লগ ইননিবন্ধন
পরীক্ষা আর্কাইভ

নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

পরীক্ষানতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাসতারিখতারিখ অনির্ধারিতসময়55 minutes
মোট প্রশ্ন৪২
সিলেবাস
বিষয় - গাণিতিক যুক্তি টপিক - বীজগণিত i) বীজগাণিতিক সূত্রাবলি ও এর প্রয়োগ, বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ; ii) সরল ও দ্বিপদী সমীকরণ এবং সরল সহসমীকরণ, সরল ও দ্বিপদী অসমতা। সোর্স: ষষ্ঠ থেকে উচ্চ-মাধ্যমিক শ্রেণি পর্যন্ত গণিত বোর্ড বই [NCTB ও উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়] এবং যেকোনো ভালো একটি গাইড বই। ------------- নির্দেশিকা: ১. এই রুটিনে সারাবছর জুড়ে পরীক্ষা চলমান থাকে। আপনি আজ ১ম পরীক্ষা দেওয়া শুরু করলে ২০০ দিনের মধ্যে পুরো সিলেবাস সম্পন্ন হবে। ২. এই পরীক্ষাটি "Award Mania: Season - 10” এর জন্য প্রযোজ্য।
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস · তারিখ অনির্ধারিত · ৪২ প্রশ্ন

১.
a4 + a2b2 + b4 = 21 এবং a2 + ab + b2 = 7 হলে, a2 - ab + b2 এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    2
  3. গ
    11
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a4 + a2b2 + b4 = 21 এবং a2 + ab + b2 = 7 হলে, a2 - ab + b2 এর মান কত?

সমাধান:
a4 + a2b2 + b4 = 21
⇒ (a2)2 + 2a2b2 + (b2)2 - a2b2 = 21
⇒ (a2 + b2)2 - (ab)2 = 21
⇒ (a2 + b2 + ab)(a2 + b2 - ab) = 21
⇒ (a2 + ab + b2)(a2 - ab + b2) = 21
⇒ 7(a2 - ab+ b2) = 21
⇒ a2 - ab + b2 = 21/7
∴ a2 - ab + b2 = 3
২.
x2 + 7x - 120 এর একটি উৎপাদক x - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (x + 13)
  2. খ
    (x - 12)
  3. গ
    (x + 15)
  4. ঘ
    (x - 17)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 + 7x - 120 এর একটি উৎপাদক x - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x2 + 7x - 120
= x2 - 8x + 15x - 120
= x(x - 8) + 15(x - 8)
= (x - 8)(x + 15)
৩.
(7x/8) + 5 = (x/4) + 15 হলে, x এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    15
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (7x/8) + 5 = (x/4) + 15 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(7x/8) + 5 = (x/4) + 15
⇒ (7x + 40)/8 = (x + 60)/4
⇒ (7x + 40) = 2(x + 60)
⇒ 7x + 40 = 2x + 120
⇒ 5x = 80
∴ x = 16
৪.
যদি a + b + c = 0 হয়, তবে (a3 + b3 + c3)/6 এর মান কত?
  1. ক
    abc/2
  2. খ
    abc
  3. গ
    3abc
  4. ঘ
    abc/3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0 হয়, তবে (a3 + b3 + c3)/6 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 0
⇒ a + b = - c
⇒ (a + b)3 = (- c)3
⇒ a3 + b3 + 3ab(a + b) = - c3
⇒ a3 + b3 - 3abc = - c3
⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc
⇒ (a3 + b3 + c3)/6 = 3abc/6
∴ (a3 + b3 + c3)/6 = abc/2
৫.
3x - 5 > 10 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    {x ∈ R: x < 8}
  2. খ
    {x ∈ R: x > 3}
  3. গ
    {x ∈ R: x < 6}
  4. ঘ
    {x ∈ R: x > 5}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x - 5 > 10 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3x - 5 > 10
⇒ 3x - 5 + 5 > 10 + 5
⇒ 3x > 15
⇒ 3x/3 > 15/3
⇒ x > 5
∴ নির্ণেয় সমাধান: x > 5
সুতরাং, সমাধান সেট, S = {x ∈ R: x > 5}
৬.
a2 + b2 = 25 এবং a = 12/b হলে, (a - b)2 এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a2 + b2 = 25 এবং a = 12/b হলে, (a - b)2 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + b2 = 25
এবং, a = 12/b
⇒ ab = 12

