শর্ত অনুযায়ী, E গুলো একত্রে এবং প্রথমে থাকবে। অর্থাৎ E গুলোর অবস্থান নির্দিষ্ট। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা = ৮!/(৩! × ২! × ২!) 
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩!)/(৩! × ২ × ২)
= ১৬৮০ 

প্রশ্ন: 3, 9, 27, 81 ,.................. অনুক্রমটির কততম পদ 6561 ?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3
ধরি,
n-তম পদ = 6561

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 6561
⇒ 3 × 3^{n - 1}= 6561
⇒ 3^{n - 1} = 6561/3
⇒ 3^{n - 1} = 2187
⇒ 3^{n - 1} = 3⁷
⇒ n - 1 = 7
⇒ n = 7 + 1
⇒ n = 8

প্রশ্ন: পরিসংখ্যানের অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জিভূত হয়। উপাত্তের এই প্রবণতাকে কী বলা হয়?

সমাধান:
উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকে বলা হয় কেন্দ্রীয় প্রবণতা।

অনুসন্ধানাধীন অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে, উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জীভূত হয়।
আবার অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে উপস্থাপন করা হলে মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যার প্রাচুর্য দেখা যায়।
অর্থাৎ, মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যা খুব বেশি হয়। বস্তুত উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার এই প্রবণতাই হলো কেন্দ্রীয় প্রবণতা।
কেন্দ্রীয় মান একটি সংখ্যা এবং এই সংখ্যা উপাত্তসমূহের প্রতিনিধিত্ব করে। এই সংখ্যা দ্বারা কেন্দ্রীয় প্রবণতা পরিমাপ করা হয়।

সাধারণত কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হলো:
- গাণিতিক গড়, মধ্যক, প্রচুরক।

প্রশ্ন: tanA = 4/3 হলে, sinA= ?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
tanA = 4/3

A কোণের বিপরীত বাহু = 4,
সন্নিহিত বাহু = 3

এখন,
অতিভুজ² = 4² + 3² 
⇒ অতিভুজ² = 16 + 9
⇒ অতিভুজ² =25
⇒ অতিভুজ =√25
⇒ অতিভুজ = 5

সুতরাং, sinA = লম্ব/অতিভুজ = 4/5

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ................. ধারাটির কততম পদ 33?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 3 = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d

মনে করি, 
n তম পদ = 33

∴ a + (n - 1)d = 33
⇒ 3 + (n - 1)3 = 33
⇒ 3 + 3n - 3 = 33
⇒ 3n = 33
⇒ n = 33/3
⇒ n = 11

প্রশ্ন: ৫ জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - ১)! উপায়ে 

 ৫ জন ব্যক্তিকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (৫ - ১)!
= ৪!
= ২৪ উপায়ে

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় অবস্থানে রেখে 'DETAIL' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো?

সমাধান:
DETAIL শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্য = 6 টি
স্বরবর্ণ আছে = 3 টি এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।
বিজোড় অবস্থান = 3 টি (1, 3, 5)

∴ স্বরবর্ণগুলো 3 টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ³P₃ = 6 

বাকি বর্ণগুলো 3 টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস = ³P₃ = 6

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6 = 36

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 +.................. ধারাটির 10ম পদ কত? 

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 1/2
n-তম পদ = ar^n-1
∴ 10ম পদ = ar^{(10 - 1)}
= 64 × (1/2)⁹
= 64 × (1/2⁹)
= 2⁶/2⁹
= 1/2³
= 1/8

প্রশ্ন: 10, 4, 3, 2, 14, 8, 1, 20, 11, 5, 38, 9, 18, 7, 6, 8, 26, 12, 17, 19, 16, 8, 13, 15 প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 26, 38 
 
প্রদত্ত উপাত্তে 8 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার রয়েছে।

∴ উপাত্তগুলোর প্রচুরক হলো 8

প্রশ্ন: n(A) = 40, n(A ∩ B) = 10 এবং n(A ∪ B) = 50 হলে n(B) = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(S) = 100,
n(A) = 40,
n(A ∩ B) = 10
এবং n(A ∪ B) = 50

আমরা জানি,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
⇒ 50 = 40 + n(B) - 10
⇒ 50 = n(B) + 30
⇒ n(B) = 50 - 30
⇒ n(B) = 20

প্রশ্ন: sin2θ = (√3)/2 হলে, θ এর মান কত?

