Math Master

প্রশ্ন: চারটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যার যোগফল 180। পরবর্তী ধারাবাহিক 4টি জোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি,
চারটি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যা = a, a + 2, a + 4 এবং a + 6

প্রশ্নমতে,
a + a + 2 + a + 4 + a + 6 = 180
⇒ 4a + 12 = 180
⇒ 4a = 180 - 12
⇒ 4a = 168
∴ a = 42

এখন, 42 + 2 = 44, 42 + 4 = 46 এবং, 42 + 6 = 48
সুতরাং, পরবর্তী ধারাবাহিক 4টি জোড় সংখ্যার যোগফল = 50 + 52 + 54 + 56 = 212

প্রশ্ন: ভ্যাটসহ একটি পণ্যের বিক্রয়মূল্য ৯২৪ টাকা। বিক্রয় এর ওপর ভ্যাট ১০%। যদি দোকানদার ১২% লাভ করে, তাহলে পণ্যের ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:
১০% ভ্যাটসহ মূল্য = (১০০ + ১০) = ১১০ টাকা
এবং ১২% লাভে বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ১২) = ১১২ টাকা

ভ্যাটসহ মূল্য ১১০ টাকা হলে করবাদে মূল্য = ১০০ টাকা
ভ্যাটসহ মূল্য ১ টাকা হলে করবাদে মূল্য = ১০০/১১০ টাকা
ভ্যাটসহ মূল্য ৯২৪ টাকা হলে করবাদে মূল্য =  (১০০ × ৯২৪)/১১০ = ৮৪০ টাকা

আবার,
বিক্রয়মূল্য ১১২ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১১২ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮৪০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (১০০ × ৮৪০)/১১২ = ৭৫০ টাকা

প্রশ্ন: পাঁচটি বর্গের পরিধি যথাক্রমে 24 সে.মি., 32 সে.মি., 40 সে.মি., 76 সে.মি. এবং 80 সে.মি.। সবগুলো বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট অন্য একটি বর্গের পরিধি কত?

সমাধান:
পাঁচটি বর্গের বাহু যথাক্রমে = (24/4), (32/4), (40/4), (76/4) এবং (80/4)
= 6 সে.মি., 8 সে.মি., 10 সে.মি., 19 সে.মি., এবং 20 সে.মি.

∴ নতুন বর্গের ক্ষেত্রফল = {6² + 8² + 10² + 19² + 20²} বর্গ সে.মি.
= (36 + 64 + 100 + 361 + 400) বর্গ সে.মি.
= 961 বর্গ সে.মি.

∴ নতুন বর্গের বাহু = √961 = 31 সে.মি.
সুতরাং, নতুন বর্গের পরিধি = (4 × 31) সে.মি.
= 124 সে.মি.

প্রশ্ন: ৪৭তম বিসিএস প্রিলিমিনারি পরীক্ষায় আপনি সবগুলো প্রশ্নের উত্তর দিয়েছেন এবং ১৪৬ নম্বর পেয়েছেন। আপনি শতকরা কতটি প্রশ্ন ভুল দাগিয়েছেন? [প্রশ্নসংখ্যা ২০০, সঠিক উত্তরের জন্য ১ নম্বর এবং ভুল উত্তরের জন্য (- .৫০) নম্বর বরাদ্দ]

সমাধান:
ধরি, ভুল উত্তর = ক টি
তাহলে, সঠিক উত্তর = (২০০ - ক) টি

শর্তমতে,
(সঠিক উত্তর × ১) - (ভুল উত্তর × .৫০) = ১৪৬
⇒ (২০০ - ক) - (ক × .৫০) = ১৪৬
⇒ ২০০ - ক - (ক/২) = ১৪৬
⇒ (৪০০ - ২ক - ক)/২ = ১৪৬
⇒ ৪০০ - ৩ক = ২৯২
⇒ - ৩ক = ২৯২ - ৪০০
⇒ ৩ক = ১০৮
∴ ক = ৩৬ টি

২০০ টি প্রশ্নে ভুল উত্তর = ৩৬ টি
১ টি প্রশ্নে ভুল উত্তর = ৩৬/২০০ টি
১০০ টি প্রশ্নে ভুল উত্তর = (৩৬ × ১০০)/২০০ টি
= ১৮টি

প্রশ্ন: p + q = 17 এবং p - q = 5 হলে, p² + q² এর মান কত?

