Math Master

প্রশ্ন- 'DAUGHTER' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান-
'DAUGHTER' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি এবং স্বরবর্ণ আছে 3 টি।
এখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।

স্বরবর্ণ 3 টি কে একটি মনে করে মোট বর্ণ হয় 6 টি।
তাদের বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720

স্বরবর্ণ 3 টির নিজদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 720 × 6 = 4320

প্রশ্ন- 'DETAIL' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো বিজোড় অবস্থানে থাকে?

সমাধান-
এখানে মোট বর্ণ আছে 6 টি স্বরবর্ণ আছে 3 টি এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।

স্বরবর্ণ 3 টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ³P₃ = 6
বাকি বর্ণগুলো 3 টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ³P₃ = 6

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6 = 36

প্রশ্ন- 6 টি উপন্যাসের মধ্যে দুটি বিশেষ উপন্যাস একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান-
2 টি বিশেষ উপন্যাস একত্রে রেখে অর্থাৎ দুটি উপন্যাসকে একটি মনে করলে মোট উপন্যাস সংখ্যা হয় 5 টি।

5 টি উপন্যাসকে নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় = 5! = 120
2 টি বিশেষ উপন্যাসকে নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় = 2! = 2

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 120 × 2 = 240

প্রশ্ন- প্রত্যেকটি অঙ্ক কেবল একবার নিয়ে 8, 9, 7, 6, 3, 2 অঙ্কগুলো দ্বারা তিন অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান- 
এখানে মোট অঙ্ক আছে 6 টি।
এ 6 টি অঙ্ক থেকে 3 টি কে একবারে নিয়ে মোট সংখ্যা গঠন করা যাবে ⁶P₃ = 120 টি

প্রশ্ন- 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার - চারগুণ।

সমাধান-
'RAJSHAHI' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি এবং H আছে  2 টি।
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8! / (2! × 2!) = 40320/4 = 10080

'BARISAL' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি। 
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7! / 2! = 5040/2 = 2520

এখন,
RAJSHAHI / BARISAL = 10080/2520
⇒ RAJSHAHI / BARISAL = 4
⇒ RAJSHAHI = 4 × BARISAL

অর্থাৎ 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার - চারগুণ।

প্রশ্ন: CAUTIONS শব্দটি থেকে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে, যেখানে ‍A, N থাকবে না?

সমাধান:
যেহেতু A, N থাকবে না,
মোট বর্ণ 6টি
প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা, ⁶P₃ = 6 × 5 × 4 = 120

প্রশ্ন: ’COLLEGE’ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট বর্ণ 7 টি
যার মধ্যে, L= 2 টি, E = 2 টি

মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7! / (2! x 2!) = 1260

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির 3টি লাল পতাকা 3টি হলুদ পতাকা 2টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 8টি পতাকাকে একটি সারিতে ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?

সমাধান:
মোট পতাকা 8 টি
যার মধ্যে, লাল 3টি, হলুদ 3 টি, নীল 2 টি

মোট বিন্যাস সংখ্যা = 8! / (3! x 3! x 2!)
= (8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3!) / (3! x 6 x 2)
= (8 x 7 x 6 x 5 x 4) / (6 x 2)
= 560

প্রশ্ন: 7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে কতভাবে বসানো যাবে? Sol":

সমাধান:
7 জন ব্যক্তি 1 টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে বসতে পারে (n - 1)! উপায়ে
= (7-1)!
= 6!
= 720

প্রশ্ন- যদি ⁶P_r = 360 এবং ⁶C_r = 15 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান-
আমরা জানি,
ⁿP_r = n!/(n-r)!
এবং
ⁿC_r = n!/(n-r)!r!
⇒ ⁿC_r = {n!/(n-r)!} × (1/r!)
⇒ ⁿC_r = ⁿP_r × (1/r!)
⇒ ⁿP_r = ⁿC_r × r!
⇒ ⁶Pr = ⁶C_r × r!
⇒ 360 = 15 × r!
⇒ r! = 360/15
⇒ r! = 24
⇒ r! = 4!
r = 4