সমাধান:
sin2θ = (√3)/2
⇒ sin2θ = sin 60°
⇒ 2θ = 60°
⇒ θ = 60°/2
⇒ θ = 30°

প্রশ্ন: একটি প্যাকেটে ৬টি কালো এবং ৮ টি লাল এবং ১০ টি সবুজ কলম আছে, দৈবভাবে একটি কলম তুলে নিলে সেটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
প্যাকেটে মোট কলম সংখ্যা = (৬ + ৮ + ১০) টি
= ২৪ টি 

কলমটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/২৪
= ১/৪ 

∴ কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৪) 
= (৪ - ১)/৪
= ৩/৪ 

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ৭, শেষ পদ ৪৬ এবং সাধারণ অন্তর ৩ হলে ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ = ৭
শেষ পদ = ৪৬ 
সাধারণ অন্তর = ৩

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(৪৬ - ৭)/৩} + ১
= (৩৯/৩) + ১
= ১৩ + ১
= ১৪

প্রশ্ন:  এক ব্যক্তির ৬ জন বন্ধু আছেন। তিনি তার জন্মদিনে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে নিমন্ত্রণ করতে পারেন?

সমাধান:
১ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C১ = ৬!/{১! × (৬ - ১)! = (৬ × ৫!)/৫! = ৬
২ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_২ = ৬!/{২! × (৬ - ২)! = (৬ × ৫ × ৪!)/(২ × ১ × ৪!) = ১৫
৩ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_৩ = ৬!/{৩! × (৬ - ৩)! = (৬ × ৫ × ৪ × ৩!)/(৩ × ২ × ৩!) = ২০
৪ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_৪ = ৬!/{৪! × (৬ - ৪)! = (৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২!)/(৪ × ৩ × ২ × ২!) = ১৫
৫ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_৫ = ৬!/{৫! × (৬ - ৫)! = (৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১!)/(৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১!) = ৬ 
৬ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_৬ = ৬!/{৬! × (৬ - ৬)! = ৬!/(৬! × ০!) = ১

∴ মোট উপায় সংখ্যা = ৬ + ১৫ + ২০ + ১৫ + ৬ + ১ = ৬৩

বিকল্প:
প্রতিটি বন্ধুর জন্য নিমন্ত্রনের উপায় = ২ টি ( নিমন্ত্রন করা কিংবা না করা)

৬ জন বন্ধুর জন্য মোট উপায় সংখ্যা = ২^৬ - ১
= ৬৪ - ১ = ৬৩ (কাউকে না কাউকে নিমন্ত্রন করবেনই)

প্রশ্ন: প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার ব্যবহার করে 8, 9, 7, 6, 3, 2 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট অঙ্ক সংখ্যা = 6 টি।
6 টি অঙ্ক থেকে 3 টি অঙ্ক একবার করে নিয়ে মোট সংখ্যা গঠন করা যাবে,
⁶P₃
= 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 120 টি

প্রশ্ন: 0.3 + 0.03 + 0.003 + .................  ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.3 = 3/10
সাধারণ অনুপাত, r = 0.03/0.3
= 3/30
= 1/10

∴ গুণোত্তর ধারার অসীম পদের সমষ্টি = a/(1 - r) 
= (3/10)/{1 - (1/10} 
= (3/10)/{(10 - 1)/10}
= (3/10)/(10/9)
 = (3/10)/(9/10)
= 1/3

প্রশ্ন: ১ থেকে ২৩ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
১ থেকে ২৩ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো-  ৪, ৮, ১২, ১৬, ২০
মোট উপাত্ত, n = ৫ টি

∴ মধ্যক = (n + ১)/২ = (৫ + ১)/২ = ৬/২ = ৩য় পদ

∴  ১ থেকে ২৩ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলোর
মধ্যক = ৩য় পদ অর্থাৎ ১২