এখন, (a - b)2 = a2 - 2 · a · b + b2
= a2 + b2 - 2ab
= 25 - {2 × (12)}
= 25 - 24
= 1
৭.
(3x + 2y, 6) = (4, 4x - 3y) হলে, (x, y) = কত?
  1. ক
    (3/19, - 5/19)
  2. খ
    (24/17, - 2/17)
  3. গ
    (2/9, 5/14)
  4. ঘ
    (6/19, 4/15)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (3x + 2y, 6) = (4, 4x - 3y) হলে, (x, y) = কত?

সমাধান:
3x + 2y = 4 ...... (1)
4x - 3y = 6 ...... (2)
(1) নং × 3 + (2) নং × 2 ⇒
9x + 6y + 8x - 6y = 12 + 12
⇒ 17x = 24
∴ x = 24/17

x এর মান (1)নং বসিয়ে পাই,
72/17 + 2y = 4
⇒ 2y = 4 - 72/17
⇒ 2y = (68-72)/17
⇒ 2y = -4/17
∴ y = -2/17
∴ (x, y) = (24/17, -2/17)
৮.
x3 - 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?
  1. ক
    (x + 2)(x2 - 4x + 8)
  2. খ
    (x + 3)(x2 - 3x - 9)
  3. গ
    (x - 2)(x2 + 4x - 8)
  4. ঘ
    (x - 3)(x2 + 3x + 9)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x3 - 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
x3 - 27
= (x3) - (33)
= (x - 3)(x2 + 3x + 32)
= (x - 3)(x2 + 3x + 9)
৯.
a + b = 9 এবং a - b = 1 হলে, ab এর মান কত?
  1. ক
    20
  2. খ
    15
  3. গ
    25
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 9 এবং a - b = 1 হলে, ab এর মান কত?

সমাধান:
ab = {(a + b)2 - (a - b)2}/4
= (92 - 12)/4
= (81 - 1)/4
= 80/4
= 20
১০.
(x2 - 5x + 6) এবং (x2 - 7x + 12) এর সাধারণ উৎপাদক কত?
  1. ক
    (x - 2)
  2. খ
    (x - 3)
  3. গ
    (x + 2)
  4. ঘ
    (x + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x2 - 5x + 6) এবং (x2 - 7x + 12) এর সাধারণ উৎপাদক কত?

সমাধান:
১ম ক্ষেত্র,
(x2 - 5x + 6)
= x2 - 3x - 2x + 6
= x(x - 3) - 2(x - 3)
= (x - 3)(x - 2)

২য় ক্ষেত্র,
(x2 - 7x + 12)
= x2 - 3x - 4x + 12
= x(x - 3) - 4(x - 3)
= (x - 3)(x - 4)
সাধারণ উৎপাদক = (x - 3)
১১.
- 3 < x < 2 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-
  1. ক
    |3x - 2| < 6
  2. খ
    |2x + 1| < 5
  3. গ
    |x + 5| > 4
  4. ঘ
    |x - 7| > 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 3 < x < 2 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
- 3 < x < 2
⇒ - 3 + 1/2 < x + 1/2 < 2 + 1/2
⇒ - 5/2 < x + 1/2 < 5/2
⇒ |x + 1/2| < 5/2
∴ |2x + 1| < 5
১২.
x2 - √5x + 1 = 0 হলে, x - (1/x) এর মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - √5x + 1 = 0 হলে, x - (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 - √5x + 1 = 0
বা, x2 + 1 = √5x
বা, x + (1/x) = √5

এখন,
{x - (1/x)}2 = {x + (1/x)}2 - 4x(1/x)
বা, {x - (1/x)}2 = (√5)2 - 4
বা, {x - (1/x)}2 = 5 - 4
∴ x - (1/x) = 1
১৩.
যদি x + 4y = 28, x = 2y হয়, তবে y =?
  1. ক
    12/7
  2. খ
    14/3
  3. গ
    5/13
  4. ঘ
    6/17
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + 4y = 28, x = 2y হয়, তবে y =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 2y
এবং x + 4y = 28
⇒ 2y + 4y = 28
⇒ 6y = 28
⇒ y = 28/6
∴ y = 14/3
১৪.
√m + (1/√m) = 4 হলে, √m - (1/√m) = কত?
  1. ক
    2√3
  2. খ
    2√5
  3. গ
    √10
  4. ঘ
    √14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: √m + (1/√m) = 4 হলে, √m - (1/√m) = কত?

