সহকারী থানা শিক্ষা অফিসার (ATEO)

প্রশ্ন: 3x + 5y - 10 = 0 সরলরেখার ঢাল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 5y - 10 = 0 ......... (১)

আমরা জানি,
সরলরেখার সমীকরণ, y = mx + c.......... (২)
যেখানে, m = ঢাল
এখন, (১) হতে পাই,
⇒ 5y = - 3x + 10
⇒ y = (- 3/5)x + 2

(২) নং এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = - 3/5

সুতরাং, সরলরেখার ঢাল হলো, - 3/5

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = 6 সে.মি. হলে OF = কত?

সমাধান:
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = 6 সে.মি. হলে OF = 6 সে.মি. হবে।

প্রশ্ন: y = 3 এবং x = 4y + 6 সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

সমাধান:
y = 3 ...... (১)
x = 4y + 6 ........ (২)
১ম সমীকরণ হতে পাই,
y = 3

২য় সমীকরণে y এর মান বসিয়ে পাই,
x = 4 × 3 + 6
⇒ x = 12 + 6
⇒ x = 18

অতএব, সরলরেখা দুটির ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো (18, 3)

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ১৬ সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস d = ১৬ সে. মি.
∴ বৃত্তের ব্যাষার্ধ r = ১৬ ÷ ২ সে. মি.
= ৮ সে. মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
= ৩.১৪১৬ × (৮)^২
= ৩.১৪১৬ × ৬৪
= ২০১.০৬ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখা সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দুটি সরল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যখন সর্বদা একই থাকে তখন একটিকে অপরটির সমান্তরাল রেখা বলা হয়।
দুটি সমান্তরাল রেখা কখনও পরস্পর ছেদ করে না।

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের একই চাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ১৩০° হয় তবে, তার বৃত্তস্থ কোণের মান কত হব?

সমাধান:
বৃত্তস্থ কোণ (Inscribed Angle) : বৃত্তস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের যে কোন পয়েন্টে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি ভিন্ন পয়েন্টকে সংযোগ করে।

কেন্দ্রস্থ কোণ (Central Angle) : কেন্দ্রস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি পয়েন্টকে সংযোগ করে।

আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

দেওয়া আছে,
কেন্দ্রস্থ কোণ = ১৩০°

∴ বৃত্তস্থ কোণ =  কেন্দ্রস্থ কোণ/২
= ১৩০°/২
= ৬৫°

প্রশ্ন: একটি সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
অন্তঃকোণের সমষ্টি = (2n - 4) × 90^∘
সুতরাং,
সুষম অষ্টভুজের অন্তঃকোণের সমষ্টি = {(2 × 8) - 4} × 90^∘ 
= 12 × 90^∘
= 1080°

প্রশ্ন: একটি গোলক প্রতি মিনিটে 150 বার ঘুরে, গোলকের ব্যাস 12 সে. মি. হলে, 4 সেকেন্ডে গোলকটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
গোলকটি 1 মিনিট বা 60 সেকেন্ডে ঘুরে = 150 বার
গোলকটি 1 সেকেন্ডে ঘুরে = 150/60 = 5/2 বার
গোলকটি 4 সেকেন্ডে ঘুরে = {5/2) × 4} = 10 বার

গোলকটি 1 বার ঘুরলে ঘুরে = 360°
∴ 10 বার ঘুরলে ঘুরে = (360° × 10) = 3600°

অতএব, গোলকটি 4 সেকেন্ডে 3600° ঘুরে।

প্রশ্ন: দুইটি ভিন্ন সরলরেখার সর্বাধিক কয়টি সাধারণ বিন্দু থাকতে পারে ?

