১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

⇒ ‘তিতাস একটি নদীর নাম’ উপন্যাস:
• ‘তিতাস একটি নদীর নাম’ সুবিখ্যাত উপন্যাসটির রচয়িতা অদ্বৈত মল্লবর্মণ। উপন্যাসটি ৪টি খণ্ডে রচিত।
• উপন্যাসটি প্রথম মাসিক মোহাম্মদী পত্রিকায়, ১৩৫২ বঙ্গাব্দে প্রকাশিত হয়।
• উপন্যাসটি গ্রন্থাকারে প্রকাশিত হয় ১৯৫৬ খ্রিষ্টাব্দে।
• এই উপন্যাসের মধ্যে অদ্বৈত মল্লবর্মণ তার ব্যক্তিগত অভিজ্ঞতা ও সুগভীর অন্তর্দৃষ্টির বলে কুমিল্লা জেলার তিতাস নামক নদীরতীরের ধীবর সমাজের কাহিনিকে তুলে ধরেছন।

• অদ্বৈত মল্লবর্মণ:
- অদ্বৈত মল্লবর্মণ একজন  সাংবাদিক, ঔপন্যাসিক।
- তিনি  ১৯১৪ সালের ১ জানুয়ারি  ব্রাহ্মণবাড়িয়া জেলার গোকর্ণ গ্রামে জন্ম গ্রহণ করেন।
- অদ্বৈত মল্লবর্মণ 'ত্রিপুরা' পত্রিকায় সাংবাদিকতা দিয়ে কর্মজীবন শুরু করেন।
- তিনি 'মোহাম্মদী' পত্রিকায় বেনামে কবিতা লিখতেন।

তাঁর উল্লেখযোগ্য রচনা:
- নয়া বসত,
- রামধনু,
- দু রঙা প্রজাপতি,
- সাদা হাওয়া,
- দলবেঁধে,
- সাগরতীর্থে,
- রাঙামাটি ইত্যাদি ।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর এবং বাংলাপিডিয়া।

⇒ আবুল হুসেন:
• আবুল হুসেন একজন প্রাবন্ধিক, চিন্তাবিদ, সমাজ সংস্কারক ছিলেন।
• আবুল হুসেন মুসলমান সমাজে আধুনিক শিক্ষা ও জ্ঞানের আলো বিস্তারের উদ্দেশ্যে লেখনী পরিচালনা করেন।
• আবুল হুসেন ছিলেন 'শিখা' পত্রিকার প্রথম বর্ষের সম্পাদক।

• তাঁর বিখ্যাত গ্রন্থের নাম:
- বাংলার বলশী,
- মুসলিম কালচার ও
- বাঙালি মুসলমানদের শিক্ষা সমস্যা ইত্যাদি।

• বাংলার বলশী গ্রন্থে তিনি কৃষকদের দুঃখ দুর্দশা চিহ্নিত করে তাদের মুক্তির পথ নির্দেশ করেন। মননশীল প্রবন্ধকার হিসেবে তিনি কৃষক-সমাজের দুঃখ-দুর্দশার মুক্তির পথ নির্দেশ করেন তাঁর 'বাংলার বলশী' গ্রন্থের প্রবন্ধসমূহে।
• রুশবিপ্লবের প্রেরণায় অনুপ্রাণিত হয়ে তিনি ‘কৃষকের আর্তনাদ’, ‘কৃষকের দুর্দশা’ ও ‘কৃষি বিপ্লবের সূচনা' নামক প্রবন্ধ রচনা করেন।
• ঢাকায় যে বুদ্ধির মুক্তি আন্দোলন হয় তাতে আবুল হুসেনই নেতৃত্ব দেন ।
• তিনি ঢাকায় মুসলিম সাহিত্য সমাজ (১৯২৬) গঠন এবং এর মুখপত্র শিখা সম্পাদনা ও প্রকাশ করে এ আন্দোলনকে প্রাতিষ্ঠানিক রূপ দেন।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর এবং বাংলাপিডিয়া।

