৫০ দিনে ৫০তম বিসিএস প্রস্তুতি [সমন্বিত] - Archived

সংগ্রাম:
- বাঙালির জাতীয় মুক্তি সংগ্রামের প্রথম ঘটনা ভাষা আন্দোলন।
- এই আন্দোলনের মধ্য দিয়েই বাঙালি জাতীয়তাবোধের উন্মেষ ঘটে।
- ভাষার আন্দোলনের সূত্রপাত ঘটে ১৯৪৭ সালে এবং চূড়ান্ত রূপ লাভ করে ১৯৫২ সালে।

অন্যদিকে,
- শিক্ষা আন্দোলন সংঘটিত হয় ১৯৬২ সালে।
- ছয়দফা আন্দোলন আন্দোলন সংঘটিত হয় ১৯৬৬-৬৮ সালে।
- এগারো দফা ঘোষনা করা হয় ১৯৭১ সালে।

তথ্যসূত্র - বাংলাদেশ ও বিশ্বপরিচয়, নবম-দশম শ্রেণি।

যুক্তফ্রন্ট:
- ১৯৫৩ সালের ১৪ নভেম্বর ময়মনসিংহে অনুষ্ঠিত আওয়ামী লীগের ঐতিহাসিক কাউন্সিল সম্মেলনে যুক্তফ্রন্ট গঠনের সিদ্ধান্ত চূড়ান্ত হয়।
- পরবর্তীতে মাওলানা আতাহার আলীর নেজামে ইসলাম ও হাজী মোহাম্মদ দানেশের গণতন্ত্রী দল যুক্তফ্রন্টে যোগ দেয়।
- যুক্তফ্রন্টের নির্বাচনী প্রতীক ছিল নৌকা।
- যুক্তফ্রন্টের পক্ষ থেকে ২১ দফা নির্বাচনী ইশতেহার ঘোষণা করে।
- ২১ দফা ইশতেহার প্রণয়নে আবুল মনসুর আহমেদ মুখ্য ভূমিকা পালন করেন।
- এই নির্বাচনে মোট আসন ছিলো ৩০৯টি।
- নির্বাচনে যুক্তফ্রন্ট ২২৩টি আসন লাভ করে।
- শেরে বাংলা এ কে ফজলুল হক যুক্তফ্রন্ট মন্ত্রিসভার মুখ্যমন্ত্রী নির্বাচিত হন।

তথ্যসূত্র - স্বাধীনতা যুদ্ধের দলিলপত্র, প্রথম খণ্ড এবং বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, নবম-দশম শ্রেণি।

১১ দফা কর্মসূচি:
- ঊনসত্তরের গণঅভ্যুত্থানের প্রেক্ষাপটে 'এগারো দফা' প্রণীত হয়।
- ১১ দফা কর্মসূচি ঘোষণা করে ছাত্রসংগ্রাম পরিষদ ।
- ১৯৬৮ সালের শেষের দিকে মওলানা ভাসানী বিভিন্ন দাবি আদায়ের লক্ষ্যে 'ঘেরাও কর্মসূচি' নামে নতুন এক আন্দোলনের ডাক দেন।
- এর সঙ্গে যুক্ত হয় ডাকসু ও চারটি ছাত্র সংগঠনের সাত জন নেতা প্রণিত ১১ দফা কর্মসূচি।
- ১৯৬৯ সালের ৪ জানুয়ারি ছাত্র নেতৃবৃন্দ ১১ দফা ঘোষণা করেন।
- মূলত ৬ দফার বিস্তারিত রূপই ১১ দফা।
- কেন্দ্রীয় শাসন থেকে বাঙালিদের আর্থ-সামাজিক ক্ষেত্রে স্বাধিকার অর্জনই ছিল ১১ দফা দাবির মূল বক্তব্য।
- এগার দফার আন্দোলনই ঊনসত্তরের গণ আন্দোলনে পর্যবসিত হয়।
- ১১ দফার মধ্যে বঙ্গবন্ধুর ৬ দফাও অন্তর্ভুক্ত করে আরো ৫টি দাবি সন্নিবেশিত করা হয়।
- ছাত্র সংগ্রাম পরিষদের এগারো দফা দাবির মধ্যে আওয়ামী লীগের ছয়দফা অন্তর্ভুক্ত হয়।
- এগারো দফায় বাঙালি মধ্যবিত্ত ও কৃষক-শ্রমিকের স্বার্থসংশ্লিষ্ট দাবিও অন্তর্ভুক্ত করা হয়।
- এগারো দফার আন্দোলন পূর্ব পাকিস্তানে ব্যাপক সমর্থন লাভ করে এবং আইয়ুব বিরোধী আন্দোলনের নেতৃত্ব ছাত্র-নেতৃবৃন্দের হাতে চলে আসে।