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষে ২৫ জন ছাত্র ক্রিকেট খেলে, ২৫ জন ছাত্র ফুটবল খেলে এবং ১০ জন ছাত্র উভয় খেলাই খেলে। ১০ জন ছাত্র কোনো খেলাই খেলে না। ঐ শ্রেণিকক্ষে মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ক্রিকেট খেলে = ২৫ জন 
ফুটবল খেলে = ২৫ জন
উভয় খেলা খেলে = ১০ জন
কোনো খেলাই খেলে না = ১০ জন

শুধু ক্রিকেট খেলে = (২৫ - ১০) জন = ১৫ জন
শুধু ফুটবল খেলে = (২৫ - ১০) জন = ১৫ জন

∴ মোট ছাত্রসংখ্যা = শুধু ক্রিকেট খেলে + শুধু ফুটবল খেলে + উভয় খেলা খেলে + কোনো খেলা খেলে না 
= ১৫ + ১৫ + ১০ + ১০ 
= ৫০ জন 

প্রশ্ন: একটি প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস নির্বাচন করা হলে কার্ডটি রাজা বা রাণী হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
প্যাকেটে মোট তাস থাকে = ৫২ টি 

৫২ টি তাসে রাজা বা রাণীর সংখ্যা = (৪ + ৪) টি = ৮ টি 

∴ তাসটি রাজা বা রাণী হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/৫২ = ২/১৩ 

প্রশ্ন: প্রথম 12 টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6

∴ 12টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {12 × (12 + 1) × (2 × 12 + 1)}/6 
= {12 × 13 × 25}/6
= 3900/6
= 650

প্রশ্ন: 15 সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল কতভাবে নির্বাচন করা যায়?

সমাধান: 
15 সদস্য বিশিষ্ট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল বাছাই করতে হলে, ২ জন কে বাছাই এর বাইরে রাখতে হবে।
(১৫ - ২) = ১৩ জনের মধ্য থেকে (১১ - ২) = ৯ জন কে বাছাই করতে হবে। 

উপায় সংখ্যা = ^১৩C_৯ 
= ১৩!/{৯! × (১৩ - ৯)!}
= ১৩!/(৪! × ৯!)
= (১৩ × ১২ × ১১ × ১০ × ৯!)/(৪ × ৩ × ২ × ৯!)
= ৭১৫

∴ মোট উপায় সংখ্যা = ৭১৫ 

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে প্রথমে রেখে GARDEN শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
GARDEN শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৬টি।
স্বরবর্ণ আছে ২টি।

প্রথমে স্বরবর্ণ রেখে নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = ২! = ২

বাকি ৪ অবস্থানে অবশিষ্ট ৪ টি অক্ষর রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ৪! = ৪ × ৩ × ২ = ২৪ 

∴ স্বরবর্ণগুলোকে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ২ × ২৪ = ৪৮ উপায়ে।

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি প্রথম দিনে 1 টি, দ্বিতীয় দিনে 2 টি, তৃতীয় দিনে 4 টি এবং চতুর্থ দিনে 8 টি কলম তৈরি করেন। এভাবে কলম তৈরি করলে তিনি 10 দিনে মোট কতটি কলম তৈরি করবেন?

সমাধান:
উপর্যুক্ত শর্তে প্রদত্ত ধারাটি হবে = 1, 2, 4, 8,................ 
যেখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত r = 2/1 = 2 

গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1) [যেহেতু r > 1 ]
∴ ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি = 1(2¹⁰ - 1)/(2 - 1) 
= 1024 - 1
= 1023 

প্রশ্ন: ১৪, ২৭, ৩৫, ৪০, ১২, ৫৩, ২২ উপাত্তগুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
প্রদত্ত উপাত্ত সমূহের,
সর্বনিম্ন সংখ্যা = ১২
সর্বোচ্চ সংখ্যা = ৫৩

∴ পরিসর = (সর্বোচ্চ সংখ্যা - সর্বনিম্ন সংখ্যা) + ১ 
= (৫৩ - ১২) + ১
= ৪১ + ১
= ৪২ 

প্রশ্ন: C = {x ∈ N : x < 9 এবং x > 10} এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
C = {x ∈ N : x < 9 এবং x > 10} 

x < 9 এবং x > 10 শর্তে C সেটে কোনো উপাদান নেই অর্থাৎ ফাঁকা। 

∴ C = { }

প্রশ্ন: (1/sin²A) - (1/tan²A) = ?

