১৯তম জুডিসিয়াল সার্ভিস (BJS) প্রস্তুতি

প্রশ্ন: একটি বাঁশের অর্ধাংশ মাটির নিচে, এক-তৃতীয়াংশ পানির মধ্যে এবং ৫ ফুট পানির উপরে আছে । বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাঁশটির দৈর্ঘ্য ক ফুট

প্রশ্নমতে,
⇒ (ক​/২) + (ক​/৩) + ৫ = ক
⇒ (৩ক + ২ক + ৩০)/৬ = ক
⇒ ৫ক + ৩০ = ৬ক
⇒ ক = ৩০

∴ বাঁশটির দৈর্ঘ্য ৩০ ফুট

প্রশ্ন একটি থলিতে ১২০টি মুদ্রা আছে, যার মধ্যে কিছু ১ টাকার এবং কিছু ২ টাকার। যদি মোট টাকার পরিমাণ ১৮০ টাকা হয়, তবে ১ টাকার মুদ্রার সংখ্যা কত?

সমাধান:
মনে করি ১ টাকার মুদ্রা সংখ্যা x এবং ২ টাকার মুদ্রা সংখ্যা y। তাহলে,
x + y = ১২০  --- (১)
x + 2y = ১৮০ --- (২)
(২) থেকে (১) বিয়োগ করে পাই,
y = ৬০

সুতরাং, x = ১২০ - ৬০ = ৬০ টি 

প্রশ্ন  a³ - 7a²b + 7ab² - b³ এর উৎপাদক কী হবে?

সমাধান:
= a³ - 7a²b + 7ab² - b³
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³ - 4a²b + 4ab²
= (a - b)³ - 4ab(a - b)
= (a - b)(a² - 2ab + b² - 4ab)
= (a - b)(a² - 6ab + b²)

প্রশ্ন  একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৮৫ হয়, সংখ্যাটি কত?


আমরা জানি,
 মনেকরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
⇒ ৩ক + ২ক = ৮৫
⇒ ৫ক = ৮৫
⇒ ক = ৮৫/৫
⇒ ক = ১৭

প্রশ্ন: (a + b - c)² - (a - b + c)² = কত?

সমাধান:
= (a + b - c)² - (a - b + c)²
= [(a + b - c) + (a - b + c)][(a + b - c) - (a - b + c)]    ; [x² - y² = (x + y)(x - y)]
= (2a)(2b - 2c)
= 4a(b - c)

প্রশ্ন:  x² + 5x + 6  এর উৎপাদক কী কী?

সমাধান:
= x² + 5x + 6 
= x² + 2x + 3x + 6 
= x(x + 2) + 3(x + 2) 
= (x + 2)(x + 3) )

প্রশ্ন: a⁴ - 13a² + 36 এর উৎপাদক গুলো হলো-

সমাধান:
= a⁴ - 13a² + 36 
= (a²)² - 13a² + 36 
= (a² - 9)(a² -4)
= (a - 3)(a + 3)(a - 2)(a + 2)

প্রশ্ন: ab + ac + xb + xc এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
(ab + ac + xb + xc)
= a(b + c) + x(b + c)
= (b + c)(a + x)

প্রশ্ন: x + 2y = 7 এবং 2x - 3y = 0  সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ দুটি হলো,
x + 2y = 7  --- (i)
2x - 3y = 0 --- (ii)

(ii) নং সমীকরণ থেকে পাই, 2x = 3y, অর্থাৎ x = (3y/2)
x এর এই মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

⇒ (3y/2) + 2y = 7
⇒ 3y + 4y = 14
⇒ 7y = 14
সুতরাং, y = 2

y এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
2x - 3(2) = 0
⇒ 2x - 6 = 0
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3

সুতরাং, x = 3 এবং y = 2

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হর উভয়ের সাথে 1 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হয়। যদি লব ও হর থেকে 5 বিয়োগ করা হয়, তবে ভগ্নাংশটি 1/2 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
ভগ্নাংশটি = x/y

প্রশ্নমতে,
(x+1)/(y+1) = 4/5  --- (১)
(x-5)/(y-5) = 1/2  --- (২)

(১) থেকে পাই, 5x + 5 = 4y + 4  বা, 5x - 4y = -1........... (৩)
(২) থেকে পাই, 2x - 10 = y - 5 বা, 2x - y = 5............. (৪)

(৪) সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করি:
8x - 4y = 20..........(৫)

এখন, (৫) - (৩) করে পাই,
⇒ 8x - 4y - (5x - 4y) = 20 - (- 1)
⇒ 3x = 21
⇒ x = 7

x এর মান (৪) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ 14 - y = 5
⇒ - y = 5 - 14
⇒ - y = - 9
⇒ y = 9

সুতরাং, ভগ্নাংশটি 7/9

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অঙ্কের তিনগুণ অপেক্ষা ১ বেশি। অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায় তা অঙ্কদ্বয়ের যোগফলের আটগুণ। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
দশকের অঙ্ক x এবং এককের অঙ্ক y।

প্রশ্নমতে,
y = 3x + 1   ................ (১)
10y + x = 8(x + y).................... (২)