প্রশ্ন: ঈদগাহে ঈদের নামাজ শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 78 হলে ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ⁿc₂ = 78
⇒ n(n-1)/2 = 78  
⇒ n² - n = 156
⇒ n² - n - 156 = 0
⇒ n² - 13n + 12n - 156 = 0
⇒ n(n - 13) + 12 (n - 13) = 0
⇒ (n - 13) (n + 12)=0 (2) 

∴ n = 13, - 12 [ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়]

∴ ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা = 13

প্রশ্ন- 10টি পুস্তক হতে 5টি পুস্তক কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান-
2টি পুস্তক সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকলে 10 - 2 = 8টি পুস্তক হতে 5 - 2 = 3টি পুস্তক বাছাই করতে হবে।

মোট বাছাই সংখ্যা = ⁸c₃ = 56

প্রশ্ন- 5 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলার মধ্য হতে 4 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে, যেখানে ন্যূনতম 1 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান-
মোট তিন প্রকারে বাছাই করা যাবে।
(i) 1 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা = ⁵c₁ ×  ⁴c₃ = 5 × 4 = 20
(ii) 2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা = ⁵c₂ × ⁴c₂ = 10 × 6 = 60
(iii) 3 জন পুরুষ ও 1 জন মহিলা = ⁵c₃ ×  ⁴c₁ = 10 × 4 = 40

মোট উপায় = 20 + 60 + 40 = 120

ⁿc_r + ⁿc_{r - 1}

প্রশ্ন- একজন পরীক্ষার্থীকে 12টি প্রশ্ন থেকে 6টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। এর মধ্যে প্রথম 5টি থেকে অবশ্যই 3টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে?

সমাধান-
মোট প্রশ্ন 12টি
প্রথম 5টি থেকে অবশ্যই 3টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে,
তাহলে বাকি 7টি থেকে 3টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে।

মোট বাছাই সংখ্যা = ⁵c₃ × ⁷c₃
= 10 × 35 
= 350

অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হয়েছে।

প্রশ্ন- একটি কলেজের প্রভাষকের 3টি খালি পদের জন্য প্রার্থী আছে 5 জন। খালি পদের সংখ্যা অপেক্ষা বেশি নয় এরূপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচিত করা যেতে পারে?

সমাধান-
3টি পদ খালি পদের জন প্রার্থী আছে 5 জন

1 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = ⁵c₁ = 5
2 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = ⁵c₂ = 10
3 জনকে নির্বাচিত করার উপায় = ⁵c₃ = 10

মোট উপায় = 5 + 10 + 10 = 25

প্রশ্ন- ’DEGREE' শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে যে কোন চারটি অক্ষর প্রতিবার নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যাবে?

সমাধান-
’DEGREE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি, যার মধ্যে E তিনটি।

মোট বাছাই সংখ্যা- 
(i) 4টি ভিন্ন ভিন্ন (D,G,E,R)= ⁴c₄ = 1
(ii) 2টি একই (E,E) এবং 2টি ভিন্ন (D,G,R) = ²c₂ × ³C₂ = 1 × 3 = 3
(II) 3টি একই (E,E,E) এবং 1টি ভিন্ন (D,G,R) = ³c₃ × ³C₁ = 1 × 3 = 3

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 1 + 3 + 3 = 7

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি তার 4 জন বন্ধুকে কত উপায়ে দাওয়াত দিতে পারে?

সমাধান:
মোট উপায় = ⁴c₁ + ⁴c₂ + ⁴c₃ + ⁴c₄
= 4 + 6 + 4 + 1
= 15

অপশনে সঠিক উত্তর না থাকায় প্রশ্নটি বাতিল করা হয়েছে।

প্রশ্ন: 10 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

সমাধান: