৪৯তম বিসিএস ⎯ জেনারেল পার্ট [Archived]

প্রশ্ন: একটি বিন্দুর চতুর্দিকের কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:

একটি বিন্দুর চতুর্দিকের মোট কোণের পরিমাণ চার সমকোণ।

অর্থাৎ কোণের পরিমাণ = ৪ × ৯০° = ৩৬০° 

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে নতুন ব্যাস = (3 × 2r) = 6r
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 = 3r
নতুন ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)² = 9πr²

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 9πr² - πr²
= 8πr²
= 8 × পূর্বের ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল 

অর্থাৎ বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 32 বর্গমিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 32 বর্গমিটার 
বর্গক্ষেত্রের বাহু = √32
= √(16 × 2)
= 4√2 মিটার 

∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = √2 × বাহুর দৈর্ঘ্য 
= √2 × 4√2 মিটার 
= 8 মিটার 

প্রশ্ন: 56 সে.মি. ব্যাসার্ধের একটি লোহার চাকাকে গলিয়ে একটি লোহার পাতে রূপান্তর করা হলে লোহার পাতটির দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাসার্ধ, r = 56 সে.মি.
চাকার পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × 56
= 352 সে.মি.

প্রশ্নমতে,
চাকার পরিধি = লোহার পাতের দৈর্ঘ্য

অর্থাৎ লোহার পাতটির দৈর্ঘ্য = 352 সে.মি.

প্রশ্ন: POQ একটি সরলরেখা এবং ∠POR = (3x + 20)° এবং ∠QOR = (4x - 36)° হলে x এর মান কত?

সমাধান:

∠POR + ∠QOR = ∠POQ = সরলকোণ 
⇒ (3x + 20)°+ (4x - 36)° = 180°
⇒ 3x° + 20° + 4x° - 36° = 180°
⇒ 7x° - 16° = 180°
⇒ 7x° = 180° + 16°
⇒ 7x° = 196°
⇒ x° = 196°/7°
⇒ x° = 28° 

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 9 সে.মি. হলে বড় বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সে.মি.
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব = 9 সে.মি.

বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (9 + 5)সে.মি. = 14 সে.মি.

∴ বড় বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2 × (22/7) × 14
= 88 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 সে.মি. এবং 16 সে.মি. হলে রম্বসটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12 সে.মি. এবং 16 সে.মি.

∴ রম্বসের ক্ষেত্রফল = (1/2) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল = (1/2) × 12 × 16
= (6 × 16) বর্গ সে.মি.
= 96 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বাঁশের চোঙ্গের ব্যাস 14 সে.মি. ও উচ্চতা 20 সে.মি. হলে চোঙটির সমগ্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 14/2 = 7 সে.মি.
উচ্চতা, h = 20 সে.মি.

∴ চোঙ্গের আয়তন (বেলনের আয়তন) = 2πr(h + r)
= 2 × (22/7) × 7 × (20 + 7)
= 2 × 22 × 27
= 1188 বর্গসে.মি.

প্রশ্ন:
উপর্যুক্ত চিত্রে ∠DOF এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠AOC = 30°
∠BOE = 60°

∠AOC = ∠BOD = 30° [বিপ্রতীপ কোণ]
∠BOE = ∠AOF = 60° [বিপ্রতীপ কোণ]

এখন,
∠AOF + ∠DOF + ∠BOD = 180°
⇒ 60° + ∠DOF + 30° = 180°
⇒ 90° + ∠DOF = 180°
⇒ ∠DOF = 180° - 90°
⇒ ∠DOF = 90°

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে ∠BOC = 60° হলে ∠BDC = ?


সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
চিত্রে কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 60°

∴ বৃত্তস্থ কোণ ∠BDC =  60°/2 = 30°

প্রশ্ন: ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মাধ্যমাকে কত অনুপাতে বিভক্ত করে?

সমাধান:

মধ্যমা:
একটি ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোগ রেখাকে বলা হয় মধ্যমা।

ভরকেন্দ্র:
ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে বলা হয় ভরকেন্দ্র। 

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রত্যেক মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে। 

প্রশ্ন: কোনো ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটি অপরটির 3 গুণ এবং ছোটটির দৈর্ঘ্য ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতার সমান। ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল 128 বর্গসে.মি. হলে ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যে,
ছোটটির দৈর্ঘ্য = উচ্চতা = x সে.মি. 
এবং বড়টির দৈর্ঘ্য = 3x সে.মি.

প্রশ্নমতে,
 ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = 128
⇒ (1/2) × উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি = 128
⇒ (1/2) × x × (x + 3x) = 128
⇒ 4x²/2 = 128
⇒ 2x² = 128
⇒ x² = 64
⇒ x = 8

∴ ট্রাপিজিয়ামের উচ্চতা = 8 সে.মি.

প্রশ্ন: রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ।
- সুতরাং রেখাংশের প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা দুইটি।

বি:দ্র:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির প্রান্তবিন্দুর সংখ্যা একটি।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা 6 সে.মি. হলে বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বৃত্তের অন্তর্লিখিত সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = 6 সে.মি.

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (2/3) × ত্রিভুজটির উচ্চতা 
= (2/3) × 6
= 4 সে.মি.