সমাধান:
{√m - (1/√m)}2 = {√m + (1/√m)}2 - 4 · √m (1/√m)
⇒ {√m - (1/√m)}2 = (4)2 - 4
⇒ {√m - (1/√m)}2 = 16 - 4
⇒ {√m - (1/√m)}2 = 12
∴ √m - (1/√m) = √12
√m - (1/√m) = √(4 × 3)
√m - (1/√m) = 2√3
১৫.
একটি সংখ্যার 3 গুণের সাথে 12 যোগ করা হলে যোগফল সংখ্যাটির 4 গুণ অপেক্ষা 8 কম। সংখ্যাটি কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    15
  3. গ
    18
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 3 গুণের সাথে 12 যোগ করা হলে যোগফল সংখ্যাটির 4 গুণ অপেক্ষা 8 কম। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখাটি = x

প্রশ্নমতে
3x + 12 = 4x - 8
⇒ 4x - 3x = 12 + 8
∴ x = 20
১৬.
নিচের কোনটি 12x2 - 38x + 20 এর একটি উৎপাদক নয়?
  1. ক
    (2x - 5)
  2. খ
    2
  3. গ
    (3x - 2)
  4. ঘ
    (x - 4)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি 12x2 - 38x + 20 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
12x2 - 38x + 20
= 2(6x2 - 19x + 10)
= 2(6x2 - 15x - 4x + 10)
= 2{3x(2x - 5) - 2(2x - 5)}
= 2(2x - 5)(3x - 2)
১৭.
3x + 2y + 4 = 0 এবং 4x - 3y - 5 = 0 হলে x এর মান কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    - 2/17
  3. গ
    6
  4. ঘ
    - 3/16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x + 2y + 4 = 0 এবং 4x - 3y - 5 = 0 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 2y + 4 = 0
⇒ 3x + 2y = - 4 ...... (1)
এবং 4x - 3y - 5 = 0
⇒ 4x - 3y = 5 ....... (2)
{(1)নং × 2} + {(2)নং × 3} ⇒
8x - 6y + 9x + 6y = 10 - 12
⇒ 17x = - 2
∴ x = - 2/17
১৮.
a + b + c = 8, a2 + b2 + c2 = 30 হলে, ab + bc + ca = কত?
  1. ক
    17
  2. খ
    23
  3. গ
    37
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 8, a2 + b2 + c2 = 30 হলে, ab + bc + ca = কত?

সমাধান:
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 82 = 30 + 2(ab + bc + ca)
⇒ 64 - 30 = 2(ab + bc + ca)
⇒ 2(ab + bc + ca) = 34
⇒ (ab + bc + ca) = 34/2
∴ (ab + bc + ca) = 17
১৯.
x + 3y = 7 এবং 2x + 4y = 10 হলে x ও y এর মান কত?
  1. ক
    1, 2
  2. খ
    2, 1/2
  3. গ
    2, 3
  4. ঘ
    1/2, 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + 3y = 7 এবং 2x + 4y = 10 হলে x ও y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + 3y = 7
⇒ x = 7 - 3y

এবং 2x + 4y = 10
⇒ 2(7 - 3y) + 4y = 10
⇒ 14 - 6y + 4y = 10
⇒ - 2y = 10 - 14
⇒ y = 4/2
∴ y = 2

∴ x = 7 - 3 × 2 = 7 - 6 = 1
২০.
x + y = 4, x2 + y2 = 10 হলে x3 + y3 = ?
  1. ক
    16
  2. খ
    32
  3. গ
    28
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y = 4, x2 + y2 = 10 হলে x3 + y3 = ?