তথ্যসূত্র - বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, এসএসসি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

এন. ডি. এফ:
- এন. ডি. এফ এর পূর্ণরূপ ন্যাশনাল ডেমোক্রেটিক ফ্রন্ট।
- এটি গঠিত হয় হোসেন শহীদ সোহরাওয়ার্দীর উদ্যোগে।
- ১৯৬২ সালে আইয়ুব বিরোধী আন্দোলন শুরু হয়।
- আওয়ামী লীগ, নেজামে ইসলাম, ন্যাশনাল আওয়ামী পার্টি, কাউন্সিল মুসলিম লীগ ও নূরুল আমিনের নেতৃত্বাধীন মুসলিম লীগ মিলে বা এন. ডি. এফ গঠিত হয়।
- এই ফ্রন্ট ১৯৬২ সালে গঠিত হয়।
- এই ফ্রন্টের উদ্দেশ্য ছিল গণতন্ত্র পুনরুদ্ধার ও ১৯৫৬ সালের সংবিধানে ফিরে যাওয়া।

তথ্যসূত্র - বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, এসএসসি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

১৯৭০ সালের জাতীয় পরিষদ নির্বাচন:
- নির্বাচনে প্রধান নির্বাচন কমিশনার ছিলেন বিচারপতি আব্দুস সাত্তার।
- ১৯৭০ সালের ১ জানুয়ারি সকল রাজনৈতিক কর্মকাণ্ডের উপর থেকে নিষেধাজ্ঞা প্রত্যাহার করা হয়।
- নির্বাচনে জাতীয় পরিষদে পূর্ব পাকিস্তানের জন্য বরাদ্দকৃত ১৬২ টি সাধারণ আসনে একমাত্র আওয়ামী লীগ ছাড়া আর কোন দলই সবকয়টি আসনে প্রার্থী দাঁড় করাতে পারেনি।
- উক্ত ১৬২টি আসনে অন্যান্য উল্লেখযোগ্য দলের প্রার্থী সংখ্যা ছিল যথাঃ
• মুসলিমলীগ (কনভেনশন) ৯৩।
• মুসলিম লীগ (কাইয়ুম) ৬৫।
• মুসলিম লীগ (কাউন্সিল) ৫০।
• জামায়াতে ইসলামী ৬৯।
• জমিয়াতুল উলামা ও নেজামে ইসলামী ৪৫।
• পিডিপি ৮১।
• ন্যাপ (মোজাফ্ফর) ৩৬।
• স্বতন্ত্র ১০৯।
• অন্যান্য ছোট দলসহ সর্বমোট প্রার্থী সংখ্যা ছিল ৭৬৯ জন।

তথ্যসূত্র - বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, এসএসসি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

মুক্তিযুদ্ধের খেতাব:
- মুক্তিযুদ্ধে অসামান্য অবদান ও বীরত্বের জন্যে ১৯৭৩ সালের ১৫ ডিসেম্বর বঙ্গবন্ধু সরকার মোট ৬৭৬ জনকে চারটি বীরত্বসূচক খেতাব বা উপাধি প্রদান করে। এগুলো হলো:
- সর্বোচ্চ খেতাব বীরশ্রেষ্ঠ : ৭জন।
- দ্বিতীয় সর্বোচ্চ খেতাব বীরউত্তম : ৬৮ জন।
- তৃতীয় সর্বোচ্চ খেতাব বীরবিক্রম : ১৭৫ জন।
- চতুর্থ সর্বোচ্চ খেতাব বীরপ্রতীক : ৪২৬জন।