সমাধান:
(1/sin²A) - (1/tan²A)
= (1/sin²A) - {1/(sin²A/cos²A)​}
= (1/sin²A) - (cos²A/sin²A)
= (1 - cos²A)/sin²A
= sin²A/sin²A
= 1

প্রশ্ন: 200 জন পরীক্ষার্থীর মধ্যে 40 জন গনিতে, 20 জন পরিসংখ্যানে এবং 10 জন উভয় বিষয়ে ফেল করে। একজন পরীক্ষার্থীকে দৈবভাবে নির্বাচন করা হলে তার কেবল এক বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ধরি,
গনিতে ফেল করার ঘটনা = A
∴ P(A) = 40/200 = 1/5

পরিসংখ্যানে ফেল করার ঘটনা = B
∴ P(B) = 20/200 = 1/10

উভয় বিষয়ে ফেল করার ঘটনা = P(A ∩ B) = 10/200 = 1/20

∴ কেবল এক বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা = P(A' ∩ B) + P(A ∩ B')
= P(B) - P(A ∩ B) + P(A) - P(A ∩ B)
= (1/10) - (1/20) + (1/5) - (1/20)
= (2 - 1 + 4 - 1)/20
= 4/20
= 1/5

বিকল্প:
শুধু গনিতে ফেল করে = (40 - 10) জন = 30 জন
শুধু পরিসংখ্যানে ফেল করে = (20 - 10) জন = 10 জন

কেবল এক বিষয়ে ফেল করে = 30 + 10 
= 40 জন

∴ কেবল এক বিষয়ে ফেল করার সম্ভাবনা = 40/200 = 1/5

প্রশ্ন: log 8 + log 64 + log 512 +............... ধারাটির প্রথম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 log 8 + log 64 + log 512 +...............
= log (8¹) + log (8²) + log (8³) + ............ 
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8+.......... 
=( 1 + 2 + 3 +......) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +............. ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি = {n(n + 1)}/2 
= {9(9 + 1)}/2
= 45

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি = 45 log 8

প্রশ্ন: ৭ জন বালক ও ৫ জন বালিকার মধ্য থেকে ২ জন বালক ও ২ জন বালিকা নিয়ে ৪ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্লাস কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে? 

সমাধান:
৭ জন বালকের মধ্য থেকে ২ জন বালক বাছাই করার উপায় সংখ্যা = ^৭C_২
= ৭!/(২! × ৫!)
= (৭ × ৬ × ৫!)/(২ × ৫!)
= ২১

৫ জন বালিকার মধ্য থেকে ২ জন বালিকা বাছাই করার উপায় সংখ্যা = ^৫C_২
= ৫!/(২! × ৩!)
= (৫ × ৪ × ৩!)/(২ × ৩!)
= ১০


∴ মোট উপায় সংখ্যা = ২১ × ১০ = ২১০ 

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এবং তৃতীয় পদ = 4

প্রশ্নমতে,
a(1/2)^{3 -1} = 4
⇒ a × (1/2)² = 4 
⇒ a × (1/4) = 4 
⇒ a = 4 × 4
⇒ a = 16

প্রশ্ন: ১ হতে ২৭ পর্যন্ত সকল পূর্ণবর্গ সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
১ ও ২৭ এর মধ্যে পূর্ণবর্গ সংখ্যাগুলো হলো- ১,৪, ৯, ১৬, ২৫

∴ সংখ্যাগুলোর গড় = (১ + ৪ + ৯ + ১৬ + ২৫)/৫
= ৫৫/৫
= ১১