৯ম - ১৩তম গ্রেড পরীক্ষার প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি আলমারি ও একটি টেলিভিশনের দামের অনুপাত ৫ : ৪ । যদি টেলিভিশনের থেকে আলমারির দাম ৮০০০ টাকা বেশি হয় তাহলে টেলিভিশনের দাম কত?

সমাধান:
ধরি,
আলমারির দাম = ৫ক টাকা 
টেলিভিশনের দাম = ৪ক টাকা 

প্রশ্নমতে,
৫ক - ৪ক = ৮০০০
বা, ক = ৮০০০

∴ টেলিভিশনের দাম = (৪ × ৮০০০) টাকা = ৩২০০০ টাকা 

প্রশ্ন: কুমিল্লায় বর্তমান জনসংখ্যা ২৪ লক্ষ। শহরটির জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার প্রতি হাজারে ৩০ জন হলে, ২ বছর পর কুমিল্লা শহরের জনসংখ্যা কত হবে?

সমাধান:
এখানে,
শহরটির বর্তমান জনসংখ্যা, P = ২৪০০০০০
জনসংখ্যা বৃদ্ধির হার, r = ৩০/১০০০ = ৩/১০০
সময়, n = ২ বছর
 
সুতরাং ২ বছর পর মোট জনসংখ্যা হবে, C = ২৪০০০০০{১ + (৩/১০০)}^২
= ২৪০০০০০ × (১০৩/১০০)× (১০৩/১০০) 
= ২৫,৪৬,১৬০ জন

প্রশ্ন: পাঁচটি গরুর মূল্য কুড়িটি ছাগলের মূল্যের সমান। একটি গরুর মূল্য ৫০০০ টাকা হলে, দশটি ছাগলের মূল্য কত টাকা?

সমাধান:
১টি গরুর মূল্য ৫০০০ টাকা
৫টি গরুর মূল্য ৫০০০ × ৫ টাকা
= ২৫০০০ টাকা 

২০ টি ছাগলের মূল্য ২৫০০০ টাকা 
১ টি ছাগলের মূল্য ২৫০০০/২০ টাকা
১০ টি ছাগলের মূল্য (২৫০০০ × ১০)/২০ টাকা
= ১২,৫০০ টাকা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৪ এবং তাদের যোগফল ৮৪০ । বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩ক
বৃহত্তম সংখ্যা = ৪ক 

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৪ক = ৮৪০
⇒ ৭ক = ৮৪০
⇒ ক = ৮৪০/৭
⇒ ক = ১২০

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৪ × ১২০ = ৪৮০

প্রশ্ন: বার্ষিক ৪% হার সুদে ১০০০ টাকার ৩ বছরে যত সুদ হয়, বার্ষিক ৬% হার সুদে কত টাকার ২ বছরে তত সুদ হয়? 

সমাধান: 
১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৪ টাকা
∴ ১ টাকার ১ বছরের সুদ = ৪/১০০ টাকা 
∴ ১০০০ টাকার ৩ বছরের সুদ = (৪ × ১০০০ × ৩)/১০০ টাকা 
= ১২০ টাকা 

১০০ টাকার ১ বছরের সুদ = ৬ টাকা
∴ ১০০ টাকার ২ বছরের সুদ = (৬ × ২) টাকা = ১২ টাকা 

এখন, 
১২ টাকা সুদ যখন আসল = ১০০ টাকা 
∴ ১ টাকা সুদ যখন আসল = ১০০/১২ টাকা 
∴ ১২০ টাকা সুদ যখন আসল = (১০০ × ১২০)/১২ টাকা 
= ১০০০ টাকা ।

প্রশ্ন: সমক্ষমতাসম্পন্ন ৬টি মেশিন প্রতি মিনিটে ২৭০টি বোতল উৎপন্ন করে। এরূপ ১০টি মেশিন ৪ মিনিটে কতটি বোতল উৎপন্ন করতে পারবে?

