Math Master

প্রশ্নঃ একটি বাস দুপুর ১২.৩৫ এ ছেড়ে সকাল ১০.৪৫ এ গন্তব্য়ে পৌছাল। গন্তব্যে পৌছাতে মোট কত সময় লেগেছে?

সমাধানঃ
মোট সময় = দুপুর ১২.৩৫ থেকে রাত ১২ টা + রাত ১২ টা থেকে সকাল ১০.৪৫
= ১১ ঘন্টা ২৫ মিনিট + ১০ ঘন্টা ৪৫ মিনিট
=২২ ঘন্টা ১০ মিনিট

প্রশ্ন: ক থেকে খ এর দূরত্ব ২৮২ কিলোমটার। একটি বাস ৭ ঘন্টায় খ থেকে ক তে চলে আসলো। পথে বাসটি ১ ঘন্টা যাত্রা বিরতি নেয়। বাসটির গড় গতিবেগ কত কি.মি/ঘন্টা?
 

প্রশ্ন: একটি ছেলে 5 কিমি/ঘণ্টা বেগে স্কুলে যায় এবং 4 কিমি/ঘন্টা বেগে ঘরে ফিরে আসে। তিনি যদি মোট 4 ঘণ্টা 30 মিনিট সময় নেন, তাহলে ঘর থেকে স্কুলের দূরত্ব কত?

প্রশ্ন: যদি একটি ট্যাঙ্ক 4/7 অংশ 8 ঘণ্টায় পূর্ণ হয়, তবে ট্যাঙ্কের অর্ধেক পূর্ণ করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
ট্যাঙ্কের  4/7 অংশ পূর্ণ হয় 8 ঘণ্টায় 
ট্যাঙ্কের  1 অংশ পূর্ণ হয় (8 × 7)/4 ঘণ্টায়
ট্যাঙ্কের  1/2 অংশ পূর্ণ হয় (8 × 7)/(4 × 2) ঘণ্টায়
                                        = 7 ঘণ্টায়

প্রশ্ন: স্রোতের অনুকূলে যেতে যে সময় লাগে, প্রতিকূলে তার ৪ গুণ সময় লাগে। যাতায়াতে যদি ২৫ ঘণ্টা সময় লাগে, তাহলে স্রোতের প্রতিকূলে যেতে কতক্ষণ লাগবে?

সমাধান : 
স্রোতের অনুকূলে যেতে লাগে ক ঘণ্টা
সুতরাং স্রোতের প্রতিকূলে যেতে লাগে ৪ক ঘণ্টা
ক + ৪ক = ২৫
বা, ৫ক = ২৫

প্রশ্ন: A, B এবং C নল দ্বারা একটি ট্যাঙ্ক 5 ঘণ্টায় পূর্ণ হয়। C নলটি B থেকে দ্বিগুণ এবং B নলটি A নল থেকে দ্বিগুণ গতিতে পূর্ণ করে, ট্যাঙ্কটি একা A নল দ্বারা কত সময়ে পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
A নল দ্বারা ট্যাঙ্কটি পূর্ণ হবে = x ঘণ্টায় 
B নল দ্বারা ট্যাঙ্কটি পূর্ণ হবে = x/2 ঘণ্টায় 
C নল দ্বারা ট্যাঙ্কটি পূর্ণ হবে = x/(2 × 2) ঘণ্টায় 
                                          = x/4 ঘণ্টায়
প্রশ্নমতে,
(1/x) + (2/x) + (4/x) = 1/5
 (1 + 2 + 4)/x = 1/5
7/x = 1/5
x = 35 ঘণ্টা

প্রশ্ন: X, Y এর দ্বিগুণ কাজ করতে পারে। Y একটি কাজ করতে পারে 12 দিনে, তাহলে তারা একত্রে কাজটি কতদিনে করতে পারবে? 

