প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: একটি ঘনকের ছয়টি পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গ সে.মি. হলে, ঘনকটির আয়তন কত?

সমাধান:
ধরি,
ঘনকের এক ধারের দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6 (a² + a² + a²) = 6a² বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
6a² = 216
বা, a² = 216/6
বা, a² = 36
∴ a = 6 সে.মি.

∴ ঘনকটির আয়তন = a³ 
= 6³
= 216 ঘন সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমির পরিমাপ 70 মিটার এবং উচ্চতা 35 মিটার হলে জমির ক্ষেত্রফর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভূমি = 70 মিটার
উচ্চতা = 35 মিটার

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= 1/2 × 70 ×35 বর্গমিটার 
= 1225 বর্গমিটার।

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসের অনুপাত ১ : ৪। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
১ম বৃত্তের ব্যাস = 2r
২য় বৃত্তের ব্যাস = (2 × 4r) = 8r
∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)² = 4πr²
 ∴ ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(8r)² = 64πr²

এখন,
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল/২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 4πr²/64πr² = 1/16
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল : ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 1 : 16

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ? 

সমাধান:
মনে করি,
বাহুর দৈর্ঘ্য = x মিটার
পরিসীমা = 4x মিটার
∴ কর্ণ = x . √2

∴ পরিসীমা/কর্ণ = 4x/(√2x)
= 2√2

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৫ বার ঘুরে। চাকাটি ৫ সেকেন্ডে কত ডিগ্রী ঘুরবে?

সমাধান:
১ বার ঘুরে = ৩৬০° কোণ
∴ ১৫ বার ঘুরে = (৩৬০° × ১৫) কোণ
= ৫৪০০° কোণ
১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৫৪০০° 
∴ ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৫৪০০°/৬০
∴ ৫ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = (৫৪০০° × ৫)/৬০
= ৪৫০° 

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 8 মিটার এবং প্রস্থ 6 মিটার হলে আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমার অর্ধেক কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চর্তুভুজের দৈর্ঘ্য 8 মিটার 
চর্তুভুজের প্রস্থ 6 মিটার

আমরা জানি
পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2 (8 + 6) মিটার
= 28 মিটার

∴ পরিসীমার অর্ধেক = 28/2 মিটার
= 14 মিটার

প্রশ্ন: আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 140 বর্গ মি.। যদি এর দৈর্ঘ্য 2 মি. কমানো হয় এবং প্রস্থ 2 মি. বাড়ানো হয় তবে তা একটি বর্গক্ষেত্র হয়। বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ‍a মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (a + 2) মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = (a - 2) মিটার

প্রশ্নমতে,
(a + 2) × (a - 2) = 140
বা, ‍a² + 2a - 2a -4 = 140
বা,  ‍a² - 4 = 140
বা, a² = 144
বা, a² = (12)²
∴ ‍a = 12

∴ ‍ বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 12 মিটার।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের তিন দিকের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩০ মি., ২৪ মি., ১৮ মি. হলে মাঠটির অর্ধপরিসীমা কত?


সমাধান:
ত্রিভুজের পরিসীমা ২S হলে,
আমরা জানি,

ত্রিভুজের পরিসীমা ২S = a + b + c
বা, S = (a + b + c)/২
বা, S = (৩০ + ২৪ + ১৮)/২
∴ ‍S = ৩৬ মিটার

∴ মাঠটির অর্ধপরিসীমা = ৩৬ মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ২ গুণ। পরিসীমা ১৮০ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের বিস্তার = x মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2x মিটার

আমরা জানি,
পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= 2(2x + x)
= 6x

প্রশ্নমতে,
6x = 180
∴ x = 30

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 2x মিটার
= (2 × 30) মিটার
= 60 মিটার

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 36 সে.মি এবং বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ 100° হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাস = 36 সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ , r = 18 সে.মি.
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = S
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 100°

আমরা জানি,
S = πrθ/180°
বা, S = (π × 18 × 100°)/180°
বা, S = 10π

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = 10π

প্রশ্ন:  প্রতি বর্গমিটার ৮.৫ টাকা দরে একটি রুমের মেঝে তৈরী করতে মোট খরচ ৫১০ টাকা। রুমটির দৈর্ঘ্য
 ৮ মিটার হলে প্রস্থ কত মিটার?