⇒ 'সূর্য দীঘল বাড়ী' উপন্যাস:
- 'সূর্য দীঘল বাড়ী' আবু ইসহাক রচিত একটি সামাজিক উপন্যাস।
- ১৯৫৫সালে উপন্যাসটি প্রকাশিত হয়।
- বাংলাদেশের গ্রাম জীবনের বিশ্বস্ত দলিল এই গ্রন্থ।
- বিশ্বযুদ্ধ, দুর্ভিক্ষ, সাম্প্রদায়িক দাঙ্গা, দেশবিভাগ প্রভৃতি পরপর চারটি বড় ঐতিহাসিক ঘটনার পটভূমিতে তিনি রচনা করেন 'সূর্য দীঘল বাড়ী'
- জয়গুন এই উপন্যাসের কেন্দ্রীয় চরিত্র। উপন্যাসের অন্যান্য চরিত্র: হাসু, মায়মুন, শাফি, ডা. রমেশ চক্রবর্তী, মোরল গদু ইত্যাদি।

• কথাসাহিত্যিক আবু ইসহাক রচিত অন্যান্য উপন্যাস:
- পদ্মার পলিদ্বীপ,
- জাল।

• গল্পগ্রন্থ:
- হারেম,
- মহাপতঙ্গ।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর এবং বাংলাপিডিয়া।

⇒ কাজী ইমদাদুল হক:
- কাজী ইমদাদুল হক একজন  শিক্ষাবিদ, সাহিত্যিক। 
- তিনি ১৮৮২ সালের ৪ নভেম্বর  খুলনা জেলার গোদাইপুর গ্রামে জন্ম গ্রহণ করেন। 
- তিনি কবিতা,  উপন্যাস, প্রবন্ধ, শিক্ষা ও নীতিমূলক  শিশুসাহিত্য রচনায় খ্যাতি অর্জন করেন।
- 'আবদুল্লাহ' উপন্যাসের লেখক হিসেবেই তিনি সমধিক পরিচিতি।
-  আবদুল্লাহ উপন্যাস রচনা করেই তিনি ঔপন্যাসিক হিসেবে খ্যাতি লাভ করেন। 
-  ১৯২০ সালের মে মাসে ইমদাদুল হকের সম্পাদনায় প্রকাশিত হয় শিক্ষাবিষয়ক মাসিক পত্রিকা ‘শিক্ষক’।

• উপন্যাস- আবদুল্লাহ্।
• কাব্য- আঁখিজল ও লতিকা।
• প্রবন্ধ- প্রবন্ধমালা।
• শিশুতোষ গ্রন্থ- নবীকাহিনী।

উৎস: বাংলা ভাষা ও সাহিত্য জিজ্ঞাসা, ড. সৌমিত্র শেখর এবং বাংলাপিডিয়া।

অর্থনৈতিক সমীক্ষা ২০২৩:

- অর্থনৈতিক সমীক্ষা ২০২৩ অনুযায়ী প্রতি বর্গ কিমি জনসংখ্যার ঘনত্ব ১,১৫৩ জন।
- প্রত্যাশিত গড় আয়ুষ্কাল - ৭২.৩ বছর।
- দারিদ্র্যের হার ১৮.৭%।
- চরম দারিদ্র্যের হার - ৫.৬%।
- সাক্ষরতার (৭+) হার- ৭৬.৪%।
- জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার- ১.৩০%।
- পুরুষ-মহিলা অনুপাত - ৯৮.১ : ১০০।
- স্থির মূল্যে GDP প্রবৃদ্ধির হার - ৬.০৩%।
- চলতি মূল্যে মাথাপিছু জাতীয় আয় - ২,৭০,৪১৪ টাকা (২,৭৬৫ মা.ড)।
- চলতি মূল্যে মাথাপিছু GDP - ২,৫৯,৯১৯ টাকা।

তথ্যসূত্র - অর্থনৈতিক সমীক্ষা ২০২৩।

বাজেট ২০২৩:

- মাথাপিছু আয় ২,৯৬১ মার্কিন ডলার।
- বার্ষিক উন্নয়ন কর্মসূচী (ADP) ২,৬৩,০০০ কোটি টাকা।
- স্বায়ত্তশাসিত সংস্থা/কর্পোরেশন ও এক্সপোর্ট ক্রেডিট এজেন্সিসহ বার্ষিক উন্নয়ন কর্মসূচির মোট আকার ২,৭৪,৬৭৪ কোটি টাকা।
- উন্নয়ন বাজেটে বরাদ্দের পরিমাণ ২,৭৭,৫৮২ কোটি টাকা।