সমাধান 
Y কাজটি করতে পারে 12 দিনে
X কাজটি করতে পারে 6 দিনে

X, 1 দিনে করতে পারে কাজটির 1/6 অংশ 
Y, 1 দিনে করতে পারে কাজটির 1/12 অংশ 

(X + Y) 1 দিনে করতে পারে কাজটির = (1/6) + (1/12) অংশ
                                                         = (2 + 1)/12
                                                           = 3/12
                                                            = 1/4


(X + Y) 1/4 অংশ কাজ করতে পারে 1 দিনে 
(X + Y) 1(সম্পূর্ণ) অংশ কাজ করতে পারে (1 × 4)/1 দিনে 
                                                                 = 4 দিনে

প্রশ্ন: একটি বাস ১২ ঘণ্টায় ৮১৬ কি.মি. অতিক্রম করলে, বাসটির গতিবেগ কত? 

সমাধান: 
দূরত্ব = ৮১৬ কি.মি. 
সময় = ১২ ঘণ্টা

বাসের গতিবেগ = ৮১৬/১২ কি.মি./ঘণ্টা
                         = ৬৮ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি ট্যাঙ্ক দুটি নল A এবং B দ্বারা যথাক্রমে 5 ঘন্টা এবং15 ঘন্টায় পূর্ণ করা যেতে পারে। C নল 10 ঘন্টায় ট্যাঙ্ক খালি করতে পারে। যদি তিনটি নল একই সাথে খোলা হয়, তাহলে ট্যাঙ্কটি সম্পূর্ণরূপে পূর্ণ হতে আনুমানিক কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
নল A দ্বারা 1 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = 1/5 অংশ 
নল B দ্বারা 1 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = 1/15 অংশ 
নল C দ্বারা 1 ঘণ্টায় খালি হয় = 1/10 অংশ

তিনটি নল একই সাথে খোলা হলে,
1 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = (1/5) + (1/15) - (1/10) অংশ  
                           = (6 + 2 - 3)/30 অংশ
                           = 5/30 অংশ
                           = 1/6 অংশ

তিনটি নল দ্বারা 1/6 অংশ পূর্ণ হয় = 1 ঘণ্টায় 
তিনটি নল দ্বারা 1(সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় = (1 × 6)/1 ঘণ্টায় 
                                                             = 6 ঘণ্টায়

প্রশ্ন : লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ২০ কিমি ও ৪ কিমি। নদী পথে ১৯২ কিমি দূরত্ব অতিক্রম করে পুনরায় যাত্রাস্থানে ফিরে আসতে সময় লাগবে-
সমাধান :
স্রোতের অনুকূলে বেগ = ২০ + ৪ = ২৪ কিমি/ঘণ্টা
∴ স্রোতের অনুকূলে যেতে সময় লাগে = ১৯২/২৪ = ৮ ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = ২০ - ৪ = ১৬ কিমি/ঘন্টা
∴ স্রোতের প্রতিকূলে যেতে সময় লাগে = ১৯২/১৬ = ১২ ঘণ্টা
∴ মোট সময় লাগে = ৮ + ১২ = ২০ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একজন ব্যাক্তি 5 ঘণ্টায় একটি যাত্রা সম্পূর্ণ করতে পারে। সে যাত্রার অর্ধেক দূরত্ব 12 কি.মি./ঘণ্টা গতিবেগে এবং বাকি অর্ধেক পথ 8 কি.মি./ঘণ্টা গতিবেগে অতিক্রম করে। মোট দূরত্ব কত কি.মি.? 

সমাধান: 
ধরি,
মোট দূরত্ব = x কি.মি.

প্রশ্নমতে,
(x/2)/12 + (x/2)/8 = 5
(x/24) + (x/16) = 5
(2x + 3x)/48 = 5
5x/48 = 5
x/48 = 1
x = 48

প্রশ্ন : স্রোতের প্রতিকূলে কোন ব্যক্তি ৪০ মিনিটে ৪ কিমি ও স্রোতের অনুকূলে ২৪ মিনিটে ৪ কিমি পথ অতিক্রম করে, স্রোতের বেগ কত?
সমাধান : 
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = (৪ × ৬০)/৪০ = ৬ কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের অনুকূলে বেগ = (৪ × ৬০)/২৪ = ১০ কিমি/ঘণ্টা
আমরা জানি,
স্রোতের অনুকূলে বেগ = স্থির পানিতে বেগ + স্রোতের বেগ ......(১)
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = স্থির পানিতে বেগ - স্রোতের বেগ ......(২)

প্রশ্ন: ১০ কিলোমিটারের একটি দূরত্ব  অতিক্রম করতে একটি ট্রেনের ১২ মিনিট সময় লাগে। যদি ট্রেনের গতি ৫ কি.মি./ঘণ্টা কমানো হয়, তাহলে ১৫ কিলোমিটার দূরত্ব অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?  

