প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি [লং কোর্স]

শূন্য সহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণ সংখ্যা বলে।
উপরের অপশনে ক) তে শূন্য সহ ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যা রয়েছে।

বাস্তব সংখ্যার বর্গমূল বাস্তব হতে পারে। যেমনঃ √১২১ = ১১
বাস্তব সংখ্যার বর্গমূল কাল্পনিক হতে পারে। যেমনঃ √(- ৪) = ২√(- ১)
অতএব, বাস্তব সংখ্যার বর্গমূল বাস্তব অথবা কাল্পনিক হতে পারে।
কিন্তু বাস্তব সংখ্যার বর্গমূল বাস্তব এবং কাল্পনিক উভয় হতে পারে না।

√3 ও 4 এর মধ্যে অমূলদ সংখ্যা =  1.73325 ... ... 
কারণ 1.73325 ... ...  সংখ্যাটি √3 এর চেয়ে বড় কিন্তু 4 এর চেয়ে ছোট।
3.1416 সংখ্যাটি মুলদ।
1.61234... ... ... ও 1.712456 ... .. ..  সংখ্যা দুইটি √3 অপেক্ষা ছোট।

বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গকে ৮ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে ১।
মনে করি, 'ক' স্বাভাবিক সংখ্যা, তাহলে বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা = ২ক - ১
সুতরাং (২ক - ১)^২
= ৪ক^২ - ৪ক + ১
= ৪ক(ক - ১) + ১
ক ও ক - ১ সংখ্যা দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যা হলে, এদের গুণফলকে ২ দ্বারা ভাগ করা যাবে। 
ক(ক -১) কে ২ দ্বারা ভাগ করা যাবে। 
৪ক(ক - ১) কে ৮ দ্বারা ভাগ করা যাবে। 
৪ক(ক - ১) + ১ কে ৮ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ ১ থাকবে। 

৬ ও ৮ এর ল.সা.গু ২৪।
সুতরাং, বর্গাকৃতি মেঝের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ সেমি।
বর্গাকৃতি মেঝের ক্ষেত্রফল (২৪ × ২৪) বর্গ সেমি বা ৫৭৬ বর্গ সেমি

প্রত্যেক টাইলসের ক্ষেত্রফল ৬ × ৮ বর্গ সে.মি বা ৪৮ বর্গ সে.মি

∴ নির্ণেয় টাইলসের সংখ্যা = (৫৭৬/৪৮) টি = ১২ টি

১২ ও ৫ এ ল.সা.গু হচ্ছে ঘণ্টা দুটির পুনরায় বেজে উঠার সময়।
১২ ও ৫ এর ল.সা.গু ৬০। 
ঘণ্টা দুটি একসাথে বিকাল ৩ টায় বাজে।
তাহলে ৬০ মিনিট পর অর্থাৎ ১ ঘণ্টা পর বিকাল ৪ টায় পুনরায় বেজে উঠবে।

৩৬ = ১ × ৩৬
       = ২ × ১৮
       = ৩ × ১২
        = ৪ × ৯
         = ৬ × ৬
৩৬ এর গুণনীয়ক হচ্ছে ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮ ও ৩৬।
৩৬ এর গুণনীয়ক ৯ টি।

২ ও ৩ এর গ.সা.গু ১
২ ও ৩ এর ল.সা.গু ৬ অর্থাৎ ২ ও ৩ এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক ৬

কিন্তু ২ ও ৩ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক অসীম।

এখানে, ১ম রাশি = ৮
২য় রাশি = ৭
এবং ৪র্থ রাশি = ১৪
আমরা জানি, ২য় রাশি × ৩য় রাশি = ১ম রাশি × ৪র্থ রাশি
                  ৭ × ৩য় রাশি = ৮ × ১৪
                         ৩য় রাশি = ৮ × ১৪/৭
                                       = ১৬

৫, ০, ৩, ০, ৬ এবং ১ এর গড়
= (৫ + ০ + ৩ + ০ + ৬ + ১)/৬
= ১৫/৬
= ২.৫

একটি ছাগলের মূল্য = ১৫০০০ টাকা
  ৩ টি ছাগলের মূল্য =  ৩ × ১৫,০০০ টাকা
                               = ৪৫,০০০ টাকা

২ টি গরুর মূল্য = ২৪৫০০০ টাকা - ৪৫,০০০ টাকা
                        = ২০০,০০০ টাকা
১ টি গরুর মূল্য = ২০০০০০/২ টাকা = ১০০০০০ টাকা

৩০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১২ জন ছাত্রী 
১ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১২/৩০ জন ছাত্রী
১০০ জন শিক্ষার্থীর মধ্যে ১২ × ১০০/৩০ জন ছাত্রী = ৪০ জন ছাত্রী

লাভ হয় = (৯০ - ৭৫) টাকা = ১৫ টাকা
৭৫ টাকায় লাভ হয় = ১৫ টাকা
 ১ টাকায় লাভ হয় = ১৫/৭৫ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় = ১৫ × ১০০/৭৫ টাকা = ২০ টাকা

১০% ক্ষতিতে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, বিক্রয়মূল্য (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা

৫% লাভে,
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে, বিক্রয়মূল্য (১০০ + ৫) টাকা = ১০৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য বেশি হয় = (১০৫ - ৯০) টাকা = ১৫ টাকা 
বেশি বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বেশি বিক্রয়মূল্য ৪৫০ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য ১০০ × ৪৫০/১৫ টাকা = ৩০০০ টাকা

১ ইউএস ডলার ৮১.৫০ টাকা
৭০০০ ইউএস ডলার ৮১.৫০ × ৭০০০ টাকা = ৫,৭০,৫০০ টাকা

৩০ টাকার ৪০% = ৩০ টাকা এর ৪০/১০০ = ১২ টাকা

আমরা জানি, I = Pnr
সুতরাং,
P = I/nr
= 750/(3 × 5/100)
= 750 × 100/(3 × 5)
= 5000 টাকা

I = Pnr
r = I/Pn = ২০০০/(১০,০০০ × ৫) = ১/২৫ = ১/২৫ × ১০০% = ৪%

মুনাফা + আসল = ৬৫০০
বা, আসল/৩ + আসল = ৬৫০০
বা, (১ + ১/৩)আসল = ৬৫০০
বা, ৪/৩ × আসল = ৬৫০০
∴ আসল = ৬৫০০ × ৩/৪ টাকা
              = ৪৮৭৫ টাকা

এখানে, P = ১০০০ জন
r = ২/১০ × ১০০% = ২০% = ২০/১০০
n = ২ বছর
C = ?
C = P( 1 + r)ⁿ = ১০০০(১ + ২০/১০০)^২ = ১০০০ × ১২০/১০০ × ১২০/১০০ = ১৪৪০ জন

এটি একটি ফিবনাক্কি ধারা। 
এ ধারায় ১ম দুইটি সংখ্যা যোগ করে পরবর্তী সংখ্যা পাওয়া যায়।
0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21

১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ + ৫^২ + ... ... ... + ৫০^২ = ৫০(৫০ + ১)(২ × ৫০ + ১)/৬ = ৫০ × ৫১ × ১০১/৬ = ৪২৯২৫

n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের যোগফল = {n(n + 1)/2}²
n = ১০ হলে, 
১^৩ + ২^৩ + ৩^৩ + ... ... ... + ১০^৩= {১০(১০ + ১)/২}^২
                                                 = ৫৫^২
                                                 = ৩০২৫

গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a ও সাধারণ অনুপাত r হলে অষ্টম পদ = ar^{8 - 1} = ar⁷

রহিম এক পৃষ্ঠা ১২ মিনিটে টাইপ করতে পারে
করিমের ঐ পৃষ্ঠা টাইপ করতে সময় লাগে = ১৮০ সেকেন্ড
                                                               = ১৮০/৬০ মিনিট
                                                               = ৩ মিনিট
রহিম ও করিমের সময়ের সরল অনুপাত গতিবেগের ব্যস্ত অনুপাতের সমান হবে।
রহিমের কাজের সময় : করিমের কাজের সময় = করিমের গতিবেগ : রহিমের গতিবেগ
করিমের গতিবেগ : রহিমের গতিবেগ = ১২ : ৩ = ৪ : ১
রহিমের গতিবেগ : করিমের গতিবেগ = ১ : ৪

দূরত্ব ক হলে,
ব্যক্তিটি ৩০ ঘন্টায় ক দূরত্ব অতিক্রম করেন।
যাত্রাপথের অর্ধেক দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় লাগে = অর্ধেক দূরত্ব/ (যাত্রাপথের অর্ধেক দূরত্ব যাওয়ার গতিবেগ) = (ক/২) ÷ ২১ = ক/৪২
যাত্রাপথের বাকি অর্ধেক দূরত্ব অতিক্রম করতে সময় লাগে = বাকি অর্ধেক দূরত্ব/ (যাত্রাপথের বাকি অর্ধেক দূরত্ব যাওয়ার গতিবেগ) = (ক/২) ÷ ২৪ = ক/৪৮
প্রশ্নমতে,
(ক/২)/২১ + (ক/২)/২৪ = ৩০
∴, ক = ৬৭২ কিমি

ভোর ৫ টা হতে রাত ৯ টা পর্যন্ত সময়ের ব্যবধান
= ( ভোর ৫ টা হতে দুপুর ১২ টা + দুপুর ১২ টা হতে রাত ৯ টা )
= ৭ ঘণ্টা + ৯ ঘণ্টা
= ১৬ ঘণ্টা

গড় গতিবেগ = মোট দূরুত্ব / মোট সময়
                    = ৩২০/১৬  কিমি / ঘণ্টা
                    = ২০ কিমি / ঘণ্টা

ধরি, ঐ স্থানের দূরত্ব = x মাইল।
তাহলে যেতে সময় লাগে = x/৮ ঘন্টা
এবং ফিরে আসতে সময় লাগে = x/১০ ঘন্টা।
∴ মোট সময় লাগে = x/৮ + x/১০ ঘন্টা
                             = (৫x+৪x)/৪০ ঘণ্টা
                             = ৯x/৪০ ঘন্টা
মোট দূরত্ব = x + x = ২x
সুতরাং গড় গতিবেগ = (২x ÷ ৯x/৪০) মাইল/ঘণ্টা
                                = (২x×৪০)/৯x
                                = ৮০/৯
                                = ৮.৮৮ মাইল/ঘণ্টা