তথ্যসূত্র - অর্থনৈতিক সমীক্ষা ২০২৩।

২০২২-২৩ অর্থবছরে বৃহৎ ৩টি খাত:

- জিডিপির সর্ববৃহৎ খাত - সেবাখাত (১৩টি খাত নিয়ে গঠিত)।
- সবচেয়ে ছোট খাত - কৃষিখাত।
- কর্মসংস্থানের দিক থেকে বৃহৎখাত - কৃষিখাত (৪৫.৩৩ শ্রমশক্তি নিয়োজিত)।
- সবচেয়ে ছোট খাত শিল্পখাত (১৭.০২% শ্রমশক্তি - নিয়োজিত)।
- জিডিপির সবচেয়ে দ্রুত বর্ধনশীল খাত - শিল্পখাত।
- এর প্রবৃদ্ধির হার - ৮.১৮%।
- কৃষিখাতের প্রবৃদ্ধির হার সবচেয়ে কম।
- এর প্রবৃদ্ধির হার - ২.৬১%।

তথ্যসূত্র - অর্থনৈতিক সমীক্ষা, ২০২৩।

সংখ্যাবাচক শব্দ মূলত দুই প্রকার।
যথা: 
• ক্রমবাচক - এক, দুই, তিন, চার...আট ইত্যাদি।
• পূরণবাচক - প্রথম, দ্বিতীয় তৃতীয় ইত্যাদি।

পূরণবাচক শব্দ আবার ৩ প্রকার।
যথা:
- সাধারণ পূরণবাচক: প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয়, চতুর্থ ... নবম, চতুর্দশ ইত্যাদি। সাধারণ পূরণবাচকের নারীবাচক রূপ রয়েছে। যেমন- ষোড়শী, একাদশী, সপ্তমী, এয়োদশী ইত্যাদি।
- তারিখ পূরণবাচক: পহেলা, দোসরা, তেসরা, চৌঠা ইত্যাদি।
- ভগ্নাংশ পূরণবাচক: আধ, সাড়ে, পোয়া, দেড়, আড়াই ইত্যাদি।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি (২০২২ সংস্করণ)।

• পাশাপাশি ধ্বনির মিলনকে সন্ধি বলে।
• কিছু স্বরসন্ধি ও কিছু ব্যঞ্জনসন্ধি কোনো সূত্র বা নিয়ম অনুসরণ করে না, সেগুলোকে নিপাতনে সিদ্ধ সন্ধি বলে।

নিপাতনে সিদ্ধ কিছু স্বরসন্ধি হলো:
কুল+অটা = কুলটা,
গো+অক্ষ = গবাক্ষ ইত্যাদি।

নিপাতনে সিদ্ধ কিছু ব্যঞ্জনসন্ধি হলো:
গো+পদ = গোষ্পদ,
এক+দশ = একাদশ,
বৃহৎ+পতি = বৃহস্পতি ইত্যাদি।

উৎস: বাংলা ভাষার ব্যাকরণ ও নির্মিতি, নবম-দশম শ্রেণি।

জাতিসংঘের ইতিহাস:

- সানফ্রান্সিসকো সম্মেলন শেষ হওয়ার চার মাস পরে জাতিসংঘ আনুষ্ঠানিকভাবে শুরু করে।
- ২৪ অক্টোবর ১৯৪৫ সালে জাতিসংঘ প্রতিষ্ঠিত হয়।
- শুরুতে চীন, ফ্রান্স, সোভিয়েত ইউনিয়ন, যুক্তরাজ্য, মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র এবং একটি সনদ দ্বারা এটি অনুমোদিত হয়।
- জাতিসংঘ আন্তর্জাতিক শান্তি ও নিরাপত্তা বজায় রাখতে, প্রয়োজনে মানবিক সহায়তা প্রদান, মানবাধিকার রক্ষা এবং আন্তর্জাতিক আইন সমুন্নত রাখতে কাজ করছে।
- টেকসই ভবিষ্যত অর্জনের জন্য জাতিসংঘ ২০৩০ সালের জন্য টেকসই উন্নয়ন লক্ষ্যমাত্রা নির্ধারণ করেছে।