সমাধান:
৬টি মেশিন ১ মিনিটে উৎপন্ন করে ২৭০টি
১টি মেশিন ১ মিনিটে উৎপন্ন করে ২৭০/৬ = ৪৫টি
১০টি মেশিন ১ মিনিটে উৎপন্ন করে ৪৫ × ১০ = ৪৫০টি
১০টি মেশিন ৪ মিনিটে উৎপন্ন করে ৪৫০ × ৪ = ১৮০০টি

∴ ১৮০০টি বোতল উৎপন্ন করতে পারবে।

প্রশ্ন: ৪ : ৭, ৫ : ৯, ৩ : ৮ অনুপাত গুলোর মিশ্র অনুপাত কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অনুপাতগুলো = ৪ : ৭, ৫ : ৯ এবং ৩ : ৮

অনুপাত তিনটির পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল = (৪ × ৫ × ৩)  = ৬০
অনুপাত তিনটির উত্তর রাশিগুলোর গুণফল = (৭ × ৯ × ৮) = ৫০৪

∴ নির্ণেয় মিশ্র অনুপাত = ৬০ : ৫০৪
= ৫ : ৪২

প্রশ্ন: বার্ষিক ৫% হার সরল সুদে ৬০০ টাকা এবং বার্ষিক ৭% হার সরল সুদে ৯০০ টাকা বিনিয়োগ করলে মোট মূলধনের উপর গড়ে শতকরা বার্ষিক কত সুদ পাওয়া যাবে?

সমাধান:
৬০০ টাকার জন্য ৫% হারে সুদ = (৬০০ × ৫)/১০০ = ৩০ টাকা

৯০০ টাকার জন্য ৭% হারে সুদ = (৯০০ × ৭)/১০০ = ৬৩ টাকা

মোট সুদ = ৩০ + ৬৩ = ৯৩ টাকা

মোট মূলধন = ৬০০ + ৯০০ = ১৫০০ টাকা

∴ গড় সুদের হার = (মোট সুদ × ১০০)/মোট মূলধন
= (৯৩ × ১০০)/১৫০০
= ৯৩/১৫
= ৬.২%

সুতরাং, মোট মূলধনের উপর গড়ে শতকরা বার্ষিক ৬.২% সুদ পাওয়া যাবে।

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা 10% হারে 1000 টাকার 2 বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মূলধন, P = 1000 টাকা
সময়, n = 2 বছর
সুদের হার, r = 10/100

আমরা জানি
সরল মুনাফা,
I = Pnr
= 1000 × 2 × (10/100)
= 200

চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল,
C = P(1 + r)ⁿ
= 1000(1 + 10/100)²
= 1000 × (110/100)²
= 1000 × 1.1  × 1.1
= 1210

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = 1210 - 1000
= 210
 
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (210 - 200) টাকা
= 10 টাকা।

প্রশ্ন: রহিম ও করিমের বেতনের অনুপাত ৫ : ২ । করিমের বেতন রহিমের বেতন অপেক্ষা ৩৪৮ টাকা কম হলে রহিমের বেতন কত?

সমাধান:
ধরি, 
রহিমের বেতন = ৫ক 
করিমের বেতন = ২ক 

প্রশ্নমতে,
৫ক - ২ক = ৩৪৮
⇒ ৩ক = ৩৪৮
⇒ ক = ৩৪৮/৩
⇒ ক = ১১৬

∴ রহিমের বেতন = ৫ × ১১৬ = ৫৮০ টাকা 

প্রশ্ন: ঘণ্টায় a মাইল বেগে b দূরত্ব অতিক্রম করতে কত ঘণ্টা সময় লাগবে?

সমাধান:
বেগ = a মাইল/ঘণ্টা
 দূরত্ব = b মাইল 

a মাইল যায় 1 ঘণ্টায়
1 মাইল যায় 1/a ঘণ্টায়
b মাইল যায় b/a ঘণ্টায়

প্রশ্ন: বার্ষিক ১০% মুনাফায় ৮০০০ টাকার ৩ বছরের সরল মুনাফা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, p = ৮০০০ টাকা 
সময়, n = ৩ বছর 
মুনাফার হার, r = ১০%

আমরা জানি,
মুনাফার হার, I = pnr/১০০ 
= (৮০০০ × ৩ × ১০)/১০০
= ২৪০০ টাকা 

প্রশ্ন: ১১,৭০০ টাকা একটি নির্দিষ্ট অনুপাতে P, Q ও R এর মধ্যে ভাগ করতে হবে, যেখানে অনুপাতটি হলো ১/২ : ১/৩ : ১/৪ তবে, সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন অংশের পার্থক্য কত টাকা?

