১৪০ দিনে ৫১তম বিসিএস প্রস্তুতি

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

এখানে,
25² = 24² + 7²
∴ ৩য় বাহুর দৈর্ঘ্য হবে 7 সেমি.

মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, y = m x
2x + 3y = 0
3y = -2x
y= -2x/3 যা y = mx আকারের যেখানে m = -2/3
সুতরাং, 2x + 3y = 0 রেখাটি মূলবিন্দু দিয়ে সিদ্ধ হয়।
অর্থাৎ, এটি মূলবিন্দুগামী।

এখানে,
∠CAE = 110°,
∠BCD = 180° - ∠ACB
= 180° - 50°
= 130°
∴ ∠ABF = 360° - (∠CAE + ∠BCD)
= 360° - (110° + 130°)
= 360° - 240°
∴ ∠ABF = 120°

ত্রিভূজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান।
ফলে প্রতিটি কোণের পরিমাণ 60° যা সুক্ষকোণ।
সুতরাং ত্রিভূজটি সুক্ষকোণী।

দেওয়া আছে,
B = 6x,
C = 5x
A:B = 7:6
বা, A/B = 7/6
বা, A = 7/6 B
= 7/6 × 6x
= 7x
ΔABC-এ,
A + B + C = 180°
বা, 6x + 5x + 7x = 180°
বা, 18x = 180°
∴ x = 10°

লম্ব = a হলে,
ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ৪ × a 
বা, ৬ = ২a
∴ a = ৩ মিঃ 
∴ অতিভূজ = √(ভূমি² + লম্ব²)
= √(৪² + ৩²)
= ৫ মিটার
∴ পরিসীমা = ভূমি + লম্ব + অতিঃ
= ৪ + ৩ + ৫
= ১২ মিঃ

AB কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি
∴ AD||BC এবং AE ছেদক
∴ ∠DAB = ∠CBE ফলে ∠A + ∠B
= ∠CBE + ∠CBA
= 180°

সামন্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান
∴ ∠ABC = ∠ADC

চিত্রে ∠ACD = 120° হলে,
∠ACB = 180° - 120°
= 60°
∴ কেন্দ্রস্থ ∠AOB = 2 × বৃত্তস্থ ∠ACB
= 2 × 60°
= 120°

আয়তক্ষেত্রের সবগুলো কোণ পরস্পর সমান এবং সবগুলো বাহু সমান নয়।

চতুর্ভূজের যেকোন তিনবাহুর সমষ্টি চতুর্থ বাহু অপেক্ষা বৃহত্তম।
যদি পরিসীমা 28 হয় তবে চতুর্থ বাহু = 28 - (4 + 5 + 6)
= 13m < 4 + 5 + 6
∴ পরিসীমা 28m হতে পারে।

ধরি,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভূজের,
ভূমি = লম্ব = a
∴ ১/২ × a × a = ২৫
বা, a² = ৫০
∴ a = √৫০ = ৫√২

∴ অতিভূজ = √(a² + a²)
= √(২a²)
= a√২
= ৫√২.√২
= ১০ মিঃ

এখানে,
মই AC = ৪১ ফুট,
বৈদ্যুতিক খুঁটির দৈর্ঘ্য AB = ৪০
∴ পাদবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব BC = √(৪১² - ৪০²)
= ৯ ফুট

এখানে,
অতিভূজ = 25m
ধরি,
ভূমি = 4a মিঃ
উচ্চতা = 4a এর 3/4
= 3a মিঃ
∴ (4a)² + (3a)² = 25
বা, 16a² + 9a² = 625
বা, 25a² = 625
বা, a² = 25
∴ a = 5
∴ ভূমি = 4 × 5
= 20m
∴ উচ্চতা = 3 × 5
= 15m
∴ ক্ষেত্রফল = 1/2 × 20 × 15
= 150 বর্গমিঃ

বৃত্তের বৈশিষ্ট্য অনুসারে x² + y² = 9 একটি বৃত্ত।
উপবৃত্তের সমীকরণ, 4x2 + 9y2 = 36

আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক বা একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 60° হলে কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 120°।

বৃত্তের কেন্দ্র হতে দু'টি সমান জ্যা এর দূরত্ব সমান
∴ দূরত্বের অনুপাত = 1:1

বৃত্তের ব্যাস = বৃহত্তম জ্যা = 14 মিঃ
∴ ব্যাসার্ধ = 7 মিঃ
∴ ক্ষেত্রফল = π × 7²
= 49π বর্গমিঃ

১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πa²
∴ ব্যাসার্ধ = a
২য় বৃত্তের পরিধি = 2πb
∴ ব্যাসার্ধ = b
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = a + b

বাগানের ব্যাস = ২৪ মিঃ
∴ বাগানের ব্যাসার্ধ = ১২ মিঃ
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = π × (১২)²
= ১৪৪π বর্গমিঃ
রাস্তাসহ বাগানের ব্যাসার্ধ = (১২ + ১)
= ১৩ মিঃ
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = π(১৩)²
= ১৬৯π বর্গমিঃ
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১৬৯π - ১৪৪π
= ২৫π বর্গমিঃ

বর্গের ক্ষেত্রফল = ৯৮ বর্গমিঃ
∴ বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯৮
= ৭√২
∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = ৭√২ × √২
= ১৪ মিঃ
= বৃত্তের ব্যাস

রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × 8 × 6
= 24 বর্গসেঃমিঃ = আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল।

আবার,
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 6 cm
∴ প্রস্থ = 24/6
= 4 cm

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √(6² + 4²)
= √52
= 2√13 cm

AB = DE = 5cm,
BC = 3cm
ΔABC-এ,
AC² + BC² = AB²
বা, AC² = AB² - BC²
বা, AC = √(AB² - BC²)
= √(5² - 3²)
= 4
∴ ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা
= 12 × 4
= 48 বর্গসেঃমিঃ

দৈর্ঘ্য = 5a,
প্রস্থ = 4a,
উচ্চতা = 3a

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য় = √{(5a)² + (4a)² + (3a)²} = 30√2
বা, √(25a² + 16a² + 9a²) = 30√2
বা, √50a² = 30√2
বা, 5√2a = 30√2
∴ a = 6

∴ আয়তন = 5a × 4a × 3a
= 60a³
= 60(6)³
= 60 × 216
= 12,960 ঘনমিঃ

ব্যাসার্ধ r হলে,
পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr²,
আয়তন = 4πr³/3
∴ (4πr³/3)/4πr² = 288/144
বা, 4πr³/(3 × 4πr²) = 2
বা, r/3 = 2
∴ r = 6

ধরি,
ব্যাসার্ধ = r,
উচ্চতা = h
∴ বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh = 100π
আয়তন = πr²h = 150π
∴ πr²h/2πrh = 150π/100π
r/2 = 3/2
∴ r = 3
এখন,
2πrh = 100π
বা, h = 100π/2πr
= 50/3
= 16(2/3)