তথ্যসূত্র - জাতিসংঘ অফিসিয়াল ওয়েবসাইট।

International Development Association:

- IDA বিশ্বব্যাংক গ্রুপের একটি প্রতিষ্ঠান।
- এটি ১৯৬০ সালের ২৮ সেপ্টেম্বর প্রতিষ্ঠিত হয়।
- বর্তমান সদস্য সংখ্যা ১৭৪টি। 
- বাংলাদেশ ১৯৭২ সালের ১৭ আগস্ট IDA এর সদস্যপদ লাভ করে।
- IDA তৃতীয় বিশ্বের অনুন্নত দেশগুলোকে সহজ শর্তে ও স্বল্পসুদে ঋণ প্রদান করে থাকে।যার কারণে IDA কে Soft Loan Window বলা হয়। - যেসব দেশ IBRD থেকে ঋণ পায় না, সেসব দেশকে IDA ঋণ প্রদান করে থাকে।
- IDA থেকে প্রথম ঋণ গ্রহীতা দেশ হন্ডুরাস।

তথ্যসূত্র - IDA অফিসিয়াল ওয়েবসাইট।

জাতিসংঘ ও নোবেল পুরস্কার:

- জাতিসংঘ প্রতিষ্ঠার পর থেকে জাতিসংঘ ও এর সাথে সম্পর্কিত ব্যাক্তিবর্গ মোট ১২ বার নোবেল শান্তি পুরস্কার লাভ করেন।
- জাতিসংঘের ২ জন মহাসচিব নোবেল পুরস্কার পেয়েছেন।
- জাতিসংঘ মহাসচিব থাকাকালীন কঙ্গো সংকট নিরসনে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা ও জাতিসংঘকে একটি কার্যকরী বৈশ্বিক লাভ করে।
- ১৯৬১ সালে দ্যাগ হ্যামারশোল্ড (মরণোত্তর) নোবেল শান্তি পুরস্কার লাভ করেন।
- বিশ্ব শান্তি প্রতিষ্ঠা ও উন্নত শান্তিপূর্ণ বিশ্ব নিশ্চিৎকরণে অবদান রাখার জন্য জাতিসংঘ ও কফি আনান ২০০১ সালে নোবেল শান্তি পুরস্কারে ভূষিত হন।

তথ্যসূত্র - জাতিসংঘ অফিসিয়াল ওয়েবসাইট।

GATT:

- GATT এর পূর্ণরূপ The General Agreement on Tariffs and Trade.
- এটি হলো WTO এর পূর্বসূরী।
- ১৯৪৭ সালের ৩০ অক্টোবর জেনেভায় ২৩টি দেশ GATT চুক্তিতে স্বাক্ষর করে।
- ১৯৮৬ সালে সূত্রপাত হওয়া উরুগুয়ে রাউন্ডের আটবছর ব্যাপী আলোচনার পর ১৯৯৫ সালের ১ জানুয়ারি GATT এর স্থলে WTO (World Trade Organization) আত্মপ্রকাশ করে।
- বাংলাদেশ ১৯৭২ সালের ১৬ ডিসেম্বর GATT এর সদস্য হয়।

তথ্যসূত্র - WTO অফিসিয়াল ওয়েবসাইট।

জাতিসংঘ প্রতিষ্ঠা:

- ১৯৪২ সালের ১ জানুয়ারি মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের তৎকালীন প্রেসিডেন্ট ফ্রাঙ্কলিন রুজভেল্ট জাতিসংঘের নামকরণ করেন।
- দ্বিতীয় বিশ্বযুদ্ধ চলাকালে তৎকালীন মার্কিন প্রেসিডেন্ট ফ্রাঙ্কলিন রুজভেল্ট, ব্রিটিশ প্রধানমন্ত্রী উইনস্টন চার্চিল, সাবেক সোভিয়েত ইউনিয়ন প্রেসিডেন্ট জোসেফ স্ট্যালিন প্রমুখের উদ্যোগে ১৯৪৫ সালের ২৪ অক্টোবর আনুষ্ঠানিকভাবে জাতিসংঘ গঠিত হয়।
- জাতিসংঘ সনদ ১৯৪৫ সালের ২৬ জুন গৃহীত এবং স্বাক্ষরিত হয়েছিল।
- প্রতি বছর ২৪ অক্টোবর জাতিসংঘ দিবস পালিত হয়।
- ১৯৪৫ সালের ২৬ জুন অনুষ্ঠিত সানফ্রান্সিসকো জাতিসংঘের প্রতিষ্ঠাকালীন সদস্য সংখ্যা ৫১টি।
- কনফারেন্সে ৫০টি দেশ জাতিসংঘ সনদে স্বাক্ষর করে।
- পোল্যান্ড ৫১তম দেশ হিসেবে ১৫ই অক্টোবর জাতিসংঘ সনদে স্বাক্ষর করে।
- জাতিসংঘের বর্তমান সদস্য সংখ্যা ১৯৩টি।

তথ্যসূত্র - জাতিসংঘ অফিসিয়াল ওয়েবসাইট।

• Astrophel and Stella written by Sir Philip Sidney was considered the finest Elizabethan sonnet cycle.
- Sir Philip Sidney হলেন Elizabethan era এর একজন বিখ্যাত সনেট রচয়িতা এবং সাহিত্য সমালোচক। 
- তাকে ইংরেজী রেনেসাঁর অগ্রুদুত বলা হয়।
- Sidney helped to popularize Italian poetic forms such as the sonnet and the villanelle, making them some of the most popular and enduring forms in English poetry

• তার উল্লেখযোগ্য সাহিত্যকর্ম হল -
- The Lady of May,
- Arcadia,
- Astrophel and Stella etc.

• অন্যদিকে,
- Sonnet 18 is one of the most famous sonnets written by William Shakespeare.
- Death, Be Not Proud is a sonnet written by John Donne.
- Amoretti is a sonnet written by Edmund Spenser.

Source: Britannica and Live MCQ Lecture and ইংরাজি সাহিত্যের ইতিহাস: শীতল ঘোষ।

• The Marchant of Venice by Shakespeare features the character Portia, who disguises herself as a male lawyer.
- এই comedy এর female protagonist বা কেন্দ্রীয় নারী  চরিত্র হচ্ছে Portia.
- Portia এর অত্যন্ত বুদ্ধিদীপ্ত চারিত্রিক বৈশিষ্ট্যের কারনে এই চরিত্র টকে William Shakespeare সৃষ্ট সকল নারী চরিত্রের মধ্যে অন্যতম বলে বিবেচনা করা হয়।

• 'The Marchant of the Venice' is a Shakespearean play about - A Jew.
- এক ইহুদি সুদখোর 'Shylock' এর কাহিনী নিয়ে এটি রচিত। 
- Shylock in Merchant of Venice was a Jewish moneylender. 
- এটি একটি five acts বিশিষ্ট  comedy.
- ১৫৯৬-৯৭ সালের দিকে এই comedy টি লেখা হয়েছিল।

• এই comedy এর উল্লেখযোগ্য অন্যান্য চরিত্রঃ
- Antonio,
- Shylock (Jew moneylender),
- Portia (Heroine)
- Bassanio,
- Jessica etc.

Source: Britannica.

• উল্লেখিত অপশন গুলোর মধ্যে - 'Easter Wings' is not a poem written by 'John Donne'.
- 'Easter Wings' is written by - George Herbert.
- George Herbert is a writer of Jacobean Period এবং একজন Metaphysical Poet.
- George Herbert was born in 1593 & died in 1633 who was an English religious poet, a major metaphysical poet, notable for the purity and effectiveness of his choice of words.
- Throughout George Herbert's life he wrote poems, and from his deathbed he sent a manuscript volume to Ferrar, asking him to decide whether to publish or destroy them.

• His Famous literary works - 
- The Temple
- The Country Parson
- Jacula Prudentum
- Easter Wings
- Life
- Affliction

• অন্যদিকে,
- John Donne was a writer from the Jacobean Age during the Renaissance Period.
- John Donne is known as the Father of Metaphysical Poetry.
- তাঁকে 'Poet of Love and Religion' ও  বলা হয়ে থাকে।

• তাঁর বিখ্যাত কিছু কবিতা হচ্ছে - 
- Good Morrow
- The Canonization
- The Flea 
- The Sun Rising 
- A Valediction: Forbidding Mourning.
- The Apparition.