সমাধান:
(x + y)2 = x2 + y2 + 2xy
⇒ 42 = 10 + 2xy
⇒ 16 = 10 + 2xy
⇒ 2xy = 6
∴ xy = 3

∴ x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)
= 43 - (3 × 3 × 4)
= 64 - 36
= 28
২১.
|3x - 4| < ৪ অসমতাটির সমাধান কোনটি? 
  1. ক
    - (2/3) < x < 8
  2. খ
    - (5/2) > x > 6
  3. গ
    - (4/3) < x < 4
  4. ঘ
    - (2/5) > x > 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |3x - 4| < ৪ অসমতাটির সমাধান কোনটি? 

সমাধান:
যদি (3x - 4) অঋণাত্মক হয়, তাহলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায়
3x - 4 < 8
⇒ 3x - 4 + 4 < 8 + 4
⇒ 3x < 12
∴ x < 4

আবার, যদি (3x - 4) ঋণাত্মক হয়, তাহলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায়
- (3x - 4) < 8
⇒ 3x - 4 > - 8
⇒ 3x - 4 + 4 > - 8 + 4
⇒ 3x > - 4
∴ x > - 4/3
∴ অসমতাটির সমাধান: - (4/3) < x < 4
২২.
নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক x + 2?
  1. ক
    x2 + 6x + 8
  2. খ
    x3 - 2x - 3
  3. গ
    x2 - 3x + 6
  4. ঘ
    সবগুলোই সঠিক
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন বহুপদীর একটি উৎপাদক x + 2?

সমাধান:
f(x) এর একটি উৎপাদক x + 2 হলে f(- 2) = 0 হবে।
x = - 2 হলে,
x2 + 6x + 8
= 22 + 6·(- 2) + 8
= 4 - 12 + 8
= 0

x3 - 2x - 3
= (- 2)3 - 2(- 2) - 3
= - 8 + 4 - 3
= - 7 ≠ 0

x2 - 3x + 6
= (- 2)2 - 3(- 2) + 6
= 4 + 6 + 6
= 16 ≠ 0
∴ (x + 2), x2 + 6x + 8 এর একটি উৎপাদক।
২৩.
একটি ভগ্নাংশের হর লব থেকে 3 বেশি। ভগ্নাংশটির লব ও হরের সাথে 10 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 5/6 হয়। ভগ্নাংশটি কত?
  1. ক
    2/5
  2. খ
    4/7
  3. গ
    5/8
  4. ঘ
    7/10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের হর লব থেকে 3 বেশি। ভগ্নাংশটির লব ও হরের সাথে 10 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 5/6 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি
ভগ্নাংশটির লব = a
ভগ্নাংশটির হর = a + 3

প্রশ্নমতে,
(a + 10)/(a + 3 + 10) = 5/6
⇒ (a + 10)/(a + 13) = 5/6
⇒ 6a + 60 = 5a + 65
⇒ 6a - 5a = 65 - 60
∴ a = 5

∴ ভগ্নাংশটি = 5/(5 + 3) = 5/8
২৪.
a + b = 6 এবং a - b = 2 হলে, a2 + b2 এর মান কত?
  1. ক
    20
  2. খ
    24
  3. গ
    28
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b = 6 এবং a - b = 2 হলে, a2 + b2 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
a2 + b2 = (1/2){(a + b)2 + (a - b)2}
= (1/2)(62 + 22)
= (1/2) × 40
= 20
২৫.
x, y এবং z তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা। যদি x < y < z এবং y > 2 হয় তবে নিচের কোনটি অবশ্যই ভুল?
  1. ক
    xy - z > 0
  2. খ
    xyz > 0
  3. গ
    y - xz > 0
  4. ঘ
    ক ও গ উভয়ই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x, y এবং z তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যা। যদি x < y < z এবং y > 2 হয় তবে নিচের কোনটি অবশ্যই ভুল?