(১) থেকে y এর মান (২) এ বসিয়ে পাই,
10(3x + 1) + x = 8(x + 3x + 1)
⇒ 30x + 10 + x = 32x + 8
⇒ - x = - 2
⇒ x = 2

(১) থেকে পাই, y = 3 × 2 + 1 = 7

∴ সংখ্যাটি 10x + y = 27

প্রশ্ন: ax + by = a² + b² এবং 2bx - ay = ab  সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ দুটি হলো:
ax + by = a² + b² --- (i)
2bx - ay = ab --- (ii)

(i) নং সমীকরণকে a দিয়ে এবং (ii) নং সমীকরণকে b দিয়ে গুণ করে যোগ করে পাই:
⇒ a²x + aby + 2b²x - aby = a³ + ab² + ab²
⇒ x(a² + 2b²) = a³ + 2ab²
⇒ x(a² + 2b²) = a(a² + 2b²)
∴ x = a

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
⇒ a(a) + by = a² + b²
⇒ a² + by = a² + b²
∴ y = b

∴ x = a, y = b

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অন্য সংখ্যার 5/3 গুণ। সংখ্যা দুটির যোগফল 96 হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা 3x এবং অন্যটি 5x।

প্রশ্নমতে, 3x + 5x = 96
⇒ 8x = 96
⇒ x = 96/8 = 12

সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি হলো = 3x = 36

প্রশ্ন: মাতার বর্তমান বয়স তার দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির চারগুণ। ৫ বছর পর, মাতার বয়স দুই কন্যার বয়সের সমষ্টির দ্বিগুণ হবে। মাতার বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
মনে করি,
দুই কন্যার বয়সের সমষ্টি x এবং মাতার বয়স y।

প্রশ্নমতে,
⇒ y = 4x   --- (১)
⇒ y + 5 = 2(x + 10)   --- (২)  (দুই কন্যার বয়সের সমষ্টি ৫ বছর পর x + ১০ হবে)

(১) থেকে y এর মান (২) এ বসিয়ে পাই,
⇒ 4x + 5 = 2x + 20
⇒ 2x = 15
⇒ x = 15/2

(১) থেকে পাই,
⇒ y = 4 × (15/2) = 30 বছর

∴ মাতার বর্তমান বয়স 30 বছর

প্রশ্ন: একটি নৌকার স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ ১৫ কিমি/ঘণ্টা এবং স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ ৫ কিমি/ঘণ্টা। স্রোতের গতিবেগ কত?

সমাধান: 
প্রশ্নমতে,
x + y = 15   --- (১)
x - y = 5   --- (২)
(১) ও (২) যোগ করে পাই,
⇒ 2x = 20
⇒ x = 10

(১) থেকে পাই,
⇒ y = 15 - 10 = 5

প্রশ্ন: যদি (z + 1)(z - 2) = (z - 4)(z + 2) হয়, তাহলে z এর মান কত?

সমাধান:
⇒ (z + 1)(z - 2) = (z - 4)(z + 2)
⇒ z² - z - 2 = z² - 2z - 8
⇒ -z - 2 = -2z - 8
⇒ z = -6

প্রশ্ন: একটি বালিকা বিদ্যালয়ে যদি ৬ জন শিক্ষার্থী প্রতিটি বেঞ্চে বসে, তাহলে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু যদি ৫ জন শিক্ষার্থী প্রতিটি বেঞ্চে বসে, তাহলে ৬ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ক্লাসে বেঞ্চের সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চের সংখ্যা x

প্রশ্নমতে, 
⇒ ৬(x - ২) = ৫x + ৬
⇒ ৬x - ১২ = ৫x + ৬
⇒ x = ১৮

প্রশ্ন: 9m² - 12mn + 4n² - 16p² এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
= 9m² - 12mn + 4n² - 16p²
= (3m)² - 2(3m)(2n) + (2n)² - (4p)²
= (3m - 2n)² - (4p)²
= (3m - 2n + 4p)(3m - 2n - 4p)

প্রশ্ন: 3x যদি 15 থেকে 6 বেশি হয়, তাহলে 4x + 2 = কত?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
⇒ 3x = 15 + 6
⇒ 3x = 21
⇒ x = 21/3
⇒ x = 7

∴ 4x + 2 = 4 × 7 + 2 = 30

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক চতুর্থাংশ হতে পাঁচ বিয়োগ করলে ২৫ হয় । সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
⇒ (x/৪) - ৫ = ২৫
⇒ x/৪ = ২৫ + ৫
⇒ x/৪ = ৩০
∴ x = ১২০

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি 15 এবং গুণফল 54 । ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দুইটি সংখ্যা x এবং y   ; যেখানে x > y 

প্রশ্নমতে,
x + y = 15..........(1)
xy = 54

আমরা জানি,
⇒ (x - y)² = (x + y)² - 4xy
⇒ (x - y)² = (15)2 - 4 × 54
⇒ (x - y)² = 225 - 216
⇒ (x - y)² = 9
⇒ x - y = √9
⇒ x - y = 3 ............(2)

এখন, (1) ও (2) বিয়োগ করে পাই,
⇒ x + y - (x - y) = 15 - 3
⇒ 2y = 12
⇒ y = 6

∴ ছোট সংখ্যাটি 6