ডেইলি কুইজ [১৪০ দিনের রুটিনের অংশ]

প্রশ্ন: যদি (x² + 1)² = 3x² হয়, তাহলে x³ + (1/x³) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(x² + 1)² = 3x²
বা, x² + 1 = √3.x
বা, (x² + 1)/x = √3
∴ x + (1/x) = √3 

∴ প্রদত্ত রাশি = x³ +(1/x³) 
= {x + (1/x)}³ - 3.x.1/x {x + (1/x)}
= (√3)³ - 3. √3 
= 3√3 - 3√3
= 0  ।

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে সংখ্যাটি পূর্বাপেক্ষা 36 বৃদ্ধি পায় । সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
একক স্থানীয় অঙ্ক = x 
দশক স্থানীয় অঙ্ক = y 
∴ সংখ্যাটি = 10y + x
∴ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে = 10x + y 

প্রশ্নমতে, 
(10x + y) - (10y + x) = 36 
বা, 10x + y - 10y - x = 36 
বা, 9x - 9y = 36 
বা, 9(x - y) = 36 
বা, x - y = 36/9 
∴ x - y = 4 

∴ সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয়ের পার্থক্য = 4  ।

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
 x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x - 6x - 6
= x² (x + 1) - x (x + 1) - 6 (x + 1) 
= (x + 1) (x² - x - 6)
= (x + 1) (x² - 3x + 2x - 6)
= (x + 1) {x (x - 3) + 2 (x - 3)}
= (x + 1) (x - 3) (x + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1) (x + 2) (x - 3) ।

প্রশ্ন: ।x - 11। < 17 অসমতাটির সমাধান কত? 

সমাধান: 
।x - 11। < 17
⇒ - 17 < x - 11 < 17 
⇒ - 17  + 11 < x - 11 + 11< 17 + 11
⇒ - 6 < x < 28

প্রশ্ন: যদি p + q + r = 0 হয়, তাহলে p³ + q³ + r³ এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
 p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p + q + r) (p² + q² + r² - pq - qr -rp)
বা, p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0 × (p² + q² + r² - pq - qr -rp)
বা, p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0 
∴ p³ + q³ + r³ = 3pqr   ।

প্রশ্ন: যদি x + 1 > 1 - 2x হয়, তবে সমীকরণটির সমাধান কোনটি? 

সমাধান: 
x + 1 > 1 - 2x 
বা, x + 2x > 1 - 1 
বা, 3x > 0 
∴ x > 0

প্রশ্ন: যদি (1/5)(2x + 3) ≥ 3 হয় তবে এর সমাধান কত? 

সমাধান: 
(1/5)(2x + 3) ≥ 3
⇒ (2x + 3)/5 ≥ 3 
⇒ 2x + 3 ≥ 15 
⇒ 2x ≥  12 
∴ x ≥ 6

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যা হতে 4 বেশি এবং সংখ্যা দুটির যোগফল 36 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যা দুটি x এবং x + 4 

শর্তমতে, 
x + x + 4 = 36 
বা, 2x = 36 - 4 
বা, 2x = 32 
বা, x = 32/2 
∴ x = 16 
∴ একটি সংখ্যা = 16 

এবং অপর সংখ্যা = x + 4 
= 16 + 4 
= 20 

∴ সংখ্যা দুটি = 16, 20  ।

প্রশ্ন: x² - 11x + 30 এবং x³ - 4x² - 2x - 15 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = x² - 11x + 30
= x² - 6x - 5x + 30
= x(x - 6) - 5(x - 6) 
= (x - 6) (x - 5)

২য় রাশি = x³ - 4x² - 2x - 15 
x = 5 বসালে রাশিটির মান শূন্য হয় 
∴ (x - 5) রাশিটির একটি উৎপাদক। 

এখন, 
x³ - 4x² - 2x - 15 
= x³ - 5x² + x² - 5x + 3x - 15
= x²(x - 5) + x(x - 5) + 3(x - 5) 
= (x - 5) (x² + x + 3)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 5) ।

প্রশ্ন: |x + 3| < 5 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
(x + 3) ধনাত্মক ধরে, 
(x + 3) < 5 
বা, x + 3 - 3 < 5 - 3 
বা, x < 2 

আবার,
(x + 3) ঋনাত্মক ধরে, 
- (x + 3) < 5 
বা, (x + 3) > - 5
বা, x + 3 - 3 > - 5 - 3 
বা, x > - 8

∴ নির্ণেয় সমাধান: s = {x ∈ R: - 8 < x < 2}।