নারী বীরপ্রতীক:
- বাংলাদেশের স্বাধীনতা যুদ্ধে অসামান্য অবদানের জন্য ২ জন মহিলাকে বীরপ্রতীক উপাধিতে ভূষিত করা হয়।
- তাঁরা হলেন- ডা. সেতারা বেগম ও তারামন বিবি।
- তারামন বিবি ও ডা. সেতারা বেগম ১৯৭১ সালের স্বাধীনতাযুদ্ধে যথাক্রমে ১১ ও ২ নং সেক্টরে যুদ্ধ করেন।

তথ্যসূত্র - মুক্তিযুদ্ধ বিষয়ক মন্ত্রণালয় ও বাংলাপিডিয়া।

পরিকল্পনা কমিশন:
- পরিকল্পনা কমিশন গঠন দেশ শত্রুমুক্ত করার পরপরই যেহেতু পুনর্গঠন একটি কাজ হবে এবং সে কাজে সরকারের পক্ষে কোনরূপ কালক্ষেপণ করা যাবে না।
- স্বল্পমেয়াদি ও দীর্ঘমেয়াদি পরিকল্পনা প্রণয়নের লক্ষ্যে মুজিবনগর সরকার পাঁচ সদস্য বিশিষ্ট একটি পরিকল্পনা কমিশন গঠন করে।
- কমিটির চেয়ারম্যান নিযুক্ত হয়েছিলেন ড. মুজাফফর আহমদ চৌধুরী।
- সদস্য ছিলেন,
(১) ড. খান সরওয়ার মুর্শেদ।
(২) ড. মোশাররফ হোসেন।
(৩) ড. এস. আর. বোস।
(৪) ড. আনিসুজ্জামান।

তথ্যসূত্র - বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, এসএসসি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

১৯৭০ সালের জাতীয় পরিষদ নির্বাচনে আসন বন্টন:
- আইনগত কাঠামো আদেশ অনুযায়ী জাতীয় পরিষদের আসন সংখ্যা ৩১৩টি নির্ধারণ করা হয়।
- সাধারণ আসন সংখ্যা ৩০০টি এবং নারীদের জন্য সংরক্ষিত আসন সংখ্যা ১৩টি।
- পূর্ব পাকিস্তানে মোট আসন সংখ্যা ১৬৯টি।
• সাধারণ আসন সংখ্যা ১৬২টি।
• নারীদের জন্য সংরক্ষিত আসন সংখ্যা ৭টি।
- পশ্চিম পাকিস্তানে মোট আসন সংখ্যা ১৪৪টি।
• সাধারণ আসন সংখ্যা ১৩৮টি।
• নারীদের জন্য সংরক্ষিত আসন সংখ্যা ৬টি।

তথ্যসূত্র - বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, এসএসসি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

পাকিস্তানের ২য় সংবিধান:
- ১৯৬২ সালের মার্চ মাসে আইয়ুব খান পাকিস্তানের নতুন সংবিধান ঘোষণা করেন।
- ১৯৬২ সালের ১ মার্চ সংবিধান ঘোষণা করা হলে পূর্ব পাকিস্তানের ছাত্রসমাজ বিক্ষোভ, সমাবেশ এবং ক্লাশ বর্জন শুরু করে।
- ১৯৬২ সালের ৮ জুন পাকিস্তানের দ্বিতীয় সংবিধান কার্যকর করা হয়।
- ঐদিন সামরিক আইন তুলে নেয়া হয়।
- এর ফলে রাজনীতিবিদগণ ও ছাত্র সংগঠনগুলো প্রকাশ্যে রাজনীতি করার সুযোগ পায়।
- এ সংবিধানটি ছিল এক ব্যক্তি কেন্দ্রিক।
- এই সংবিধানে কেন্দ্র ও প্রদেশের আইনসভা মন্ত্ৰী পরিষদ ও গভর্নরের ক্ষমতাকে সংকুচিত করে প্রেসিডেন্টের হাতে সকল ক্ষমতা কেন্দ্রীভূত করা হয়।
- এতে বিচার বিভাগের ক্ষমতাও খর্ব করা হয়।
- ঢাকাকে নাম মাত্র দ্বিতীয় রাজধানীর মর্যাদা দেওয়া হয়।
- এটি পাকিস্তানের ২য় সংবিধান।