সমাধান:
p + q = 17
p - q = 5

আমরা জানি,
2(p² + q²) = (p + q)² + (p - q)²
⇒ 2(p² + q²) = 17² + 5²
⇒ 2(p² + q²) = 289 + 25
⇒ 2(p² + q²) = 314
∴ (p² + q²) = 157

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ 12 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, b = 12 সে.মি.
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের 2টি সমান বাহু = ‍a

আমরা জানি,
a² + a² = (12)²
⇒ 2a² = 144
⇒ a² = 72
∴ a = √72

∴ ক্ষেত্রফল = (1/2) × √72 × √72
= (1/2) × 72
= 36 বর্গ সে.মি.

∴ ক্ষেত্রফল = 36 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: log_0.10.001 + log_3√5135√5 = ?

সমাধান:
log_0.10.001 + log_3√5135√5
= log_0.1(0.1)³ + log_3√5(3√5)³
= 3 + 3
= 6

প্রশ্ন: ব্যাংকে ১০০০০ টাকা রেখে ৩ বছর পরে সুদাসলে ১২১০০ টাকা পেলে বার্ষিক সরল সুদের হার কত ছিল?

সমাধান:
এখানে,
আসল, P = ১০০০০ টাকা
সময়, n = ৩ বছর
সুদ, I = সুদ-আসল - আসল
= (১২১০০ - ১০০০০) টাকা
= ২১০০ টাকা

আমরা জানি,
I = Pnr
⇒ r = (I/Pn) × ১০০%
= ২১০০/(১০০০০ × ৩) × ১০০%
= ৭%

∴ সুদের হার, r = ৭%

প্রশ্ন: a⁴ - 21a² + 68 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a⁴ - 21a² + 68
∴ f(2) = (2)⁴ - 21(2)² + 68
= 16 - 84 + 68
= 0
∴ (a - 2), f(a) এর একটি উৎপাদক

এখন,
a⁴ - 21a² + 68
= a⁴ - 2a³ + 2a³ - 4a² - 17a² + 34a - 34a + 68
= a³(a - 2) + 2a²(a - 2) - 17a(a - 2) - 34(a - 2)
= (a - 2)(a³ + 2a² - 17a - 34)
= (a - 2){a²(a + 2) - 17(a + 2)}
= (a - 2)(a + 2)(a² - 17)

প্রশ্ন: হাসান সাহেব জানুয়ারি মাসে দৈনিক গড়ে ১৫০০ টাকা করে ইনকাম করে। মাসের প্রথম ১৬ দিন তার গড়ে প্রতিদিন খরচ ৭৫০ করে কিন্তু বাকি দিনগুলোয় তার খরচ ৮০০ করে। মাস শেষে তার আয় এবং সঞ্চয়ের অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জনি,
জানুয়ারি মাস ৩১ দিনের।
৩১ দিনে মোট ইনকাম = (১৫০০ × ৩১) টাকা
= ৪৬৫০০ টাকা

∴ মোট খরচ = (১৬ × ৭৫০) + (১৫ × ৮০০) টাকা
= ১২০০০ + ১২০০০
= ২৪০০০ টাকা

∴ সঞ্চয় = (৪৬৫০০ - ২৪০০০) = ২২৫০০

সুতরাং, আয় : সঞ্চয় = ৪৬৫০০ : ২২৫০০
= ৯৩ : ৪৫
= ৩১ : ১৫

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ১০টি সাদা, ১২টি সবুজ এবং ৮টি হলুদ বল আছে। একটি বল দৈবভাবে তুলে নেওয়া হলে বলটি সবুজ বা হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
সাদা বল আছে = ১০টি
সবুজ বল আছে = ১২টি
হলুদ বল আছে = ৮টি

ব্যাগে মোট বল আছে = (১০ + ১২ + ৮) = ৩০
বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ১২/৩০ = ২/৫
বলটি হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/৩০ = ৪/১৫

∴ বলটি সবুজ বা হলুদ হওয়ার সম্ভাবনা = (২/৫) + (৪/১৫)
= (৬ + ৪)/১৫
= ১০/১৫
= ২/৩

প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ৩ মিটার। ২৪ কিলোমিটার পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
২৪ কিলোমিটার = ২৪০০০ মিটার

এখন,
৩ মিটার গেলে ঘুরে = ১ বার
১ মিটার গেলে ঘুরে = ১/৩ বার
২৪০০০ মিটার গেলে ঘুরে = (১ × ২৪০০০)/৩ বার
= ৮০০০ বার

প্রশ্ন: একটি 61 মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দেওয়া আছে। মইয়ের একপ্রান্ত মাটি হতে 60 মিটার উঁচুতে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই এর অপরপ্রান্ত হতে দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার?