সমাধান:
x < y < z
ধরি, x = 2, y = 3 এবং z = 4
তাহলে,
ক) xy - z > 0 ⇒ 2 × 3 - 4 > 0 ⇒ 2 > 0; যা সঠিক।
খ) xyz > 0 ⇒ 2 × 3 × 4 > 0 ⇒ 24 > 0; যা সঠিক।
গ) y - xz > 0 ⇒ 3 - 2 × 4 > 0 ⇒ - 5 > 0; যা অবশ্যই ভুল। [- 5 < 0]
২৬.
নিচের কোনটি p2 + mp - (3m - 2)(4m - 2) এর একটি উৎপাদক?
  1. ক
    (p - 4m - 3)
  2. খ
    (p + 3m - 2)
  3. গ
    (p - 3m + 4)
  4. ঘ
    (p + 4m - 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি p2 + mp - (3m - 2)(4m - 2) এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
p2 + mp - (3m - 2)(4m - 2)
= p2 + mp - (3m - 2)(m + 3m - 2)
= p2 + mp - x(m + x) [3m - 2 = x ধরে]
= p2 + mp - xm - x2
= p2 - x2 + m(p - x)
= (p + x)(p - x) + m(p - x)
= (p - x)(p + x + m)
= (p - 3m + 2)(p + 3m - 2 + m)
= (p - 3m + 2)(p + 4m - 2)
২৭.
রিতার বয়স তন্বীর বয়সের 5 গুণ। তন্বীর বর্তমান বয়স 6 বছর। যখন রিতার বয়স তন্বীর বয়সের তিনগুণ হবে তখন রিতার বয়স কত হবে?
  1. ক
    42
  2. খ
    54
  3. গ
    36
  4. ঘ
    48
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রিতার বয়স তন্বীর বয়সের 5 গুণ। তন্বীর বর্তমান বয়স 6 বছর। যখন রিতার বয়স তন্বীর বয়সের তিনগুণ হবে তখন রিতার বয়স কত হবে?

সমাধান:
তন্বীর বর্তমান বয়স 6 বছর হলে রিতার বর্তমান বয়স = 6 × 5 = 30 বছর 
ধরি, x বছর পরে রিতার বয়স তন্বীর বয়সের তিনগুণ হবে।

প্রশ্নমতে,
3 × (6 + x) = 30 + x
⇒ 18 + 3x = 30 + x
⇒ 3x - x = 30 - 18
⇒ 2x = 12
∴ x = 6
সুতরাং, যখন রিতার বয়স তন্বীর বয়সের তিনগুণ হবে, তখন রিতার বয়স হবে 30 + 6 = 36 বছর।
২৮.
a + b + c = 0 হলে a3 + b3 + c3 + 9abc এর মান কত?
  1. ক
    abc
  2. খ
    3abc
  3. গ
    0
  4. ঘ
    12abc
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + b + c = 0 হলে a3 + b3 + c3 + 9abc এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b + c = 0

প্রদত্ত রাশি = a3 + b3 + c3 + 9abc
= a3 + b3 + c3 - 3abc + 12abc
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) + 12abc
= 0 + 12abc
= 12abc
২৯.
9x2 + 42x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?
  1. ক
    39
  2. খ
    25
  3. গ
    49
  4. ঘ
    35
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9x2 + 42x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে?

সমাধান :
9x2 + 42x
= (3x)2 + 2 · 3x · 7 + 72 - 72
= (3x + 7)2 - 49
∴ 9x2 + 42x এর সাথে 49 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
৩০.
x2 - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূল কয়টি?
  1. ক
    1 টি
  2. খ
    2 টি
  3. গ
    3 টি
  4. ঘ
    মূল নেই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূল কয়টি? 

সমাধান:
x2 - 8x - 16 = 0
বা, x2 - 4x - 4x + 16 = 0
বা, x(x - 4) - 4(x - 4) = 0
বা, (x - 4) (x - 4) = 0
হয়, x - 4 = 0 বা, x = 4
অথবা, x - 4 = 0 বা, x = 4
∴ x2 - 8x + 16 = 0 সমীকরণের মূল 2 টি (একই)।

[দ্বিঘাত সমীকরণে সবসময় দুটি মূল থাকবে।]
৩১.
রুমির বয়স তুলির বয়সের 1/2 অংশ। লিনা তুলির চেয়ে 3 বছরের বড়। তাদের বয়সের সমষ্টি অনূর্ধ্ব 25 বছর হলে, লিনার বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।
  1. ক
    লিনার বয়স ≤ 9 বছর
  2. খ
    লিনার বয়স ≤ 10 বছর
  3. গ
    লিনার বয়স ≥ 12 বছর
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রুমির বয়স তুলির বয়সের 1/2 অংশ। লিনা তুলির চেয়ে 3 বছরের বড়। তাদের বয়সের সমষ্টি অনূর্ধ্ব 25 বছর হলে, লিনার বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান:
ধরি, তুলির বয়স x বছর
রুমির বয়স x/2 বছর
লিনার বয়স x + 3 বছর