তথ্যসূত্র - ইতিহাস, এসএসসি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

৬৯-এর গণঅভ্যুত্থান:
- ১৮ ফেব্রুয়ারি শহীদ শামসুজ্জোহা দিবস।
- ৬৯ এর গণঅভ্যুত্থানের অগ্রনায়কের ভূমিকা পালন করেছিলেন ড. শামসুজ্জোহা।
- তিনি রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষক ছিলেন।
- রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় থেকেই শুরু হয়েছিল পাক-হানাদার বাহিনী হটাও আন্দোলন।
- আগরতলা ষড়যন্ত্র মামলা প্রত্যাহার ও বঙ্গবন্ধু শেখ মুজিবুর রহমানের মুক্তির দাবিসহ আইয়ুব খানবিরোধী আন্দোলনে ফুঁসে ওঠা রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয়ের ছাত্রদের সামনে থেকে নেতৃত্ব দিয়েছিলেন এই শহীদ বুদ্ধিজীবী।
- ১৯৬৯ সালের ১৮ ফেব্রুয়ারিতে রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষক ড. শামসুজ্জোহা পুলিশের গুলি ও বেয়নেট চার্জের ফলে মৃত্যুবরণ করেন।
- তিনিই পাক-হানাদারদের হাতে নিহত প্রথম বাংলাদেশি বুদ্ধিজীবী।
- রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয়ে শহীদ শামসুজ্জোহা হলের সামনে নির্মিত হয়েছে শহীদ শামসুজ্জোহা স্মৃতি ভাস্কর্য ‘স্ফুলিঙ্গ’।

তথ্যসূত্র - রাজশাহী বিশ্ববিদ্যালয় ওয়েবসাইট ও দৈনিক ইত্তেফাক, ১৮ ফেব্রুয়ারি ২০২৩।

১৯৬৫ সালের প্রেসিডেন্ট নির্বাচন:
- ১৯৬২ সালের সংবিধান অনুযায়ী আইয়ুব খানের প্রেসিডেন্ট পদের মেয়াদ ৫ বছর পূর্ণ হওয়ায় ১৯৬৫ সালের ২ জানুয়ারি পাকিস্তানের প্রেসিডেন্ট নির্বাচনের তারিখ ঘোষিত হয়।
- প্রেসিডেন্ট নির্বাচনে ভোটার ছিলেন সমগ্র পাকিস্তানে ৮০,০০০ (আশি হাজার) মৌলিক গণতন্ত্রী।
- ১৯৬৪ সালের নভেম্বর মাসে মৌলিক গণতন্ত্রীদের নির্বাচন আয়োজন করা হয়। এই নির্বাচনকে সামনে রেখে গঠিত হয় 'সম্মিলিত বিরোধী দল' (COP) |
- আইয়ুব খানের বিরুদ্ধে সম্মিলিত বিরোধী দলের প্রার্থী মনোনীত করা হয় মিস ফাতিমা জিন্নাহকে। তিনি ছিলেন মোহাম্মদ আলী জিন্নাহর ভগ্নি।
- প্রেসিডেন্ট নির্বাচনে সম্মিলিত বিরোধী দল (কপ) ৯ দফা নির্বাচনী মেনিফেস্টো ঘোষণা করে। যেমন-
১. একটি গণতান্ত্রিক সংবিধান প্রণয়ন করা হবে,
২. জনগণের প্রত্যক্ষ ভোটে জাতীয় ও প্রাদেশিক পরিষদের সদস্য নির্বাচন করা হবে,
৩. জাতীয় ও প্রাদেশিক পরিষদকে আইন ও বাজেট প্রণয়নের ক্ষমতা দেয়া হবে,
৪. প্রাদেশিক স্বায়ত্তশাসন দেয়া হবে,
৫. প্রেসিডেন্টের ক্ষমতা হ্রাস করা হবে,
৬. শাসন বিভাগ থেকে বিচার বিভাগ পৃথক করা হবে,
৭. আইনের ব্যাখ্যা প্রদানের ক্ষমতা সুপ্রিম কোর্টকে প্রদান করা হবে,
৮. সকল রাজনৈতিক বন্দিদের মুক্তি দেয়া হবে, এবং
৯. নিবর্তনমূলক সকল আইন বিলুপ্ত করা হবে।

তথ্যসূত্র - বাংলাদেশের ইতিহাস ও বিশ্বসভ্যতা, এসএসসি প্রোগ্রাম, বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।

প্রশ্ন: 3log₄16 + 2log₂8 + 4log₃81 এর মান কত?