Solution:
দেওয়া আছে,
P : Q : R = (১/২) : (১/৩) : (১/৪)

এই ভগ্নাংশগুলিকে সরল করার জন্য ২, ৩ ও ৪ এর ল.সা.গু = ১২ দ্বারা গুণ করে পাই
∴ P : Q : R = {(১/২) × ১২} : {(১/৩) × ১২} : {(১/৪) × ১২}
= ৬ : ৪ : ৩

অনুপাতের যোগফল = ৬ + ৪ + ৩ = ১৩

∴ ১ অংশের মূল্য = ১১,৭০০/১৩ = ৯০০ টাকা

∴ P এর অংশ = ৬ × ৯০০ = ৫৪০০ টাকা 
∴ Q এর অংশ = ৪ × ৯০০ = ৩৬০০ টাকা 
∴ R এর অংশ = ৩ × ৯০০ = ২৭০০ টাকা

সবচেয়ে বড় অংশ = P = ৫৪০০ টাকা
সবচেয়ে ছোট অংশ = R = ২৭০০ টাকা

∴ সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন অংশের পার্থক্য = (৫৪০০ - ২৭০০) = ২৭০০ টাকা

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দু’জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কত দিন বেশী লাগবে?

সমাধান: 
২ জন লোক কমে যাওয়ায় মোট লোক হয় =(৮ - ২)= ৬জন।

৮ জন লোক একটি কাজ করে = ১২ দিনে
১ জন লোক একটি কাজ করে = ৮ × ১২ দিনে
৬ জন লোক একটি কাজ করে = (৮ × ১২)/৬ দিনে
= ১৬

পূর্বের চেয়ে সময় বেশি লাগে =(১৬ - ১২) = ৪দিন

শতকরা সময় বেশি লাগে = {(৪/১২) × ১০০}% = (১০০/৩)% 

প্রশ্ন: কোন কর্মচারী মূল বেতনের (১/৪০) ভাগের সমপরিমাণ বিশেষ ভাতা পান। তার বিশেষ ভাতা ৪০ টাকা হলে, মূল বেতন কত টাকা?

সমাধান:
মূল বেতন = ৪০ টাকা

বিশেষ ভাতা = (৪০ এর ১/৪০) টাকা
= ১ টাকা

বিশেষ ভাতা ১ টাকা হলে মূল বেতন ৪০ টাকা
বিশেষ ভাতা ৪০ টাকা হলে মূল বেতন (৪০ × ৪০) টাকা
= ১৬০০ টাকা

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ১৩ : ৪। পিতার বয়স ৫২ বছর হলে, পুত্রের বয়স কত?

সমাধান,
মনেকরি,
পুত্রের বয়স = পিতার বয়সের ৪/১৩ গুণ।

প্রশ্নমতে,
 পুত্রের বয়স = (৫২ এর ৪/১৩) বছর
= ১৬ বছর

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত হার মুনাফায় ১ বছরের মুনাফা আসলের ১/৪ অংশ হবে?

সমাধান:
ধরি,
আসল = ৪ টাকা 
মুনাফা = ৪ এর ১/৪ অংশ = ১ টাকা 
সময় = ১ বছর 

মুনাফার = (আসল × সময় × মুনাফার হার)/১০০
বা, মুনাফার হার = (মুনাফা × ১০০)/(আসল × সময়) = (১ × ১০০)/(৪ × ১) = ২৫

অর্থাৎ মুনাফার হার ২৫% হলে ১ বছরের মুনাফা আসলের ১/৪ অংশ হবে।

প্রশ্ন:  একটি দুর্গে ৫৫ দিনের জন্য ১২০০ সৈন্যের খাবার রয়েছে। ১০ দিন পর,২০০ সৈন্য দুর্গ ছেড়ে যায়। অবশিষ্ট খাবার কত দিন চলবে? 

