Math Master

প্রশ্ন: 7টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 4টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
7টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = ⁷C₃ = 35
4টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = ⁴C₂ = 6
∴ মোট বর্ণ বাছাই করার উপায় = (35 × 6)
= 210

এখন,
প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে 5টি এদের সাজানোর উপায় = 5!
= 120

সুতরাং, মোট শব্দ সংখ্যা = (210 × 120)
= 25200

প্রশ্ন: 2 জন বালক ও 7 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 2 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট বালক বালিকা = (2 + 7 ) = 9
জন দুইজন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 7) জন
= 8 জন
8 জন কে সাজানো যায় = 8!
2 জন বালক কে সাজানো যায় = 2!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 8! × 2!
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1)
= 80640

প্রশ্ন: ১, ২, ৪, ৫ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ৪০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
যদি সংখ্যাটি ৪০০০ অপেক্ষা বড় হয় তবে প্রথম অঙ্কটি অবশ্যই ৪ অথবা ৫ হতে হবে।
প্রথম অঙ্কটি ৪ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

অনুরূপভাবে,
প্রথম অঙ্কটি ৫ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

৪০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা যায় = (৬ + ৬) টি
= ১২ টি

প্রশ্ন: 8 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
8 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (8 - 1)!
= 7!
= 5040 উপায়ে

প্রশ্ন: 'CHROME' শব্দটি হতে প্রতিবারে 3 টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?                                                                                                                                                                                                                         
সমাধান:
'CHROME' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 6টি

∴ 'CHROME' শব্দটির 3টি করে বর্ণ নিয়ে সাজানোর উপায় = ⁶P₃ 
= 6!/(6! - 3!)
= 6!/3!
= 120

প্রশ্ন: ৪, ৫, ৬, ৭, ৮ ও ৯ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে একক স্থানীয় অংকটি ৫ হতে হবে
৫ ব্যতীত আর অঙ্ক থাকে ৫টি এবং ঘর বাকি থাকে = (৬ - ১)
= ৫টি

এখন,
১ম ঘর সাজানো যাবে ৫টি অঙ্ক দিয়ে
২য় ঘর সাজানো যাবে ৪টি অঙ্ক দিয়ে
৩য় ঘর সাজানো যাবে ৩টি অঙ্ক দিয়ে
৪র্থ ঘরে থাকবে শুধুমাত্র ৫ অর্থাৎ ১টি অঙ্ক

∴ মোট সংখ্যা হবে = (৫ × ৪ × ৩ × ১) টি
= ৬০ টি

প্রশ্ন: ¹³P_r = 1716 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
¹³P_r = 1716
⇒ 13!/(13 - r)! = 11 × 12 × 13
⇒ (13 - r)! × 11 × 12 × 13 = 13!
⇒ 13! (13 - r)! = (13 × 12 × 11 × 10!)/(11 × 12 × 13)
⇒ (13 - r)! = 10!
⇒ (13 - r) = 10
⇒ r = 13 - 10
∴ r = 3

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় মোট 7টি বিষয়ের উপর পরীক্ষা হয়। কোন পরীক্ষার্থী সেই পরীক্ষায় কত উপায়ে ফেল করতে পারবে?

সমাধান:
পরিক্ষার্থী পরীক্ষায় 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক উপায়ে ফেল করতে পারে।

∴ মোট ফেলের উপায় = ⁷C₁ + ⁷C₂ + ⁷C₃ + ⁷C₄ + ⁷C₅ + ⁷C₆ + ⁷C₇
= (7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1)
= 127

প্রশ্ন: 'PACKAGE' শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
'PACKAGE' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 7 টি
A আছে = 2 টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= 2520

∴ 'PACKAGE' শব্দটির সব বর্ণ একত্রে নিয়ে 2520 প্রকারে সাজানো যায়।

প্রশ্ন: 8 জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কতভাবে বিভক্তি করা যায়?

সমাধান:
প্রতি দলে 4 জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।

এখন,
8 জন থেকে ৩ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ⁸C₄
= 8!/{4!(8 - 4)!}
= 70

সুতরাং, সমান সংখ্যক বা 4 জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = 70/2 = 35

প্রশ্ন: "MENTAL" শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে M সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?

সমাধান:
"MENTAL" শব্দটিতে প্রথম অক্ষর Q ছাড়া আর বর্ণ আছে 5 টি এবং প্রত্যেকটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
5 টি ভিন্ন বর্ণকে সাজানর উপায় = 5!
= 120

সুতরাং, মোট 120 উপায়ে সাজানো যাবে।

প্রশ্ন: একটি বাস্কেটবল টুর্নামেন্টে 9 টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে, মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান:
9 টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা 1 টি করে খেলা খেলবে।

তাহলে,
মোট খেলা হবে = ⁹C₂
= 36

প্রশ্ন: 'ENGLISH' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে এক ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?

সমাধান:
'ENGLISH'' শব্দটিতে মোট 7 টি বর্ণ রয়েছে, যার মধ্যে 5 টি ব্যঞ্জনবর্ণ এবং 2 টি স্বরবর্ণ।

এখন,
প্রথম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = ⁵p₁ = 5
অবশিষ্ট পাঁচটি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 6! = 720 উপায়ে।

তাহলে,
মোট বিন্যাস সংখ্যা = (720 × 5) = 3600

প্রশ্ন: 15টি বইয়ের মধ্যে 4 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট পুস্তক, n = 15
সর্বদা বাদ থাকবে, m = 2
এবং প্রতিবার নিতে হবে, r = 4

∴ বাছাই করার উপায় = ^{n - m}C_r
= ^{(15 - 2)}C₄
= ¹³C₄
= 13!/{4!(13 - 4)!}
= 13!/(4! × 9!)
= 715