Math Master

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। অপর বাহুদ্বয়ের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য অপরটির তিন-চতুর্থাংশ হলে, ত্রিভুজটির অপর দুটি বাহুর মধ্যে বড় বাহু কোনটি?

সমাধান:

ধরি, একিটি বাহু, BC = y মিটার
অপর বাহু, AB = 3y/4 মিটার

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
AB² + BC² = AC²
বা, (3y/4)² + y² = 252
বা, (9y²/16) + y² = 625
বা, (9y² + 16y²)/16 = 625
বা, 25y² = 625 × 16
বা, y² = (625 × 16)/25
বা, y² = 400
∴ y = 20 মিটার

∴ একটি বাহু = 20 মিটার 

প্রশ্ন: নিচের কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ গঠন করা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু ওপেক্ষা বৃহত্তম।

এখানে,
৩ + ৬ = ৯ > ৮ ; ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
২ + ৪ = ৬ < ৭ ; ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।
৫ + ৭ = ১২ > ৯ ; ত্রিভুজ গঠন সম্ভব।

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ১৬√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২
ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ৪)^২

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(a + ৪)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ১৬√৩
⇒ (√৩/৪){(a + ৪)^২ - a^২} = ১৬√৩
⇒ a^২ + ৮a + ১৬ - a^২ = ১৬√৩ × (৪/√৩)
⇒ ৮a = ৬৪ - ১৬
⇒ a = ৪৮/৮
∴ a = ৬ মিটার

প্রশ্ন: দুটি ত্রিভুজের সর্বসম হওয়ার শর্ত নয় কোনটি?

সমাধান:
- দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হওয়ার শর্তসমূহ:
- একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু অপর ত্রিভুজের তিনটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হয়।
- একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণ অপর ত্রিভুজের দুইটি বাহু এবং একটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।
- একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহু অপর ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং একটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়
- দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের একটির অতিভুজ এবং এক বাহু অপরটির অতিভুজ এবং এক বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হয়।

• ত্রিভুজের তিনটি কোণ অপর একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুইটিকে পরস্পর সদৃশকোণী ত্রিভুজ বলে। এক্ষেত্রে ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম নাও হতে পারে, নিচে তা চিত্রের সাহায্যে দেখানো হলো-

প্রশ্ন: একটি ১৫ মিটার লম্বা মই খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে ৯ মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মইয়ের অপর প্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত?

সমাধান:
ধরি,
মই এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব = ক মিটার
তাহলে, পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
১৫^২ = ৯^২ + ক^২
⇒ ক^২ = ২২৫ - ৮১
⇒ ক^২ = ১৪৪
∴ ক = ১২ মিটার

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 150 বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য 15 গজ হলে, ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা
= (1/2) × ভূমি × 15
= 7.5 × ভূমি

প্রশ্নমতে,
7.5 × ভূমি = 150
⇒ ভূমি = 150/7.5
⇒ ভূমি = 1500/75
∴ ভূমি = 20 গজ

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে কী বলে?

সমাধান:
ভরকেন্দ্র: কোন ত্রিভুজের মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ভরকেন্দ্র বলে।

পরিকেন্দ্র: ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের লম্ব-সমদ্বিখন্ডকত্রয় সমবিন্দুগামী হয়, এই বিন্দুকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।

অন্তঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের কোণের সমদ্বিখন্ডকত্রয় একটি নির্দিষ্ট বিন্দগামী হয়, এই নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।

বহিঃকেন্দ্র: ত্রিভুজের একটি কোণের অন্ত-সমদ্বিখন্ডক এবং অপর দুই কোণের বহি-সমদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে বহিঃকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে কী বলে?

সমাধান:
- ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
- যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।
- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।

বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার। যথাঃ সমবাহু, সমদ্বিবাহু ও  বিষমবাহু।

আবার কোণভেদেও ত্রিভুজ তিন প্রকার। যথাঃ সূক্ষ্মকোণী, স্থূলকোণী ও সমকোণী ।

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 10, 12 ও 14 মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:

এখানে,
বৃহত্তম বাহু, AC = 14 মিটার
ক্ষুদ্রতম বাহু, AB = 10 মিটার

অতএব, AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির সংযোগ সরলরেখা DE হবে তৃতীয় বাহু BC এর অর্ধেক।
∴ DE = BC/2
= 12/2
= 6 মিটার

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 10 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
∴ XE : EF = 2 : 1
⇒ 10 : EF = 2 : 1
⇒ 10/EF = 2/1
⇒ 2EF = 10
⇒ EF = 5

∴ ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 10 + 5 = 15 সে.মি.

প্রশ্ন: BC এর দৈর্ঘ্য কত?


সমাধান:
ধরি,
BC এর দৈর্ঘ্য = ক মিটার

পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
২৯^২ = ২০^২ + ক^২
⇒ ক^২ = ২৯^২ - ২০^২
⇒ ক^২ = ৮৪১ - ৪০০
⇒ ক^২ = ৪৪১
⇒ ক^২ = ২১^২
∴ ক = ২১ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য 18 সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল 108 বর্গ সে.মি. হলে সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি b = 18 সে.মি.
এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য = a

প্রশ্নমতে,
(b/4) √(4a² - b²) = 108
⇒ (18/4) √(4 × a² - 18²) = 108
⇒ √(4 × a² - 324) = 108 × (4/18)
⇒ √{4a² - 324} = 576
⇒ 4a² = 900
⇒ a² = 225
∴ a = 15 সে.মি.