সমাধান:
আমরা জানি,
মেঝের ক্ষেত্রফল = (মোট খরচ ÷ প্রতি বর্গমিটারে খরচ)
= (৫১০/৮.৫) বর্গমিটার
= ৬০ বর্গমিটার

আবার,
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, ৮ × প্রস্থ = ৬০
বা, প্রস্থ = ৬০/৮
∴ প্রস্থ = ৭.৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি বর্গাকৃতি মাঠের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। মাঠটির পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
১ হেক্টর = ১০০০০ বর্গমিটার
∴ বর্গাকার মাঠের ক্ষেত্রফল = ১০০০০ বর্গমিটার
∴ বর্গক্ষেত্রের প্রতিবাহু = √১০০০০ মিটার
= ১০০ মিটার

∴ মাঠের পরিসীমা = ৪ × বাহুর দৈর্ঘ্য
= (৪ × ১০০) মিটার
= ৪০০ মিটার

প্রশ্ন: একটি বাগানের দৈর্ঘ্য 20 মিটার, প্রস্থ 16 মিটার। বাগানের বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বাগানের দৈর্ঘ্য 20 মিটার
বাগানের প্রস্থ 16 মিটার

বাগানের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য  × প্রস্থ) বর্গ একক
= (20 × 16) বর্গ মিটার
= 320 বর্গ মিটার

যেহেতু, বাগানের বাইরে চারদিকে 2 মিটার চওড়া একটি রাস্তা আছে।
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = 20 + (2 + 2) মিটার = 24 মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = 16 + (2 + 2) মিটার = 20 মিটার
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (24 × 20) বর্গ মিটার
= 480 বর্গ মিটার

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (480 - 320) বর্গ মিটার
= 160 বর্গ মিটার

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা ০.২ মিটার। ঐ চৌবাচ্চায় কত ঘনমিটার পানি ধরবে?

সমাধান:
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = প্রস্থ = উচ্চতা = ০.২ মিটার

∴ চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা)
= (০.২ × ০.২ × ০.২) ঘনমিটার
= ০.০০৮ ঘনমিটার

প্রশ্ন: 2a বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের কর্ণের উপর অংকিত একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান:
 2a বাহুবিশিষ্ট বর্গের কর্ণ = √2 (2a)= 2√2a
তাহলে কর্ণের উপর অংকিত একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (2√2a)² = 8a²

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 24 মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
ধরি,
বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = a
∴ পরিসীমা = 4a

প্রশ্নমতে,
4a = 24
∴ a = 6

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)²
= 6²
= 36 বর্গমিটার 

প্রশ্ন: একটি কোণকের ভূমির ব্যাস ২৮ সেমি এবং তীর্যক উচ্চতা ১০ সেমি হলে কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
কোণকের ভূমির ব্যাস = 28 cm
কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ r = 28/2 = 14 cm
কোণকের তীর্যক উচ্চতা l = 10 cm 

কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = πrl
= (22/7) × 14 × 10
= 440 বর্গসেমি

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2√3 বর্গ মিটার হলে, এক বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি.

প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 2√3
বা, a² = 2√3 × (4/√3)
বা, ‍a² = 8
বা, a = √8
∴ a = 2√2 মি.

∴ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 2√2 মি.

প্রশ্ন: একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের অন্তর 2 মিটার এবং তাদের মধ্যে লম্ব দূরত্ব 3 মিটার। ট্রাপিজিয়াম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 30 বর্গ মিটার হলে, বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তরাল বাহুদ্বয় x ও (x + 2) মিটার

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = (1/2) × 3 × (x + x + 2) বর্গ মিটার

প্রশমতে,
(1/2) × 3 × (x + x + 2) = 30
বা, 2x + 2 = 20
বা, 2x = 18
বা, x = 9

বৃহত্তম বাহুটির দৈর্ঘ্য = 9 + 2 = 11 মিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈৰ্ঘ্য যথাক্রমে 18 সে.মি. ও 20 সে.মি.। রম্বসের ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
রম্বসের ক্ষেত্রফল= 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 18 × 20 = 180 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 12 সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সমাধান:
যেহেতু ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ,
তাই এর ক্ষেত্রফল হবে = (1/2) × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
= (1/2) × 12 × 12
= 72  বর্গসেমি

প্রশ্ন: কোনটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র?

সমাধান:
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা

প্রশ্ন: 12 সে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট গোলকের আয়তন কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
গোলকের ব্যাস = 12 সে.মি. 
গোলকের ব্যাসার্ধ r = 12/2 সে.মি.
                              = 6 সে.মি.
গোলকটির আয়তন = (4/3)πr³ ঘন সে.মি. 
                              = (4/3)π × 6³ ঘন সে.মি. 
                              =  (4/3)π × 216 ঘন সে.মি. 
                               = 288π ঘন সে.মি.