সমাধান:
3log₄16 + 2log₂8 + 4log₃81
= 3log₄4² + 2log₂2³ + 4log₃3⁴
= 6log₄4 + 6log₂2 + 16log₃3 [log_aMⁿ = n.log_aM]
= 6 + 6 + 16  [log_aa = 1]
= 28

প্রশ্ন: (xyz)⁰ = ?

সমাধান:
(xyz)⁰
= 1 [a⁰ = 1, যদি a ≠ 0]

প্রশ্ন: ৭ + ১১ + ১৫ + ১৯ + ...... ধারাটির কোন পদ ১৯১?

সমাধান:
ধারার ১ম পদ a = ৭
সাধারণ অন্তর d = ১১ - ৭ = ৪
ধারার n তম পদ = ১৯১

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
৭+ (n-1) × ৪ = ১৯১
⇒ ৭ + ৪n - ৪ = ১৯১
⇒ ৪n = ১৮৮
⇒ n = ৪৭

∴ ৪৭তম পদটি হলো ১৯১

প্রশ্ন: log_ba³ = 3x এবং log_ab⁵ = 5y হলে, xy = কত?

সমাধান:
log_ba³ = 3x
⇒ 3log_ba = 3x
⇒ log_ba = x

আবার,
log_ab⁵ = 5y
⇒ 5log_ab = 5y
⇒log_ab = y

∴ xy = log_ba × log_ab 
= (1/log_ab) × log_ab
= 1

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি ৫ এবং এর পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে ৬ বেশি হলে ধারার ১৫০তম পদটি কত?

সমাধান:
১ম সংখ্যাটি = ১ম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৬

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ১৫০ তম পদ = ৫ + (১৫০ - ১) × ৬
= ৫ + (১৪৯ × ৬)
= ৫ + ৮৯৪
= ৮৯৯

∴ ১৫০ তম পদ হলো ৮৯৯

প্রশ্ন: 2^{x + 5} = 8^{x - 1} হলে, x = কত?

সমাধান:
2^{x + 5} = 8^{x - 1}
⇒ 2^{x + 5} = (2³)^{x - 1}
⇒ 2^{x + 5} = 2^{3(x - 1)}
⇒ x + 5 = 3(x - 1)
⇒ x + 5 = 3x - 3
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে পঞ্চম পদটি 160 এবং অষ্টম পদটি 1280 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r 

পঞ্চম পদ = 160
∴ ar^5-1 = 160
⇒ ar⁴ = 160 ......(1)

অষ্টম পদ = 1280
∴ ar⁷ = 1280 ......(2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পায়ী, 
ar⁷/ar⁴ = 1280/160
⇒ r^7-4 = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a . 2⁴ = 160
⇒ a = 160/16
⇒ a = 10

∴ প্রথম পদ হলো ১০

প্রশ্ন: log₄(2/512) এর মান কত?

সমাধান:
log₄(2/512)
= log₄(1/256)
= log₄(1/4⁴)
= log₄(4^-4)
= - 4 log₄4  [log_aMⁿ = n.log_aM]
= - 4 × 1
= - 4

প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ...... ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ...... প্রথম দশ পদের সমষ্টি
= log3¹ + log3² + log3³ + ...... প্রথম দশ পদের সমষ্টি
= log(3¹)+ log(3²)+ log(3³)+ ......... + log(3¹⁰)
= 1 log3 + 2 log3 + 3 log3 + ...... + 10 log3
= log3 (1 + 2 + 3 + ...... + 10)
= log3 {10(10 + 1)/2}  [স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2]
= log3 (5 × 11)
= log3 × 55
= 55 log3

প্রশ্ন: 1/√5, 1, √5, ...... ধারাটির কোন পদ 25√5 হবে?

