প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

প্রশ্ন: (1000)¹² ÷ 10³⁰= ? 

সমাধান: 
(1000)¹² ÷ 10³⁰ 
= (10³)¹² ÷ 10³⁰ 
= 10³⁶  ÷ 10³⁰ 
= 10^{36 - 30}
= 10⁶
= (10³)²
= (1000)²

প্রশ্ন: log_√5125 এর মান কত? 

সমাধান: 
log_√5125
= log_√55³
= log_√5√5⁶
= 6 log_√5√5
= 6 × 1
= 6

প্রশ্ন: 27^x + 27^x + 27^x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
27^x + 27^x + 27^x
= 27^x(1 + 1 + 1)
= 27^x . 3
= (3³)^x . 3 
= 3^3x . 3
= 3^{3x + 1}

প্রশ্ন: log₁₀x = - 2 এর মান কত? 

সমাধান: 
log₁₀x = - 2
10^{- 2} = x
x = 1/10²
x = 1/100
x = 0.01

প্রশ্ন: A = {x : x, বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 7} এবং B = {1, 4, 5} হলে A ∪ B এর মান কত? 

সমাধান: 
A = {x : x, বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 7} 
A = {3, 5, 7}
B = {1, 4, 5}

A ∪ B  = {3, 5, 7} ∪ {1, 4, 5}
= {1, 3, 4, 5, 7}

প্রশ্ন: [2 - 3(3 - 4)^{- 1}]^{- 2} এর মান কত?  

সমাধান: 
[2 - 3(3 - 4)^{- 1}]^{- 2}
= [2 - 3(- 1)^{- 1}]^{- 2}
= [2 - 3(- 1)]^{- 2}
= [2 + 3]^{- 2}
= 5 ^-2
= 1/5²
= 1/25

প্রশ্ন: X = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 8} এবং Y = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 16} হলে, X ∩ Y = কত? 

সমাধান:
X = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 8} 
Y = {x : x, 4 এর গুণিতক এবং x ≤ 16}

X = {2, 4, 6, 8}
Y = {4, 8, 12, 16}

X ∩ Y = {2, 4, 6, 8} ∩ {4, 8, 12, 16}
= {4, 8}

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত? 

সমাধান: 
= log₃3√3
= log₃(3 × 3^1/2)
= log₃3^3/2
=(3/2)log₃3
= (3/2).1
= 3/2 

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 32 হলে 2x এর মান কত? 

সমাধান: 
4^{x + 1} = 32
বা, (2²)^{x + 1} = 2⁵
বা, 2^{2(x + 1)} = 2⁵
বা, 2^{2x + 2} = 2⁵
বা, 2x + 2 = 5
বা, 2x = 5 - 2
  2x = 3

প্রশ্ন: P = {x : x, 4 এর গুণনীয়ক} হলে, P সেটের উপসেট সংখ্যা কত? 

সমাধান: 
P = {x : x, 4 এর গুণনীয়ক} 
4 এর গুণনীয়কগুলো হলো: 1, 2, 4
P = {1, 2, 4}
আমরা জানি,
কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ঐ সেটের উপসেট = 2ⁿ

P সেটের উপাদান সংখ্যা n = 3
P সেটের উপসেট সংখ্যা = 2³ = 8

প্রশ্ন: 2^x - 2^{x - 1} = 64 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
2^x - 2^{x - 1} = 64 
2^x - 2^x .2^{- 1} = 64
2^x - 2^x/2 = 64
2^x(1 - 1/2) = 64
2^x . 1/2 = 64
2^x = (64 × 2) 
2^x = 128
2^x = 2⁷
x = 7

প্রশ্ন: A এবং B যথাক্রমে 14 ও 21 এর সকল গুণনীয়ক সেট হলে, n(A ∪ B) = কত? 

সমাধান: 
14 এর সকল গুণনীয়ক = 1, 2, 7, 14
21 এর সকল গুণনীয়ক = 1, 3, 7, 21

A = {1, 2, 7, 14}
B = {1, 3, 7, 21}

(A ∪ B) = {1, 2, 7, 14} ∪ {1, 3, 7, 21}
            = {1, 2, 3, 7, 14, 21}
n(A ∪ B) = 6

প্রশ্ন: 2^{x + 7} = 4^{x + 2} হলে x² এর মান কত? 