নোট:
বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = সমবাহু ত্রিভুজের বাহু/√3

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার জমির চতুর্দিকে প্রাচীর নির্মাণ করতে প্রতি মিটার 200 টাকা হিসেবে 50000 টাকা খরচ হয়। যদি জমির প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের অনুপাত 12 : 13 হয়, তবে জমিটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আয়তাকার জমির পরিসীমা = 50000/200 = 250 মিটার
মনে করি,
প্রস্থ ও দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 12x ক এবং 13x
শর্তমতে,
2(12x + 13x) = 250
⇒ 50x = 250
⇒ x = 250/50
⇒ x = 5

অতএব,
দৈর্ঘ্য = 12 × 5 = 60 মিটার 
প্রস্থ = 13 × 5 = 65 মিটার
∴ ক্ষেত্রফল = 60 × 65 = 3900 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. এবং উচ্চতা 21 সে.মি. হলে কোণকের মোট ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কোণকের বক্রতলের ব্যাসার্ধ, r = 7 সে.মি.
উচ্চতা, l = 21 সে.মি.

∴ কোণকের মোট ক্ষেত্রফল = πr(r + l) 
= (22/7) × 7(7 + 21)
= 22 × 28
= 616 বর্গ সে.মি. 

প্রশ্ন:
উপর্যুক্ত চিত্রে, AB ΙΙ CD এবং EF ছেদক হলে θ কোণের পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠BOF = 120°
CGF = θ 

যেহেতু, AB ΙΙ CD এবং EF এদের ছেদক,
∴ ∠BOF ও ∠EGC পরস্পর একান্তর কোণ। 
অর্থাৎ ∠BOF = ∠EGC = 120°

আবার,
∠EGC ও ∠DGF পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। 
∴ ∠EGC = ∠DGF = 120°

এখন,
∠DGF + ∠CGF = 180°
⇒ 120° + θ = 180°
⇒ θ = 180° - 120°
⇒ θ = 60°

আমরা জানি,
θ কোণের পূরক কোণ = 90° - θ 
= 90° - 60° = 30°

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ওই সরলরেখার 1/4 অংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কতগুণ?

সমাধান:
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য = ক মিটার 
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = ক² বর্গমিটার 

আবার,
সরলরেখার 1/4 অংশ = ক/4 মিটার 
সরলরেখার 1/4 অংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (ক/4)² = ক²/16 বর্গমিটার 

∴ মূল সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ/সরলরেখার 1/4 অংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = ক²/(ক²/16)
= ক² × (16/ক²)
= 16 গুণ 

প্রশ্ন: একটি কাঠের ব্লকের দৈর্ঘ্য 4 সে.মি. প্রস্থ 3 সে.মি. এবং উচ্চতা 2.5 সে.মি.। 50 সে.মি. দৈর্ঘ্য, 45 সে.মি. প্রস্থ এবং 30 সে.মি. উচ্চতা বিশিষ্ট একটি কার্টনের মধ্যে কতটি কাঠের ব্লক রাখা যাবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি কাঠের ব্লকের দৈর্ঘ্য = 4 সে.মি.
প্রস্থ =  3 সে.মি. 
উচ্চতা = 2.5 সে.মি.
∴ একটি কাঠের ব্লকের আয়তন = (4 × 3 × 2.5) ঘন সে.মি. = 30 ঘন সে.মি.

আবার,
কার্টনের দৈর্ঘ্য = 50 সে.মি. 
প্রস্থ = 45 সে.মি. 
উচ্চতা = 30 সে.মি. 
∴ কার্টনের আয়তন = (50 × 45 × 30) ঘন সে.মি. = 67500 ঘন সে.মি.

∴ কার্টনে কাঠের ব্লক ধরবে = কার্টনের আয়তন/একটি কাঠের ব্লকের আয়তন
= 67500/30
= 2250 টি 

প্রশ্ন: x + y - 1 = 0, x - y + 1 = 0 এবং y = 3 সরলরেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি কোন প্রকৃতির?

সমাধান:
x + y - 1 = 0 ....................... (১) 
x - y + 1 = 0 ....................... (২) 
y = 3 ........................... (৩) 

(১) নং সমীকরণে,
y = - x + 1
∴ সমীকরণের ঢাল = - 1/1 = - 1

(২) নং সমীকরণে,
y = x + 1
∴ সমীকরণের ঢাল = 1/1 = 1

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = (- 1) × 1 = - 1

যেহেতু দুইটি ঢালের গুণফল = - 1. সেহেতু ঢালদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে।

এখন, ত্রিভুজের দুইটি বাহু লম্ব হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ হবে সমকোণ (৯০°)।

অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমকোণী। 

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠B এবং ∠C এর অন্তর্দ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হলে ∠BOC = ? 

সমাধান:

ΔABC এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ (1/2)∠A + (1/2)∠B + (1/2)∠C = 90°
⇒ (1/2)∠B + (1/2)∠C =  90° - (1/2)∠A

ত্রিভুজ BOC এ, 
∠BOC + (1/2)∠B + (1/2)∠C  = 180°
⇒ ∠BOC + 90° - (1/2)∠A = 180°
⇒ ∠BOC = 180° - 90° + (1/2)∠A
⇒ ∠BOC = 90° + (1/2)∠A

প্রশ্ন: 28 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের পরিসীমার সমান পরিসীমা বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 28 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিসীমা (পরিধি) = 2πr 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য 

প্রশ্নমতে,
2πr = 4 × বাহুর দৈর্ঘ্য 
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = 2πr/4
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = πr/2
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = {(22/7) × 28}/2
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = 88/2
⇒ বাহুর দৈর্ঘ্য = 44 সে.মি. 

প্রশ্ন: কোনো ঘনকের আয়তন 216 ঘন সে.মি. হলে ঘনকটির প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন = 216 ঘন সে.মি.

প্রশ্নমতে,
a³ = 216
⇒ a³ = 6³
⇒ a = 6

∴ ঘনকের প্রতিটি তলের কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2 = 6√2 সে.মি.