সমাধান:
দুইটি ভিন্ন সরলরেখার সর্বাধিক ১ টি সাধারণ বিন্দু থাকতে পারে।

দুইটি ভিন্ন সরলরেখার সাধারণ বিন্দু বলতে সেই বিন্দুকে বোঝায়, যেখানে দুইটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করে বা একে অপরকে অতিক্রম করে। এই বিন্দুটি দুইটি সরলরেখার অন্তর্গত এবং তা যথেষ্ট একক হতে হবে, অর্থাৎ এই বিন্দুতে দুইটি রেখার মধ্যকার সম্পর্ক বা যোগসূত্র স্থাপন হয়।

এটি একধরণের ছেদ বিন্দু বা ইন্টারসেকশন পয়েন্ট হিসাবে পরিচিত।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 16π বর্গ সে. মি.। যদি বৃত্তটির ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হয় তাহলে বৃত্তটির নতুন ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 16π
⇒ r² = 16
∴ r = 4

এখন,
∴ নতুন ব্যাসার্ধ = 4 × 2 = 8
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = π × 8² = 64π বর্গ সে. মি.।

প্রশ্ন: বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?

সমাধান:

চিত্র থেকে দেখা যায়,
বৃত্তের বহিঃস্থ কো্নো বিন্দু হতে সর্বোচ্চ দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র (6, 7) ও ব্যাসার্ধ 11 একক হলে, বৃত্তটির সমীকরণ হবে-

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের সমীকরণ (x - a)² + (y - b)² = r²
এখানে, a = 6, b = 7 এবং r = 11

∴ বৃত্তটির সমীকরণ, (x - 6)² + (y − 7)² = 11²
⇒ x² - 12x + 36 + y² - 14y + 49 = 121
∴ x² + y² - 12x – 14y - 36 = 0

প্রশ্ন: (5, 2) এবং (2, 6) বিন্দু দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}
= √{(2 - 5)² + (6 - 2)²}
= √{(- 3)² + (4)²}
= √(9 + 16)
= √25
= 5 একক

প্রশ্ন: নিচের কোন সমীকরণটি সরলরেখা প্রকাশ করে না?

সমাধান:
y = 2x + 1, 5y + 3x - 8 = 0 এবং, y - 7x + 7 = 0
সমীকরণ তিনটিতে xy সংবলিত পদ নেই।

কিন্তু y(4 - x) = - 5 বা 2x - xy = 3 এই সমীকরনে আছে তাই এটি সরলরেখা হবে না।

প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে OD, AB জ্যায়ের উপর লম্ব । AD = 5 সে. মি. হলে, AB =?

সমাধান:

আমরা জানি,
যেকোনো বৃত্তের কেন্দ্রে থেকে কোনো জ্যায়ের উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যায়কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

দেওয়া আছে,
AD = 5 সে. মি.

যেহেতু AB জ্যায়টি সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে, তাই
∴ AB = AD + DB = 5 + 5 = 10 সে. মি.

প্রশ্ন: একটি সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণের অনুপাত ৫ : ১ হলে, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বহিঃস্থ কোণ = ক
অন্তঃস্থ কোণ = ৫ক

প্রশ্নমতে,
৫ক + ক = ১৮০°
⇒ ৬ক = ১৮০°
∴ ক = ৩০°

বহিঃস্থ কোণ = ৩০°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা = ৩৬০°/৩০°
= ১২ টি

প্রশ্ন: একটি চাকা ৫.৫ কিলোমিটার পথ যেতে ৫০০ বার ঘুরে। চাকাটির ব্যাস কত?

সমাধান:
5৫.৫ কিলোমিটার = ৫.৫× ১০০০ = ৫৫০০ মিটার
চাকাটি ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৫৫০০/৫০০ = ১১ মিটার
∴ চাকাটির পরিধি = ১১ মিটার
⇒ ২πr = ১১
⇒ r = ১১/২π
⇒ r = ১১/{২ × (২২/৭)}
∴ r = (১১ × ৭)/(২ × ২২) = ৭/৪ মিটার

∴ চাকাটির ব্যাস = ২r = ২(৭/৪) = ৭/২ = ৩.৫ মিটার