সমাধান: 
2^{x + 7} = 4^{x + 2}
2^{x + 7} = (2²)^{x + 2}
2^{x + 7} = 2^{2x + 4}
x + 7 = 2x + 4
2x - x = 7 - 4
x = 3
x² = 3²
x² = 9

প্রশ্ন: log_x(1/64) = - 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
log_x(1/64) = - 2
x^{- 2} = 1/64
1/x² = 1/64
x² = 64
x² = 8²
x = 8

প্রশ্ন: P ={2, 3, 4, 5, 6, 7} হলে P সেটের সঠিক প্রকাশ হলো- 

সমাধান: 
 P ={2, 3, 4, 5, 6, 7} 

P সেটের উপাদান গুলো 2 থেকে শুরু করে 7 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যা 
P = {x ∈ N: 2 ≤ x ≤7} বা, 

প্রশ্ন: 7^{2x - 6} = 2^{2x - 6} হলে x/3 এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
7^{2x - 6}= 2^{2x - 6}
7^{2x - 6}/2^{2x - 6}= 1
(7/2)^{2x - 6} = 1
(7/2)^{2x - 6} = (7/2)⁰
2x - 6 = 0 
2x = 6 
x = 3
x/3 = 3/3 = 1 

প্রশ্ন: log₁₀(a²/bc) + log₁₀(b²/ac) + log₁₀(c²/ab) = কত? 

সমাধান: 
log₁₀(a²/bc) + log₁₀(b²/ac) + log₁₀(c²/ab)
= log₁₀{(a²/bc) × (b²/ac)×(c²/ab)}
= log₁₀1
= 0

প্রশ্ন: C = {x ∈ N, 3 ≤ x ≤ 11 এবং x মৌলিক সংখ্যা} হলে, C এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
3 থেকে 11 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর হলো  3, 5, 7,11
আমরা জানি,
কোন সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে ঐ সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1 এবং উপসেট = 2ⁿ
C সেটের উপাদান সংখ্যা = 4 
D এর প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা = 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

প্রশ্ন: যদি log₈x + log₈ (1/6) = 1/3 হলে x এর মান কত হবে? 

সমাধান: 
log₈x +  log₈(1/6) = 1/3
log₈(x/6) = 1/3
x/6 = 8^1/3
x/6 = (2³)^1/3
x/6 = 2
x = 12

প্রশ্ন: A = {x : x ∈ R এবং x² - 5x + 6 = 0} এবং B = {2, 3, 5} হলে, A ∩ B এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
A ={x : x ∈ R এবং x² - 5x + 6 = 0} এবং B = {2, 3 , 5} 

এখানে 
x² - 5x + 6 = 0
x² - 2x - 3x + 6 = 0
x(x - 2) - 3(x - 2) = 0
(x - 2)(x - 3) = 0
x =2, 3 

A ={2, 3}
B = {2, 3, 5}

A ∩ B = {2, 3} ∩ {2, 3, 5}= {2, 3}

প্রশ্ন: log₄(a² + a) - log₄(a + 1) = 2 হলে a এর মান কত? 

সমাধান:
log₄(a² + a) - log₄(a + 1) = 2 
log₄{(a² + a)/(a + 1)} = 2
log₄{a(a + 1)/(a + 1)} = 2
log₄a = 2
a = 4²
a = 16

প্রশ্ন: 3^x × 3^1/5 =  27^1/5 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
3^x × 3^1/5 =  27^1/5
3^{(x + 1/5)} = (3³)^1/5
3^{(x + 1/5)} =3^3/5
x + 1/5 = 3/5
x = (3/5) - (1/5)
x = (3 - 1)/5
x = 2/5 

প্রশ্ন: log₁₀2 = a এবং log₁₀3 = b হলে log₁₀12 = ?

সমাধান: 
log₁₀2 = a 
log₁₀3 = b 

log₁₀12
= log₁₀(4 × 3)
= log₁₀4 + log₁₀3 
=  log₁₀2² +  log₁₀3 
= 2log₁₀2 +  log₁₀3
= 2a + b

প্রশ্ন: P = {x ∈ N, x, 36 এর গুণনীয়ক এবং 3 এর গুণিতক, x ≤ 36 } হলে নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
36 এর গুণনীয়ক গুলো হলো = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
গুণনীয়ক গুলোর মধ্যে 3, 6, 9, 12, 18, 36 হলো 3 এর গুণিতক

নির্ণেয় সেট P = {3, 6, 9, 12, 18, 36}

প্রশ্ন: 4^{x + 2} = 2^{2x + 1} + 14 হলে, x এর মান- 

সমাধান: 
4^{x + 2} = 2^{2x + 1} + 14
4^x .4² = 2^2x . 2¹ + 14
4^x .16 = (2²)^x .2 + 14
4^x.16 - 4^x.2 = 14
4^x(16 - 2) = 14
4^x = 1
4^x = x⁰
x = 0