প্রশ্নমতে,
x + x + 3 + (x/2) ≤ 25
⇒ 2x + (x/2) ≤ 25 - 3
⇒ (4x + x)/2 ≤ 22
⇒ 5x ≤ 22 × 2
⇒ x ≤ 44/5
⇒ x ≤ 8.8 (পূর্ণ সংখ্যায়)
⇒ x + 3 ≤ 8.8 + 3
∴ x + 3 ≤ 11.8
অতএব, লিনার বয়স ≤ 11.8 বছর
৩২.
a3 - 4a2 + a + 6 এর উৎপাদক কোনটি?
  1. ক
    (a - 1)(a + 2)(a - 3)
  2. খ
    (a - 2)(a + 1)(a - 3)
  3. গ
    (a - 3)(a + 2)(a - 1)
  4. ঘ
    (a + 1)(a + 2)(a + 3)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a3 - 4a2 + a + 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(a) = a3 - 4a2 + a + 6
∴ f(2) = 23 - 4.22 + 2 + 6
= 8 - 16 + 2 + 6
= 0
তাহলে, (a - 2), f(a) এর একটি উৎপাদক।

এখন, a3 - 4a2 + a + 6
= a3 - 2a2 - 2a2 + 4a - 3a + 6
= a2(a - 2) - 2a(a - 2) - 3(a - 2)
= (a - 2) (a2 - 2a - 3)
= (a - 2) (a2 - 3a + a - 3)
= (a - 2) {a(a - 3) + 1(a - 3)}
= (a - 2) (a + 1) (a - 3)
৩৩.
x = 7 - 4√3 হলে, 1/√x এর মান কত?
  1. ক
    2 + √3
  2. খ
    7
  3. গ
    2√3
  4. ঘ
    1 + 2√7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x = 7 - 4√3 হলে, 1/√x এর মান কত?

সমাধান:
x = 7 - 4√3
⇒ x = 4 + 3 - 4√3
⇒ x = (2)2 + (√3)2 - 2 × 2√3
⇒ x = (2 - √3)2
⇒ √x = 2 - √3
⇒ 1/√x = {1/(2 - √3)} × (2 + √3)/(2 + √3)
⇒ 1/√x = (2 + √3)/{22 - (√3)2}
⇒ 1/√x = (2 + √3)/(4 - 3)
∴ 1/√x = 2 + √3
৩৪.
p - (1/p) = √2 হলে, (p6 - 1)/p3 এর মান কত?
  1. ক
    8√2
  2. খ
    6√2
  3. গ
    5√2
  4. ঘ
    9√2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p - (1/p) = √2 হলে, (p6 - 1)/p3 এর মান কত?

সমাধান:
(p6 - 1)/p3
= (p6/p3) - (1/p3)
= p3 - (1/p3)
= {p - (1/p)}3 + [{3 × p × (1/p)} × {p - (1/p)}]
= (√2)3 + (3 × 1 × √2)
= 2√2 + 3√2
= 5√2
৩৫.
140 টাকা কেজি দরে লেলিন x কেজি আপেল কিনলেন। তিনি বিক্রেতাকে 1000 টাকার একখানা নোট দিলেন। বিক্রেতা 50 টাকার x খানা নোটসহ বাকি টাকা ফেরত দিলেন। x এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় করুন।
  1. ক
    0 < x < 3.26
  2. খ
    - 1 > x > 2.63
  3. গ
    0 < x < 5.26
  4. ঘ
    - 2 > x > 4.63
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 140 টাকা কেজি দরে লেলিন x কেজি আপেল কিনলেন। তিনি বিক্রেতাকে 1000 টাকার একখানা নোট দিলেন। বিক্রেতা 50 টাকার x খানা নোটসহ বাকি টাকা ফেরত দিলেন। x এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
140 টাকা দরে x কেজি আপেলের মূল্য 140x টাকা আবার, x খানা 50 টাকার নোটের মূল্যমান 50x টাকা।
প্রশ্নমতে,
140x + 50x < 100
বা, 190x < 1000
বা, 190x/190 < 1000/190
বা, x < 5.263..
∴ x < 5.26
∴ x এর সম্ভাব্যমান 0 < x < 5.26
৩৬.
(a + b, 4) = (6, a - b) হলে (a, b) এর মান কত?
  1. ক
    (2, 2)
  2. খ
    (3, 7)
  3. গ
    (5, 1)
  4. ঘ
    (8, 2)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (a + b, 4) = (6, a - b) হলে (a, b) এর মান কত?