সমাধান:
১০ দিন পর সৈন্য আছে= (১২০০ - ২০০) জন
= ১০০০ জন 

দিন বাকি = ৫৫-১০ দিন
= ৪৫ দিন

১২০০ জন সৈন্যের খাবার আছে ৪৫ দিনের 
১  জন সৈন্যের খাবার আছে   ৪৫ ×১২০০ দিনের 
১০০০ জন সৈন্যের খাবার আছে (৪৫ ×১২০০)/১০০০ দিনের 
=৫৪ দিনের

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক ৫ টাকা হারে সরল সুদে ১৩০০ টাকা তিন বছরে সুদে-আসলে কত টাকা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আসল, p = ১৩০০ টাকা 
সুদের হার, r = ৫%
সময়, n = ৩ বছর

আমরা জানি,
সুদ, I = pnr/১০০ 
বা,  I = (১৩০০ × ৩ × ৫)/১০০
বা, I = ১৯৫

∴ সুদ-আসল = I + p = (১৯৫ + ১৩০০) টাকা = ১৪৯৫ টাকা

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৫ দিন পরে ৩ জন চলে গেলে কাজটি শেষ করতে বাকি লোকের কতদিন লাগবে?

সমাধান:
মনে করি ,
সম্পূর্ন কাজটি = ৮০ একক।

দেয়া আছে,
৮ জনের
২০ দিনে শেষ হয় = ৮০ একক।
∴ ৫ দিনে শেষ হয় = ৮০×৫/২০ একক।
= ২০ একক।

কাজ বাকি থাকে = ৮০ - ২০ একক
= ৬০ একক, যা (৮-৩) বা ৫ জন লোক শেষ করে। 

এখন,
৮ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০ দিনে
∴ ১ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০×৮ দিনে
∴ ৫ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০×৮/৫ দিনে
∴ ৫ জন লোক ১ একক কাজ করে = (২০×৮)/(৫×৮০) দিনে
∴ ৫ জন লোক ৬০ একক কাজ করে = (২০×৮×৬০)/(৫×৮০) দিনে
= ২৪ দিনে

উত্তর: ২৪ দিনে

প্রশ্ন: একটি পাত্রে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ২। যদি পানি অপেক্ষা দুধের পরিমাণ ১২ লিটার বেশি হয় তাহলে পানির পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
দুধের পরিমাণ = ৫ক
পানির পরিমাণ = ২ক

প্রশ্নমতে,
৫ক - ২ক = ১২
⇒ ৩ক = ১২ 
⇒ ক = ১২/৩
⇒ ক = ৪ 

∴ পানির পরিমাণ = ২ক = (২ × ৪) = ৮ লিটার

প্রশ্ন: বার্ষিক শতকরা ৮ টাকা মুনাফায় ৬২৫০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রারম্ভিক মূলধন, P = ৬২৫০ টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = ৮% = ৮/১০০ টাকা
এবং সময় n = ২ বছর

আমরা জানি,
C = P(১ + r)ⁿ
= ৬২৫০(১ + ৮/১০০)^২
= ৬২৫০(১ + ২/২৫)^২
= ৬২৫০(২৭/২৫)^২
= (৬২৫০ × ২৭ × ২৭)/(২৫ × ২৫)
= ৭২৯০ টাকা

প্রশ্ন: ইস্পাতে লোহা ও কার্বনের অনুপাত ৪৯ : ১ হলে ২০০ কেজি ইস্পাতে কার্বনের পরিমাণ কত?

সমাধান:
লোহা ও কার্বনের অনুপাত ৪৯ : ১
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৪৯ + ১ = ৫০ 

২০০ কেজি ইস্পাতে কার্বনের পরিমাণ = ২০০ এর ১/৫০
= ৪ কেজি

প্রশ্ন: একটি মিশ্রণে দুধ ও পানির অনুপাত ৭ : ৩। যদি মিশ্রণে ১৫ লিটার পানি বেশি যোগ করা হয়, তবে অনুপাত হয় ৭ : ৮। প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম অনুপাতে, দুধের পরিমাণ ৭ক এবং পানি পরিমাণ ৩ক

আবার, ১৫ লিটার পানি যোগ করার পর পানি পরিমাণ= ৩ক + ১৫

প্রশ্নমতে,
৭ক : (৩ক + ১৫) = ৭ : ৮
⇒ ৭ক × ৮ = ৭ × (৩ক + ১৫)
⇒ ৫৬ক = ২১ক + ১০৫
⇒ ৫৬ক - ২১ক = ১০৫
⇒ ৩৫ক = ১০৫
⇒ ক = ১০৫/৩৫
∴ ক = ৩

∴ প্রথম মিশ্রণে দুধের পরিমাণ = (৭ × ৩) = ২১ লিটার