সমাধান:
এখানে, 
প্রথম পদ, a = 1/√5
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(1/√5) = √5

ধরি, n তম পদ = 25√5

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 25√5
⇒ (1/√5) × (√5)^{n - 1} = 25√5
⇒ (√5)^{n - 1} = 25√5 × √5
⇒ (√5)^{n - 1} = 25 × 5
⇒ (√5)^{n - 1} = 125 
⇒(√5)^{n - 1} = (√5)⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 7

∴ ৭ম পদ 25√5

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: log₁₀4 + log₁₀(4b + 2) = log₁₀(b + 4) + 1 হলে , b এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀4 + log₁₀(4b + 2) = log₁₀(b + 4) + 1
⇒ log₁₀4 + log₁₀(4b + 2) = log₁₀(b + 4) + log₁₀10
⇒ log₁₀{4(4b + 2)} = log₁₀{(b + 4)10}
⇒ 4(4b + 2) = (b + 4)10
⇒ 16b + 8 = 10b + 40
⇒ 6b = 32
⇒ b = 32/6
∴ b = 16/3

প্রশ্ন: 3 + x + y + 81 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 3

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 81
⇒ ar³ = 81
⇒ 3 . r³ = 81
⇒ r³ = 27
∴ r = 3

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ,
x = ar^{2 - 1}
= 3 × 3^{2 - 1}
∴ x = 9

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ,
y = 3 × 3^{3 - 1}
= 3 × 3²
∴ y = 27

∴ xy = 9 × 27
= 243

প্রশ্ন: 5^{x - 1} + 5^{x - 1} + 5^{x - 1} + 5^{x - 1} + 5^{x - 1} = ?

সমাধান:
5^{x - 1} + 5^{x - 1} + 5^{x - 1} + 5^{x - 1} + 5^{x - 1} 
= 5^{x - 1}(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 5^{x - 1} × 5¹
= 5^{x - 1 + 1}
= 5^x

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ n . 3^{n - 1} হলে ধারাটির ১ম পাচটি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
n তম পদ = n . 3^{n - 1} 

সুতরাং,
⇒ ১ম পদ = 1 . 3^{1 - 1}
= 1 × 3⁰ = 1
⇒ ২য় পদ = 2 . 3^{2 - 1}
= 2 × 3 = 6
⇒৩য় পদ = 3 . 3^{3 - 1}
= 3 × 3² = 27
⇒৪র্থ পদ = 4 . 3^{4 - 1}
= 4 × 3³ = 108
⇒৫ম পদ = 5 . 3^{5 - 1}
= 5 × 3⁴ = 405

১ম পাচটি পদের সমষ্টি = (1 + 6 + 27 + 108 + 405) = 547

প্রশ্ন: প্রদত্ত 

সমাধান:

প্রশ্ন: রবিন তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1500 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 150 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন, তিনি 20 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 1500
সাধারণ অন্তর d = 150

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 20 তম পদ = a + (20 - 1)d
= 1500 + (19 × 150)
= 1500 + 2850
= 4350

∴ রবিন 20 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4350 টাকা।

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
⇒ (a/b)^{x - 3}  = (a/b)^{- (x - 5)}
⇒ x - 3 = - x + 5
⇒ x + x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

প্রশ্ন: ১ + ৫ + ৯ + ........ + ৮১ = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ a = ১,
সাধারণ অন্তর d= ৫ - ১ = ৪

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ৮১
⇒ a + (n - )d = ৮১
⇒ ১ + (n - ১) × ৪ = ৮১
⇒ (n - ১) × ৪ = ৮০
⇒ (n - ১) = ৮০/৪
⇒ (n - ১) = ২০
⇒ n = ২১

∴ সমষ্টি S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (২১/২){(২ × ১) + (২১ - ১) × ৪}
= (২১/২) × (২ + ৮০)
= (২১/২) × ৮২
= ২১ × ৪১
= ৮৬১

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
সমান্তর ধারা: সমান্তর বলতে 'সমান অন্তর' বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: 2 + 5 + 8 + 11 +......+ 20, একটি সমান্তর ধারা।

অপশন (খ) তে,
- 4 - 7 - 10 .... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = - 7 + 4 = - 3 
আবার, - 10 - (-7) = - 3

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, তার প্রথম 23 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটি প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

প্রশ্নমতে,
a + 11d = 77

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= 23 × (a + 11d)
= 23 × 77
= 1771

প্রশ্ন: (9x)⁰ + 9x⁰ + (9x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(9x)⁰ + 9x⁰ + (9x)⁰
=1 + (9 × 1) + 1
= 1 + 9 + 1
= 11