সমাধান:
a + b = 6 .......... (1)
a - b = 4 ........... (2)

(1) + (2) ⇒
a + b + a - b = 6 + 4
⇒ 2a = 10
∴ a = 5

(1) নং এ a এর মান বসাই,
b = 6 - 5
∴ b = 1

∴(a, b) = (5, 1)
৩৭.
(x + 2) নিচের কোন সমীকরণের একটি উৎপাদক?
  1. ক
    x2 + 3x - 4
  2. খ
    x2 + 3x + 2
  3. গ
    x2 - x - 2
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x + 2) নিচের কোন সমীকরণের একটি উৎপাদক?

সমাধান:
অপশন ক: x2 + 3x - 4
= x2 + 4x - x - 4
= (x - 1)(x + 4)

অপশন খ: x2 + 3x + 2
= x2 + 2x + x + 2
= (x + 1)(x + 2)

অপশন গ: x2 - x - 2
= x2 - 2x + x - 2
= (x + 1)(x - 2)
৩৮.
x + y + z = 10, x3 + y3 + z3 = 75 এবং xyz = 15 হলে, x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    3
  3. গ
    15
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y + z = 10, x3 + y3 + z3 = 75 এবং xyz = 15 হলে, x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
⇒ 75 - 3 × 15 = 10(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx)
⇒ 10(x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx) = 30
∴ x2 + y2 + z2 - xy - yz - zx = 3
৩৯.
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 4 ও 7 হলে, সমীকরণটি হবে-
  1. ক
    x2 - 13x - 38 = 0
  2. খ
    x2 + 9x + 36 = 0
  3. গ
    x2 - 11x + 28 = 0
  4. ঘ
    x2 + 5x + 15 = 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 4 ও 7 হলে, সমীকরণটি হবে-

সমাধান:
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুইটি মূল 4 ও 7 হলে, সমীকরণটি নিম্নরুপ:
x2 - (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0
⇒ x2 - (4 + 7)x + (4 × 7) = 0
⇒ x2 - 11x + 28 = 0
৪০.
a + (1/a) = 3 হলে, (a2 + 1)/(a2 + 2a + 1) এর মান কত?
  1. ক
    3/8
  2. খ
    2/7
  3. গ
    3/5
  4. ঘ
    5/7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a + (1/a) = 3 হলে, (a2 + 1)/(a2 + 2a + 1) এর মান কত?

সমাধান:
a + (1/a)= 3
⇒ (a2 + 1)/a = 3
⇒ a2 + 1 = 3a

এখন
(a2 + 1)/(a2 + 2a + 1)
= (a2 + 1)/(a2 + 1 + 2a)
= 3a/(3a + 2a)
= 3a/5a
= 3/5
৪১.
3x = 2y + 8 হলে 6x - 4y = কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    22
  3. গ
    18
  4. ঘ
    16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x = 2y + 8 হলে 6x - 4y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x = 2y + 8
বা, 3x - 2y = 8
∴ 6x - 4y = 16 
৪২.
3x + 2 = 8 হলে 27x3 + 8 - 81x এর মান কত?
  1. ক
    124
  2. খ
    178
  3. গ
    232
  4. ঘ
    62
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x + 2 = 8 হলে 27x3 + 8 - 81x এর মান কত?

সমাধান:
3x + 2 = 8
⇒ 3x = 6
⇒ x = 2

প্রদত্ত রাশি = 27x3 + 8 - 81x
= 27(2)3 + 8 - 81 × 2
= 27 × 8 + 8 - 162
= 224 - 162
= 62