সমাধান:
মনে করি,
দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = x মিটার
দেয়াল মাটির সাথে সমকোণ উৎপন্ন করে।

∴ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
(মইয়ের উচ্চতা)² = (দেয়ালের উচ্চতা)² + (x)²
⇒ (61)² = (60)² + (x)²
⇒ 3721 = 3600 + (x)²
⇒ (x)² = 3721 - 3600
⇒ (x)² = 121
⇒ (x)² = (11)²
∴ x = 11

∴ দেয়ালের পাদদেশ হতে মইয়ের পাদদেশের দূরত্ব = 11 মিটার।

প্রশ্ন: M = {x : x, 30 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং N = {x : x, 5 এর গুনিতক এবং x ≤ 30} হলে M - N = কত?

সমাধান:
এখানে, M = {x : x, 30 এর গুণনীয়কসমূহ}
30 এর গুণনীয়কসমূহ = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
∴ M = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

N = {x : x, 5 এর গুনিতক এবং x ≤ 30}
5 এর গুনিতকসমূহ = 5, 10, 15, 20, 25, 30, ....
∴ N = {5, 10, 15, 20, 25, 30}

∴ M - N = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} - {5, 10, 15, 20, 25, 30}
= {1, 2, 3, 6}

প্রশ্ন: 7 + 10 + 13 + 16 + ............ ধারাটির কোন পদ 397?

সমাধান:
ধরি,
n তম পদ = 397
এখানে,
১ম পদ, a = 7,
সাধারণ অন্তর, d = (10 - 7) = 3

প্রশ্নমতে,
{a + (n - 1)d} = 397
⇒ {7 + (n - 1) × 3} = 397
⇒ 7 + 3n - 3 = 397
⇒ 3n + 4 = 397
⇒ 3n = 397 - 4
⇒ 3n = 393
⇒ n = 393/3
∴ n = 131

প্রশ্ন: INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
INTERNET শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি যার মধ্যে, N আছে 2টি, T আছে 2 টি এবং E আছে 2 টি।
∴ INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 8!/2!2!2! = 5040

CANADA শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে, A আছে 3 টি।
∴ CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3! = 720/6 = 120

INTERNET শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা CANADA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 5040/120
= 42 গুণ

প্রশ্ন: ২৫% লাভে করিম একটি দ্রব্য ৮০০ টাকায় বিক্রি করলো। কত টাকায় বিক্রি করলে তার ২০% লাভ হত?

সমাধান:
২৫% লাভে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১২৫ টাকা

বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০/১২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ৮০০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = (৮০০ × ১০০)/১২৫ টাকা
= ৬৪০ টাকা

২০% লাভে বিক্রয়মূল্য = ৬৪০ + (৬৪০ এর ২০%)
= ৬৪০ + ১২৮
= ৭৬৮ টাকা

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। প্রস্থ ১২ মিটার হলে পরিসীমা কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে
আয়তাকার ক্ষেত্রের প্রস্থ = ১২ মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = (৩ × ১২) মিটার
= ৩৬ মিটার

∴ পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
= ২(৩৬ + ১২)
= ২ × ৩২
= ৯৬ মিটার

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু. ৪২ এবং সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত ২ : ৩ হলে সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ২ : ৩
তাদের ল.সা.গু = ৪২

মনে করি,
একটি সংখ্যা = ২ক
অপর সংখ্যা = ৩ক
∴ সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ৬ক

প্রশ্নমতে,
৬ক = ৪২
⇒ ক = ৪২/৬
⇒ ক = ৭

∴ সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি = ২ক + ৩ক
= (২ × ৭) + (৩ × ৭)
= ১৪ + ২১
= ৩৫

প্রশ্ন: 6.216^x = 36^{x + 4} এ x এর মান কত?

সমাধান:
6.216^x = 36^{x + 4}
⇒ 6.(6³)^x = (6²)^{x + 4}
⇒ 6. 6^3x = 6^{2x + 8}
⇒ 6^{3x + 1} = 6^{2x + 8}
⇒ 3x + 1 = 2x + 8
⇒ 3x - 2x = 8 - 1
⇒ x = 7

প্রশ্ন: a + (1/a) = 4 হলে, a⁶ + (1/a⁶) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + (1/a) = 4

∴ প্রদত্ত রাশি = a⁶ + (1/a⁶)
= (a³)² + (1/a³)²
= {a³ + (1/a³)}² - 2 · a³ · (1/a³)
= [{a + (1/a)}³ - 3 · a · (1/a){a + (1/a)}]² - 2
= {(4)³ - 3 · 4}² - 2
= (64 - 12)² - 2
= (52)² - 2
= 2704 - 2
= 2702