নতুনদের বিসিএস প্রস্তুতি - ২০০ দিনে পুরো সিলেবাস

প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের একটি অপরটির 4/5 অংশ হলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°

∴ কোণদ্বয়ের অনুপাত 4/5 = 4 : 5
∴ বৃহত্তম কোণ = 90° × 5/9
= 50°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 49√3  বর্গসে.মি. হলে উহার পরিসীমার অর্ধেক কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4) × a² এবং পরিসীমা 3a

শর্তমতে,
(√3/4) × a² = 49√3
বা, a² = 49 × 4
বা, a² = 196
বা, a = 14

পরিসীমা = 3a
= 3 × 14
= 42 সে.মি.

∴ পরিসীমার অর্ধেক = 42/2 = 21 সে.মি.

প্রশ্ন: x² - 169 + y² = 0 একটি বৃত্তের সমীকরণ হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
x² - 169 + y² = 0
বা, x² +  y² = 169
বা, x² +  y² = (13)²

যেহেতু, x² +  y² = r² বৃত্তের সমীকরণ।
∴ প্রদত্ত সমীকরণে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 13।

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ৬ মিটার বেশি এবং পরিসীমা ৬৪ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ x মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x + ৬ মিটার

∴ পরিসীমা = ৬৪ মিটার
বা, ২(x + x + ৬) = ৬৪
বা, ৪x + ১২ = ৬৪
বা, ৪x = ৬৪ - ১২
বা, x = ৫২/৪
∴ x = ১৩
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ১৩ মিটার
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৩ + ৬ = ১৯ মিটার

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ১৯ × ১৩ = ২৪৭ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 184 বর্গসে.মি. এবং এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি. হলে অপর বহুর দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

সমাধান:
ধরি,
অপর বাহুর দৈর্ঘ্য = x  সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ভূমি × উচ্চতা

∴ 1/2 × x ×16 = 184
⇒ 8x = 184
⇒ x = 184/8
∴ x = 23

∴ নির্ণেয় অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 23 সে.মি.

প্রশ্ন: 130° কোণটি হলো -

সমাধান:
90° বা সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু 180° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হলে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সরল রেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি ১৮০°।

প্রশ্ন: 4a ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল 4a দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান হলে, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস, 2r = 4a
বা, ব্যাসার্ধ, r = 2a

আমরা জানি,
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2a)² = 4πa²

প্রশ্নমতে,
4a × প্রস্থ = 4πa²
বা, প্রস্থ = 4πa²/4a
∴ প্রস্থ = πa

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রটিতে যদি 4x° = 5y° হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x = 5y
বা, y = 4x/5

প্রদত্ত চিত্র হতে, 
x° + y° = 180°
বা, x + (4x/5) = 180°
বা, (5x + 4x)/5 = 180°
বা, 9x = 900°
∴ x = 100°

প্রশ্ন: ΔABC সমবাহু ত্রিভুজে BC বাহুর মধ্যমা AD হলে 2∠BAD এর মান কত?

সমাধান:

ABD সমকোণী ত্রিভুজ হতে,
∠ABD + ∠BAD + ∠ADB = 180°
বা, 60° + ∠BAD + 90° = 180°
বা, ∠BAD = 180° - 150°
বা, ∠BAD = 30°
∴ 2∠BAD = 60°

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত যদি পরস্পর বহি:স্থভাবে স্পর্শ করে তবে কেন্দ্র হতে স্পর্শ বিন্দুগামী সরলরেখা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ -

সমাধান:


কারণ, দুটি কেন্দ্রের সংযোগ সরলরেখা সব সময় একটি সরলরেখা হবে এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ হবে 180°।
180 ডিগ্রী কোণকে সরল কোণ বলে।

প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সে.মি. এবং 4 সে.মি.। ঐ দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 3 সে.মি. এবং 4 সে.মি.

১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3)² = 9π
২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(4)² = 16π
দুটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি = 9π + 16π = 25π

ধরি,
নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r সে.মি.

প্রশ্নমতে,
πr² = 25π
বা, r² = 25
∴ r = 5 সে.মি.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ যথাক্রমে (x/3)°, (x/3)° এবং (4x/3)° হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°

∴ (x/3) + (x/3) + (4x/3) = 180°
বা, (x + x + 4x)/3 = 180°
বা, 6x/3 = 180°
বা, 2x = 180°
∴ x = 90°

বৃহত্তম কোণ = 4x/3 = 4 × 90°/3 = 120°

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 8 সে.মি. এবং বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান:
বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = 30°
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য a = b = 8 সে.মি.

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)absinθ
= (1/2) × 8 × 8 × sin30°
= 32 ×(1/2)
= 32/2
=16

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 16 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের যে কোন এক বাহু বর্ধিত করলে যে বহি:স্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহি:স্থ কোণ = অন্ত:স্থ বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৩ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা এক অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে?

সমাধান:
দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনই মিলিত হয় না।

প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর লম্ব অংকন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যায়?

সমাধান:

একটি সরলরেখার উপর লম্ব অংকন করলে ২টি সমকোণ পাওয়া যায়।

প্রশ্ন: ২ মিটার বাহু বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র একটি বৃত্তের ভিতরে সম্পূর্ণরূপে অন্তর্লিখিত আছে। বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বর্গের বাহু = 2
∴ বর্গের কর্ণ = √2 × বাহু = √2 × 2 = 2√2 মিটার

অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাস = 2√2
ব্যাসার্ধ = √2

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (√2)² = 2π

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ১২ মিটার দীর্ঘ একটি জ্যা কেন্দ্র থেকে ৮ মিটার দূরে অবস্থিত হলে বৃত্তটির ব্যাস কত মিটার?

সমাধান:

মনে করি,
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা AB = 12 মিটার এবং কেন্দ্র থেকে OC = 8 মিটার দূরে অবস্থিত বৃত্তের ব্যাস = OA
যেহেতু AB = 12 মিটার
∴ AC = BC = 6 মিটার

আমরা জানি,
OA² = OC² + AC²
⇒ OA² = 8² + 6²
⇒ OA² = 64 + 36
⇒ OA² = 100
⇒ OA = √100
∴ OA = 10

∴ বৃত্তটির ব্যাস 2 × 10 = 20 মিটার

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল 144 বর্গ সে.মি. এবং রম্বসটির একটি কর্ণ অপরটির দ্বিগুণ হলে কর্ণ দুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি কর্ণ = x
অপর কর্ণ = 2x

প্রশ্নমতে,
1/2 × x × 2x = 144
বা, x² = 144
বা, x = √144
∴ x = 12

একটি কর্ণ = 12 সে.মি.
অপর কর্ণ = 2x = 2 . 12 = 24 সে.মি.

প্রশ্ন: একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ৪০০ মিটার। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ কি.মি.?

সমাধান:
মনে করি,
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা 4a

শর্তমতে,
4a = 400
∴ a = 100

ক্ষেত্রফল = a²
= (100)² বর্গমিটার
= 10000 বর্গমিটার
= 10000/(1000 × 1000) বর্গ কি.মি.
= 0.01 বর্গ কি.মি.

প্রশ্ন: চারটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য মিটারে নিম্নরূপ। কোনটি দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ অংকন সম্ভব?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের এক বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের যোগফলের সমান হলে ত্রিভুজটি সমকোণী।
এখানে,
4² + 8² ≠  9²
6² + 12² ≠  13²
2² + 12² ≠  14²

5² + 12² = 13²  (সমকোণী ত্রিভুজ)
যেহেতু একবাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর উপর অংকিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের যোগফলের সমান।
তাই, 5² + 12² = 13² দ্বারা সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদবিন্দুকে কী বলে?

সমাধান:
ত্রিভুজের কোণগুলির সমদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজটির অন্ত:কেন্দ্র বলে।
* ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলে।
* ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে লম্বকেন্দ্র বলে।
* ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজাকৃতির একটি মাঠের অতিভুজ ও ভূমির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 13 মি. ও 5 মি.। মাঠটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
ধরি,
লম্ব = x মি.

আমরা জানি,
(লম্ব)² + (ভূমি)² = (অতিভুজ)²
বা, x² + 5² = 13²
বা, x² + 25 = 169
বা, x² = 169 - 25
বা, x = √144
∴ x = 12

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × (12 × 5)
= 30 বর্গ মি.

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস ‍দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে এর পরিধি কতগুণ বৃদ্ধি পায়?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি = 2πr

ব্যাস ‍দ্বিগুণ বৃদ্ধি পাওয়ার পর নতুন ব্যাস = 2r + (2 × 2r) = 6r

∴ নতুন পরিধি = 2π × 6r/2
= 2π × 3r
= 2πr × 3
= 6πr 

সুতরাং, পরিধি বৃদ্ধি পেয়েছে (6πr - 2πr) = 4πr
- যা 2πr এর দ্বিগুণ। 

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সে.মি. হলে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য নিচের কোনটি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হলো ব্যাস।

∴ ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
= (2 × 7) সে.মি.
= 14 সে.মি.