Source: Britannica.

• The Spanish Tragedy written by Thomas Kyd হচ্ছে English literature এর প্রথম Revenge tragedy. 
- Revenge Tragedy is a kind of tragedy that presents a quest for vengeance and results in bloodshed and mutilation.
- সাধারণত Senecan tragedy কে অনুসরণ করে revenge tragedy লেখা হয়।
- Thomas Kyd এর 'The Spanish Tragedy" এর মাধ্যমে তাঁর যুগে অর্থাৎ Elizabethan Period এ revenge tragedy জনপ্রিয়তা লাভ করে।

• Thomas Kyd (1557 – 1595):
-  English dramatist. 
- He is one of the members of University Wit.

•His notable work:
– The Spanish Tragedy (1585).
- Cornelia (1590)

• অন্য অপশন গুলোর মধ্যে -
ক) Gorboduc written by Norton and Sackville is the first English Tragedy.
গ) Morte d' Arthur written by Sir Thomas Malory is the frist romance in Prose.
ঘ) Troilus and Criseyde - written by Geoffery Chaucer.

Source: An ABC of English Literature by Dr M Mofizar Rahman and Britannica.

প্রশ্ন: ১ - ১ + ১ - ১ +...... ধারাটির প্রথম ১০০ টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
১ম পদ = ১ 
১ম দুইটি পদের সমষ্টি = ১ - ১
= ০
১ম তিনটি পদের সমষ্টি = ১ - ১ + ১ 
= ১
১ম চারটি পদের সমষ্টি = ১ - ১ + ১ - ১
= ০

অতএব পদসংখ্যা জোড় হলে সমষ্টি শূন্য এবং বিজোড় হলে সমষ্টি ১।  

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: ১ + (১/২) + (১/৪) + (১/৮) + ... গুণোত্তর ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত? 

সমাধান: 
সাধারণ অনুপাত = (১/২)/১
= ১/২ 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৭ম পদ ৬০ হলে ১৪ তম পদটি কত?

সমাধান:
n তম পদ = a + (n - 1)d
a = প্রথম পদ, d = সাধারণ অন্তর

৭ম পদ = a + (৭ - ১) ৯
⇒ ৬০ = a + ৬ × ৯
⇒ ৬০ = a + ৫৪
∴ a = ৬

১৪ তম পদ = ৬ + (১৪ - ১)৯
= ৬ + (১৩ × ৯)
= ৬ + ১১৭
= ১২৩

প্রশ্ন: (log₂1)/(log₄3) =?

সমাধান: 
log₂1/log₄3 
= 0/log₄3 
= 0

প্রশ্ন: n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি ৩৬ হলে, n =? 

সমাধান: 
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = (n (n + 1)/2)²

(n (n + 1)/2)² = 36
⇒ n (n + 1)/2 = 6
⇒ n (n + 1) = 12
⇒ n² + n = 12
⇒ n² + n - 12 = 0
⇒ n² + 4n - 3n - 12 = 0
⇒ n (n + 4) - 3 (n + 4) = 0
⇒ (n + 4) (n - 3) = 0

(n + 4) = 0
 n = - 4; যা গ্রহণযোগ্য নয়। 

বা,
n - 3 = 0
∴ n = 3

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 32 হলে, 16^x =?

সমাধান: 
4^{x + 1} = 32
⇒ 4^x.4 = 32
⇒ 4^x = 8
⇒ (4^x)² = 8²
⇒ 16^x = 64

প্রশ্ন: 3 + 9 + q + 81............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে q এর মান কত?

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
= 9/3
= 3
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^n-1

ধারাটির তৃতীয় পদ, q = ar²
= 3 × 3²
= 27

প্রশ্ন: যদি x^m = y, yⁿ = z, এবং z^p = x হয়, তবে mnp =? 

সমাধান: 
z^p = x
⇒ (yⁿ)^p = x
⇒ x^mnp = x
∴ mnp = 1