সমাধান:
ট্রেনের গতিবেগ = ১০/(১২/৬০) কি.মি./ঘণ্টা
                         = ১০/(১/৫) কি.মি./ঘণ্টা
                         = ১০ × (৫/১) কি.মি./ঘণ্টা
                          = ৫০ কি.মি./ঘণ্টা

 ট্রেনের গতি ৫ কি.মি./ঘণ্টা কমানো হলে নতুন গতিবেগ
= (৫০ - ৫) কি.মি./ঘণ্টা
= ৪৫ কি.মি./ঘণ্টা

৪৫ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ৬০ মিনিট 
১ কি.মি. যেতে সময় লাগে = ৬০/৪৫ মিনিট 
১৫ কি.মি. যেতে সময় লাগে = (৬০ × ১৫)/৪৫ মিনিট
                                            = ২০ মিনিট

প্রশ্ন : একটি নৌকা স্থির পানিতে ঘণ্টায় ৭ কি.মি. যেতে পারে। যদি স্রোতের বেগ ১ কি.মি./ঘণ্টা হয়, তাহলে একটি নির্দিষ্ট স্থানে গিয়ে ফিরে আসতে ১ ঘণ্টা সময় লাগে। স্থানটির দূরত্ব কত?  

সমাধান : 
ধরি ,
স্থানটির দূরত্ব x  কি.মি. 

স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = ৭ + ১ = ৮ কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = ৭ - ১ = ৬ কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্নমতে,
   x /৮ + x /৬ = ১
বা, (৩x  + ৪x)/২৪ = ১
বা, ৭x /২৪ = ১
বা, ৭x = ২৪
বা, x = ২৪ /৭ 
বা, x  = ৩.৪২ কি.মি। 

প্রশ্ন: A একটি নিৰ্দিষ্ট কাজ সম্পন্ন করার জন্য B এর দ্বিগুণ বা C এর তিনগুণ সময় নেয়। তারা একত্রে 2 দিনে কাজটি শেষ করতে পারে। তাহলে A কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে? 

সমাধান: 
ধরি,
A কাজটি করতে সময় নেয় = x দিন 
B কাজটি করতে সময় নেয় = x/2 দিন 
C কাজটি করতে সময় নেয় = x/3 দিন 

প্রশ্নমতে,
(1/x) + (2/x) + (3/x) = 1/2
 ( 1 + 2 + 3)/x = 1/2
6/x = 1/2
x = 12 

A কাজটি 12 দিনে শেষ করতে পারবে।

প্রশ্নঃ একটি নল ১২ মিনিটে একটি খালি ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে পারে। অপর একটি নল প্রতি মিনিটে ১৪ লিটার পানি বের করে দেয়। ট্যাঙ্কটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসাথে খুলে দেওয়া হলে, ট্যাঙ্কটি ৯৬ মিনিটে পূর্ণ হয়। ট্যাঙ্কটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধান: মনে করি, প্রথম নল দ্বারা প্রতি মিনিটে x লিটার পানি প্রবেশ করে এবং চৌবাচ্চাটিতে মোট y লিটার পানি ধরে।
প্রশ্নানুসারে, প্রথম নল দ্বারা 12 মিনিটে খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়।
∴ y = 12x ----- (1)
আবার, দুইটি নল দ্বারা 96 মিনিটে খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ হয়।
∴y = 96x - 96 x 14 ---- (2)
সমীকরণ (1) থেকে পাই, x = y/12
x এর মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,
y = 96 x y/12 - 96 x 14 
বা, y = 8y – 96 x 14
বা, 7y = 96 × 14
বা, y = (96 x 14)/ 7