Math Master

প্রশ্ন: কোন তিনটি বাহু দ্বারা ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।

এখানে,
প্রত্যেকটি ত্রিভুজের ক্ষুদ্রতম দুইটি বাহুর যোগফলকে তৃতীয় (বৃহত্তম) বাহুর সাথে তুলনা করে পাই,
৩ + ৪ = ৭ > ৫ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
২ + ৫ = ৭ > ৬ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
২ + ৪ = ৬ < ৭ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
৫ + ৬ = ১১ > ৮ ; ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ব্যতীত অপর দুটি কোণের পার্থক্য 6° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সূক্ষ্মকোণ = x
অপর সূক্ষ্মকোণ = x + 6

প্রশ্নমতে,
x + x + 6 = 90°
⇒ 2x + 6 = 90°
⇒ 2x = 84°
∴ x = 42°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = 42°

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে AB = 26 মি., BC = 28 মি. এবং ক্ষেত্রফল 182 বর্গমি.। তাহলে ∠B = ?

সমাধান:

আমরা জানি,
ΔABC এর ক্ষেত্রফল = (1/2) × AB × BC × sin ∠B
বা, 182 = (1/2) × 26 × 28 × sin ∠B
বা, 182 = 364 × sin ∠B
বা,  sin ∠B = 182/364
বা,  sin ∠B = 1/2
বা,  sin ∠B = ‍sin 30°
∴ ∠B = 30°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ২০ মি., ২১ মি. এবং ২৯ মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
এখানে পরিসীমা S = (২০ + ২১ + ২৯)/২ = ৭০/২ = ৩৫

আমরা জানি,
ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = √{S (S - a) (S - b) (S - c)}
= √{৩৫(৩৫ - ২০) (৩৫ - ২১) (৩৫ - ২৯)}
= √(৩৫ × ১৫ × ১৪ × ৬)
= √৪৪১০০
= ২১০ বর্গমিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ১৬ মিটার এবং অতিভুজ ২০ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
সমকোণী ত্রিভূজের,
লম্ব = √(অতিভূজ^২ - ভূমি^২) = √(২০^২ - ১৬^২)
= √(৪০০ - ২৫৬) মিটার
= √(১৪৪)
= ১২ মিটার

∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) x ১২ x ১৬
= ৯৬ বর্গমিটার

প্রশ্ন: ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে কী বলে? 

সমাধান: 
- ত্রিভুজের বাহু তিনটির দৈর্ঘ্যের সমষ্টিকে পরিসীমা বলে।
- ত্রিভুজের বাহুগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে ত্রিভুজক্ষেত্র বলে।
-  ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- যেকোনো শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহু এর লম্ব-দূরত্বই ত্রিভুজের উচ্চতা।

বাহুভেদে ত্রিভুজ তিন প্রকার:
- সমবাহু, 
- সমদ্বিবাহু ও 
- বিষমবাহু।

আবার কোণভেদেও ত্রিভুজ তিন প্রকার:
- সূক্ষ্মকোণী,
- স্থূলকোণী ও
- সমকোণী ।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে ভর কেন্দ্রের দূরত্ব 6 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির মধ্যমা কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় থাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে। 
∴ XE : EF = 2 : 1
বা, 6 : EF = 2 : 1
বা, 6/EF = 2/1
বা, 2EF = 6
∴ EF = 3

∴  ত্রিভুজটির মধ্যমা XF = XE + EF = 6 + 3 = 9 সে.মি.।

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের মধ্যমা কতটি?

সমাধান:
- ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং এর বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশই মধ্যমা।
- প্রতিটি ত্রিভুজের প্রতিটি শীর্ষবিন্দু থেকে এক একটি করে মোট তিনটি মধ্যমা থাকে।
- এই মধ্যমা তিনটি যে বিন্দুতে পরস্পরকে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলা হয়।

- ভরকেন্দ্র মধ্যমাকে ২ : ১ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 25 মিটার। এর একটি বাহু অপরটির 3/4 অংশ হলে, ত্রিভুজটির বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত? 

সমাধান:
ধরি,
ভূমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = 3x মিটার

এখন,
লম্ব² + ভূমি² = অতিভুজ²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 25x² = 625
⇒ x² = 25
⇒ x = 5

ভূমির দৈর্ঘ্য (4 × 5) = 20 মিটার
লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = (3 × 5) = 15 মিটার

∴ বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = 20 : 15 = 4 : 3

প্রশ্ন: কোনো ত্রিভুজের একটি বাহু উভয়দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি- 

সমাধান:
- একটি ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয়দিকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণগুলো সমান হলে ত্রিভুজের অন্তস্থ কোণগুলোও সমান হয়।
- এটা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে ত্রিভুজটির অন্তত দুটি বাহু পরস্পর সমান।
সঠিক উত্তরঃ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমবাহু হতে পারে আবার নাও হতে পারে।

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য ২ সে.মি., ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

সমাধান: 
ধরি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের ২টি বাহু সমান = ক 

আবার,
২^২ = ক^২ + ক^২
বা, ৪ = ২ক^২
বা, ২ক^২ = ৪
∴ ক = √২

∴ ক্ষেত্রফল = (১/২) (√২) × (√২)
= (১/২) × ২
= ১ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি b, উচ্চতা a এবং অতিভুজ c হলে কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
দেয়া আছে,
 ত্রিভুজের ভূমি b, উচ্চতা a এবং অতিভুজ c
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে আমরা পাই,
অতিভুজ² = উচ্চতা² + ভূমি²
c² = b² + a²
c² - a² = b
b = √(c² - a²)

প্রশ্ন: ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। ত্রিভুজটি AB ও BC বাহুদ্বয়কে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের উৎপন্ন প্রত্যেকটি অন্তঃস্থকোণের মান = ৬০°
এবং, প্রতিটি বহিঃস্থকোণের মান = ১২০°
দুটি বাহু বর্ধিত করায় দুটি বহিঃস্থকোণ উৎপন্ন হবে।

∴ উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ দুটির যোগফল = ১২০° + ১২০°
= ২৪০°

প্রশ্ন: ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 8, 10, 12 মিটার হলে বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:

এখানে,
বৃহত্তম বাহু, AC = 12 মিটার
ক্ষুদ্রতম বাহু, AB = 8 মিটার

অতএব, AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু দুটির সংযোগ সরলরেখা DE হবে তৃতীয় বাহু BC এর অর্ধেক।
∴ DE = BC/2 
= 10/2
= 5 মিটার

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল ৩√৩ বর্গ মিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার
∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪‍)a^২ বর্গমিটার 

ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য ১ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল= (√৩/৪)(a + ১)^২ বর্গমিটার 

প্রশ্নমতে,
(√৩/৪)(a + ১)^২ - (√৩/৪‍)a^২ = ৩√৩
বা, a^২ + ২a + ১ - a^২ = ১২
বা, ২a = ১১
∴ a = ৫.৫

∴ ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য ৫.৫ মিটার

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অন্য দুটি কী কোণ? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০° 
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ = ৯০°
∴ অপর দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° - ৯০° = ৯০°

∴ প্রতিটি কোণ ভিন্ন ভিন্ন ভাবে অবশ্যই ৯০° এর চেয়ে ছোট হবে।
অর্থাৎ এগুলো সূক্ষ্মকোণ হবে।